关于数学解题的认识、研究与反思

关于数学解题的认识、研究与反思学习数学，解题是必不可少的；可以说，数学教育不仅仅是解题，但是不会解题，想学好数学也是不太可能的。

在基础教育阶段，在初等数学的范围内，掌握好初等数学知识是为解题服务的；相应地，解题也是学好数学基础的根本，两者是密切联系，互不可分的。

近年来，越来越多的学者关注数学解题研究，中学教师、高校教师、著名的数学专家等，都对数学解题有着独特的看法，使得解题在中国更加繁荣（中国本来就是解题大国）。

这些研究对数学教育的发展起到了很大的促进作用，使得人们对解题的认识更加深入。

不过，我们依然看到，今天的中学生还是更多地关注题目和解答；有些中学教师也对题目及其解答的追寻乐此不疲。

在今天的“考试”文化中，重视试题和解答也是情理之中的事情；但这样的表现，也延续到大学，即使是即将走上讲台的“准教师”，也对试题、解答、操练等有着执着的追寻。

然而，这些解题现象和我们古人所言的“熟能生巧”类似，多了份熟练程度，缺了必要的反思和创新，其弊端显而易见，同时也增加了学生的学业负担。

解题固然要以做题为主，但不是简单的重复，不能仅仅停留在低层次的数学操作层面。

正如波利亚所言：如果数学教师把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展，从而错用了他的机会。

但是，如果他给他的学生以适合他们程度的问题去引起他们的好奇心，并且用一些吸引人的问题来帮助他们解题，他就会引起学生对独立思考的兴趣并教给他们一些方法。

事实上，我们可能要反思：为什么要解题？或者，解题的目的是什么？对此，很多人可能说，这还用问吗，学数学就是要解题，在第一段已经这样说了。

是的，学数学必须要解题，其后一句可能是：要想考个好成绩，你也必须得解题！但是，这是表面的或者有点功利性的回答。

数学的学习不仅包括解题，数学概念、公式、定理，数学应用的广泛性、深刻性，以及数学推理的合理性，数学的形式化、简洁化，等等，都体现了数学的魅力。

数学是一种文化，它和人类文明共同发展，解题不过是为了理解这种文化的一种手段。

但是，在今天的教学中，我们时常注重形式化的解题，却遗忘了数学的本质。

具体而言，数学解题是对原有知识和技能的应用，有利于促进学生对基础知识和基本技能的理解与掌握；保持和巩固对相应知识的记忆；提高问题解决的能力；掌握数学思想方法，提高和发展数学思维能力，培养数学创造性思维。

通过解题（常规和非常规的），学生对数学的理解得到发展，不仅提高了数学素养，而且促进了其理性思维的发展。

因此，数学解题不仅仅是操练、获得结果，更重要的是促进数学的理解，培养学生独立思考的习惯，发展学生的理性思维。

数学解题不同于体育锻炼，这是关于思维的一种脑力劳动，同时体现了数学的特性：抽象性、严密性、应用的广泛……数学是思维的体操，所以，数学解题伴随着数学思维的活动，是人们对数学的认知和反映的过程。

当我们拿到一个数学问题，首先是理解题意：这是一个什么样的问题？是几何的、代数的、概率统计……这是对问题识别的过程，我们要有相关的数学知识，从而能够理解问题，这需要我们的记忆系统和信息加工系统共同努力，所以，我们要能够记得住数学知识，熟悉数学语言，包括自然语言和符号语言，并能转换为我们的思维元素。

解题需要数学技能和能力，数学技能包括基本的运算、作图、识图、基本推理、简单的数据处理等，这样的技能属于低层次的能力，但是又是数学解题必备的条件，技能是一种自动化的过程，可以通过适当的训练获得；而数学能力高于技能，例如，空间想象能力不同于简单的识图、作图，还涉及图形变换、推理、运动等过程。

高水平的解题者具有较好的数学能力，在抽象概括、数据处理、空间想象、推理论证等方面表现优异。

在数学解题过程中，我们以知识与技能为基础，发挥数学能力的力量，始终明确解题的目标，直至解决问题，所以具有一定的数学能力也是解题成功的必要条件。

解题还需要数学思想和方法，函数的思想、方程的思想、数形结合的思想、化归法、待定系数法、分析法、综合法、类比法等，方法在于积累，应用在于理解。

除此之外，还有解题的技巧和策略，这在解题过程中必不可少；当然，今天我们更提倡通性通法，不过掌握基本的解题策略还是非常必要的。

解题也是一种经验，这种经验的积累体现在理解数学的思想方法，掌握必要的数学解题策略；我们不提倡高强度的解题训练，但是解题必须进行反思：这道题目怎么解答？为什么这样解？这是数学解题的升华过程，也是学好数学的必经之路，否则，那就是解题机器，没有思想，没有方法，更没有谋略。

在数学教育发展过程中，关于解题的理论并不多见，更多地如同上述，重视题目和解答。

波利亚的《怎样解题》是经典之作，我们做简单的介绍，希望能够为读者带来一定的启发；另外，匈菲尔德的问题解决思想、弗里德曼的《怎样学会解数学题》，我们也做一些介绍，以及中国的解题专家，例如单墫先生、罗增儒先生的解题理论。

解题的另外一种形式——说题，今天也吸引着很多的研究者和教师，这是提高解题能力和解题教学能力的一种新方式。

我们把本书的重点放在数学解题过程的分析和数学解题的策略上，估计这是读者们比较关注的问题。

我们不是简单的示例，也不是进行说教，只不过是为读者提供一种思考的方式，或者起到一点启发作用。

当然，我们会把相应的数学知识附在其后，方便读者的查阅。

考试是不可避免的话题，因此，我们也把高考中的问题进行系统分析，通过研究分析高考问题，展现今天解题的一些现象，关注一下中学数学的课程，这也有利于数学解题研究的进一步发展。

最后，我们通过“说题”来讨论数学解题能力的培养问题，以此引起大家对解题的理解与反思，进而提高大家的解题能力。

当然，现在有许多关于数学解题的书籍，仁者见仁智者见智，我们基于自己的经验和研究，为读者提供一个窗口，希望能引入更多解题的阳光，促进大家对数学的理解，推动数学教育的发展。

本文摘自《中学数学解题研究（第二版）》绪言（2022.1出版）内容简介本书紧扣数学新课标和当前学生的解题实际，内容包括数学解题的意义、数学解题理论、数学解题的过程分析、数学解题方法与策略、数学解题专题分析、说题。

书中理论与实践并重，各章含有例题和习题，先练后讲、边讲边练、及时反思、总结规律，以提高解题的意识、能力和修养。

适用对象本书适合高等师范院校数学教育专业大学生作为教材使用，也可作为中学教师培训使用。

目录向上滑动阅览“数学教学技能系列丛书” 序言绪言第1章数学解题的意义1.1 数学学习与解题1.1.1 数学学习的一般过程1.1.2 数学学习中的解题1.2 数学能力与解题1.3 中学数学教学中的解题习题第2章数学解题理论2.1 中国数学解题研究2.1.1 数学解题现状2.1.2 单墫的研究2.1.3 罗增儒的研究2.1.4 中国解题研究简介2.2 国外解题理论分析2.2.1 波利亚的解题理论2.2.2 匈菲尔德的问题解决2.2.3 弗里德曼的《怎样学会解数学题》2.2.4 其他解题理论简述2.3 解题理论评述习题第3章数学解题的过程分析3.1 数学解题的心理过程3.1.1 解题案例的再现3.1.2 解题的心理过程分析3.1.3 学会迁移3.2 基于问题解决的分析3.2.1 理解问题3.2.2 探析方法策略3.2.3 设计解题思路3.2.4 实施解题步骤3.2.5 反思3.3 基于变式的解题分析3.3.1 本源题3.3.2 变式题3.3.3 问题结构3.3.4 寻找模式3.3.5 突破模式习题第4章数学解题方法与策略4.1 关于解题方法与策略的研究4.1.1 解题方法的本质4.1.2 解题策略的意义4.2 数学解题方法4.2.1 化归与转化4.2.2 正反互逆4.2.3 特殊与一般4.2.4 分类讨论4.2.5 数形结合4.2.6 数学构造4.2.7 数学变换4.2.8 数学归纳法4.3 数学解题策略4.3.1 数学信息表征策略4.3.2 信息转化策略4.3.3 直观想象策略习题第5章数学解题专题分析5.1 数学客观题5.1.1 选择题5.1.2 填空题5.2 三角函数问题5.2.1 公式法5.2.2 差异分析法5.2.3 整体法5.2.4 数形结合法5.2.5 转化法5.2.6 向量法5.2.7 “1” 的转换5.2.8 恒等变换法5.2.9 综合法5.3 数列问题5.3.1 数列的通项公式5.3.2 数列的求和问题5.3.3 数列综合问题5.4 立体几何问题5.4.1 重在直观感知的空间想象5.4.2 强调以数代形的代数应用5.4.3 注重概念命题的逻辑推理5.5 解析几何问题5.5.1 直线与圆锥曲线的位置关系5.5.2 面积与距离的问题5.5.3 求轨迹方程问题5.5.4 圆锥曲线中定点与定值问题5.5.5 圆锥曲线中参数的取值范围与最值问题5.5.6 圆锥曲线中的存在性问题5.6 概率统计问题5.6.1 频率分布直方图、条形图、统计表等问题5.6.2 分布列问题和数学期望5.6.3 回归分析问题5.6.4 分布列、数学期望、概率5.6.5 综合问题5.7 导数的应用5.7.1 导数在函数中应用问题5.7.2 导数在不等式中的应用问题5.7.3 导数应用的其他问题习题第6章说题6.1 说题的意义6.2 说题的内容6.2.1 说题意6.2.2 说思想方法6.2.3 说解题过程6.2.4 说变式与拓展6.2.5 说易错易误6.2.6 说教学价值6.3 说题的案例6.3.1 立体几何问题说题6.3.2 三角函数问题说题6.3.3 解析几何问题说题6.3.4 数列问题说题6.3.5 概率与统计问题说题6.3.6 函数导数问题说题6.4 说题对于教师专业发展的意义习题习题答案参考文献。