2018-2019-初等数学研究李长明-推荐word版 (9页)

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摘要：杂志广告文案范文在传统媒体广告发展受到阻碍的...下面关于广告文案范文的文章由查字典范文大全小编统一整理，希望对您有帮助。

摘要：杂志广告文案范文在传统媒体广告发展受到阻碍的今天备受关注，杂志广告刊登在杂志上的广告.杂志可分为专业性杂志、行业性杂志、消费者杂志等.杂志广告文案范文在传统媒体广告发展受到阻碍的今天备受关注，杂志广告刊登在杂志上的广告.杂志可分为专业性杂志、行业性杂志、消费者杂志等.杂志广告文案范文就是对杂志广告文案策划的一个经典案例，助力企业分析广告后进行的报告撰写，对广告行业有着非凡意义。

1992年创刊的《健康与美容》杂志，是一本由卫生部主管的时尚类健康杂志，已走过了19年的历程。

HEALTH 健康与美容深受广大读者的喜爱，因此也吸引广大广告业主的关注，HEALTH 健康与美容广告价格与广告收益是成正比的，这也是广告业主选择其的原因。

具有固定的读者层面是杂志广告的特色,可以使广告宣传深入某一专业行业.杂志种类繁多,从出版时间上看,有周刊、旬刊、半月刊、双月刊、季刊;从内容上看,有政治、军事、娱乐、文化、经济、生活、教育等.专业性杂志针对不同的读者对象,安排相应的阅读内容,因而就能受到不同的读者对象的欢迎.杂志的专业化倾向也发展得很快,如医学杂志、科普杂志、各种技术杂志等,其发行对象是特定的社会阶层或群体.杂志的读者虽然广泛,但也是相对固定的.因此,对特定消费阶层的商品而言,在专业杂志上做广告具有突出的针对性,适于广告对象的理解力,能产生深入的宣传效果,而很少有广告浪费.从广告传播上来说,这种特点有利于明确传播对象,广告可以有的放矢.用较多的篇幅来传递关于商品的详尽信息是杂志广告的优势所在,既利于消费者理解和记忆,也有更高的保存价值. 杂志广告的缺点是:影响范围较窄.因杂志出版周期长,经济信息不易及时我们知道，杂志和报纸相同,它也是一种传播媒体,它的形式是以印刷符号传递信息的连续性出版物.因此借鉴杂志广告文案范文有利于杂志广告在同类竞争中力度增加。

大学数学之初等数学研究李长明 周焕山版高等教育出版社习题一1、答：原则：（1）A ⊂B（2）A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。

而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。

（3）在A 中不是总能施行的某种运算，在B 中总能施行。

(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。

方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明：(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。

Θa=b ，M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴，假设bc ac M c =∈，即，则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，由归纳公理知M=N ，所以命题对任意自然数c 成立。

（2）若a <b ，则bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac<bc 。

（3）若a>b ，则ac m c bc ac,m )c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。

3证明：(1)用反证法：若b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。

当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。

则a=b 。

（2）用反证法：若b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。

当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。

则a <b 。

（3）用反证法：若b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。

当a<b 时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。

汕头职业技术学院初等几何研究习题课数学教育（师范类）1. I是△ABC的内心，AI、BI、CI的延长线分别交△ABC的外接圆于D、E、F求证：EF⊥AD。

D AB C EFI 五、关于平行与垂直2. A、B、C、D在圆周上相继的四点，P、Q、R、S分别是弧AB、BC、、CD、DA的中点，求证：PR⊥QS。

ACBP QDRS3. 凸四边形ABCD的每条对角线皆平分它的面积，求证：ABCD是平行四边形。

A BDC4. 已知：△BCX 和△DAY 是□ABCD 外的等边三角形，E 、F 、G 、H 是YA 、AB 、XC 、CD 的中点。

求证：EFGH 是平行四边形。

ABXD C YE F GH5. 在△ABC的各边上向外作正方形BCDE、CAFG、ABHI，其中心依次为O1、O2、O3求证：AO1⊥O2O3。

AO1O2BCO36. 在正方形ABCD 内任取一点E ，连接AE 、BE ，在△ABE 外以AE 、BE 为边作正方形AEMN 和EBFG ，连NC 、AF 。

求证：NC∥AF 。

A BCD E MNFG7. 以□ABCD的对角线AC为一边的两侧各作一个正三角形ACP、ACQ。

求证：BPDQ是□。

ABPDCQ8. 已知：凸五边形的四条边平行于所对的对角线。

求证：第五边也平行于所对的对角线。

CA B DE9.在△ABC中，∠B≠90°，BC边的垂直平分线交AB于D，△ABC的外接圆在A、C两点之切线交于E.求证：DE∥BC.AD EB C10.P 是正方形ABCD 的边CD 上的一点,过D 作AP 的垂线分别交AP 、BC 于Q 、R ，O 是正方形的中心.求证:OP ⊥OR.ABCDOPR12. 给定正方形ABCD ，P 、Q 分别人为AB 、BC 上的点，满足BP=BQ ，自B 作BH ⊥PC 于H ，求证:∠DHQ=900.ABCDO PHQ13. 在△ABC中，AB=AC，O为外心，D为AB的中点，E是△ACD的重心。

24.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+31111222y x x y y x 解：方程组的定义域(){}0,0,≠≠y x y x原方程组变形为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+311233xyy x xy y x 即()⎩⎨⎧=+=+)2.......(....................3)1.(....................1233xy y x xy y x ())(3333y x xy y x y x +++=+ ()⎩⎨⎧=+=+++∴)2.(........................................)(3)3.(....................12)(3x 3xy y x xy y x xy y 令x+y=u,xy=v,有：⎩⎨⎧==+)5........(..............................3)4.......(....................123u 23v u v v u 由（5）代入（4）得：0369u 23=-+u()0369u 2=-+u u0u =∴或036-u 9u 2=+，即3u 12u -==，将u=0代入（5），得v=0 ⎩⎨⎧==+∴00y x xy 解得⎩⎨⎧==00y x 不在定义域内 将U=-12代入（5）得：v=36⎩⎨⎧==+∴3612x xy y ,解得：6,0)6(,0361222==-=+-x x x x ⎩⎨⎧==∴66y x 将u=-3代入（5）得。

v=-9⎩⎨⎧-=-=+∴93y x xy ,解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=2532325323y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=2532325323y x x y 9-= 故原方程的解为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+25323253-23-253-23-25323-6,6，，，， （3）()⎩⎨⎧=+=+++xyy x x y x 71232y 22原方程可化为：()()()⎩⎨⎧=+=++-+）（2.....................................712)1..(....................3222xy y x y x xy y x 令x+y=u,xy=v,代入上方程组，有：⎩⎨⎧==+-)4......(..............................712)3......(....................3222v u u v u 由（4)得：u 712v =代入(3),并整理得：.(5)....................0.........224-u 17-u 72= 解(5)的得：732,7u 21-==u 将u=7代入(4),得v=12,故⎩⎨⎧==+127xy y x 解得⎩⎨⎧==43y x 或⎩⎨⎧==34y x 将732-=u 代入（4)得：49384v -= 故⎪⎩⎪⎨⎧-==+49384732-y x xy 得：0384224492=-+x x 解：987526450176224983844942242242+±-=⨯⨯+±-=x 9871022249812544022428⨯⨯±-=±-= 9810722244⨯±-=9810112224±-= 7108716±-= 故解得：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=2107872108y x ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=2107872108y x 故原方程组的解为：()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-107821078,21078-2-10783,44,3，，，， 26.（1）⎩⎨⎧==++）（2 (2464))1.......(....................12646422y X y x 解：令v u y x ==64,64，则原方程组可化为：⎩⎨⎧==+）（4.........................24)3....(....................12u 22uv v （3）+2（4），得：28122u 22+=++uv v即()()22222v u +=+ 222+=+∴v u⎩⎨⎧==∴22v 2u 或⎩⎨⎧==2v 22u ()⎩⎨⎧==∴2264264I y x 或()⎩⎨⎧==2642264II y x 解（I)得：⎪⎩⎪⎨⎧==4161y x 解（II ）得：⎪⎩⎪⎨⎧==6141y x 故原方程组的解为：⎪⎭⎫⎝⎛41,61，或⎪⎭⎫ ⎝⎛61,41，(2)()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-）（2.....................25)1.......(..........21log log 2225.0y x y x y 解：方程（1）左边取以2为底的对数，得：()22log 1log 5.0log log 2222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x y 即： ()2log log -22-=--y x y()2.log 2=-y x y()4x -y =∴y 即）（3........................42=-xy y 解(2)，(3)联立方程组得：⎩⎨⎧=+=-)2..(....................25)3..(....................4222y x xy y 令y=tx,分别代入（2），（3）得： ()()⎩⎨⎧=+=-））5.(..............................2514.....(....................41222t x t t x 由（4），（5）解出2x 的表达式得：())6( (1)25142+=-t t t 由（6）变形整理得：0425212=--t t ()()0174-t 3=+t71,3421-==t t 由34=t ，有x y 34=，代入(3)得：3±=x 由71-=t ，有x y 71-=，代入（3）得：227±=x ⎩⎨⎧==∴43y x ，⎩⎨⎧-=-=43y x （舍），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==22227y x （舍），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22227-y x 所以原方程组的根为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,227-4,3，，27.（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)2.......(..............................125)1....(..............................43sin sin 22πy x y x 解：利用降次公式，（1)即：4322cos 122cos -1=-+y x 212cos 2cos =+y x ()21cos 2=+y x ()())3....(.. (2)1cos cos 2=-+y x y x （2）代入（3），化简得：()21cos .125cos 2=-⎪⎭⎫ ⎝⎛y x π ()426261cos +=-=-y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42664cos 125cos πππ )4........(2426cos πk acr y x ++±=-∴ （2）（4）联立解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧Z ∈-+±=Z ∈++±=k k acr y k k acr x ,426cos 21245,426cos 21245ππππ 4.（1）()()()()()())1.......(..........131321212--=--+--x x x x x x x 解：方程定义域为}{3,2,1,M ≠∈=x R x x 且将（1）式左边通分， ()()()()()()()1313212123--=----+-x x x x x x x x 即()()()()()131321222--=-----x x x x x x x 左边分子因式分解：()()()()()()()13-x 132121x 2-x -=---+x x x x左边约分()()()())2......(....................1313121--=--+x x x x x 两边同乘以（x-1)(x-3)得：1,21,121==+=+∴x x x 但x=1不在定义域内，为增根，原方程无解解法2：方程定义域为}{3,2,1,M ≠∈=x R x x 且将方程右边的分式移到左边： ()()()()()()0131321212=-----+--x x x x x x x 左边通分整理得：()()()()()()0321222123=------+-x x x x x x x 即：()()()()()()()()0321212,0321-x 2232=-----=--+-x x x x x x x x x 约去公因式()()021-x ≠-x ,将方程左边化成最简因式：()0321=-x 上式的分子为非零常数，显然无解。

三、关于比例相似形⒈从 ABCD 的各顶向不过该顶的对角线引垂线，垂足为E 、F 、G 、H,求证： (ⅰ)EFGH 是 ; (ⅱ) EFGH ∽ ABCD.证明：（ⅰ） ∵AE ⊥BD DH ⊥AC∴A 、D 、E 、H 四点共圆（视角相等） ∴∠OEH=∠OAD 同理 ∠OGF=∠OCB又∵AD ∥BC ∴∠OAD=∠OCB ∴∠OEH=∠OGF ∴EH ∥GF 同理 EF ∥GHDACBEFGGH∴四边形EFGH 为平行四边形 （ⅱ）∵△OEH ∽△OAD∴.OD OHOA OE = ∴BD FHACEG =EFGH 与 ABCD 对角线夹角相等且对角线又成比例 ∴ EFGH ∽ ABCD 2.3.已知：AD 是△ABC 的中线，过C 的一直线分别交AD 、AB 与E 、F 。

求证：A E ·BF=2AF ·ED证明：延长CF 至点H ，使得CE=EH 连结BH ∵点D 是BC 上的中点 ∴DE 是△CBH 的中位线即D E ∥BH 且DE= 21BH∵DE ∥BH∴∠CED=∠CHB=∠AEF ∠AFE=∠BFH ∴△AFE ∽△BFH ∴BFAFBH AE =,且BH=2ED ∴AE ·BF=2AF ·ED4.直线l 与□ABCD 的边AB 、AD 和对角线AC 依次相交于E 、F 和G 。

求证：AGACAF AD AE AB =+证明：连结BF 、BE 、CF 和CE ， ∵SS SS AEFACF AEFABF AEAB==S S SS AEFACE AEFADE AFAD==∴AGACAG GC AG AFAD AE AB SS SSS SAEFCEFAEFAEFACEACF=+=+=+=+ABC DE F G5.AB 、CD 是等腰梯形ABCD 的二底，求证：DC AB AD AC ∙+=22证明：（如上图）作CD 的延长线到点H ，使得AH 垂直CH作点C 的延长线，使得CP 垂直ABABCP AD AC DH CH CP AD AC AB BP AP DH CH BP DH AP CH CPB AHD CBPDAC APH CB AD CPB AHD DH CH CP AD DH CH DH CH AD DH CH AD CH DH AD CH AH AC ⋅+=+⋅+==+=+==∆≅∆∴∠=∠=∠==∠=∠+⋅+=-++=-+=+-=+=222222222222222 )( 90)( ))(( )( )( 故有又6.AD 是Rt △ABC 斜边上的高,作DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC于F.求证：AD 3=BC ∙BE ∙CFHDCA B证明：∵AD2=BD∙DC,BD2=BE∙BA,CD2=CF∙CA,∴AD4=BE∙CF∙AB∙AC=BE∙CF∙BC∙AD约去AD,得AD3=BC∙BE∙CF7 .在△ABC中，∠A=60°，∠B=80°。

大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一1答：原则：（1）A ⊂B（2）A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。

而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。

（3）在A 中不是总能施行的某种运算，在B 中总能施行。

(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。

方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。

a=b ，M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴， 假设bc ac M c =∈，即，则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，由归纳公理知M=N ，所以命题对任意自然数c 成立。

（2）若a <b ，则bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac<bc 。

（3）若a>b ，则ac mc bc ac,m)c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。

3证明:(1)用反证法：若b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。

当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。

则a=b 。

（2）用反证法：若b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。

当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。

则a <b 。

（3）用反证法：若b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。

当a<b 时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。

用好微课实现«初等数学研究»的自主学习∗张新全㊀㊀王㊀杰(合肥师范学院数学与统计学院㊀㊀安徽合肥㊀㊀２３０６０１)摘要:自主学习是一个人的生存能力.大学生已经具备开展自主学习的条件,教师采取何种方式或者策略,方能促进学生自主学习习惯的形成,并形成相应的能力?本文从借助微课,实现学生自主预习;借助微课,实现学生自主评价;借助微课,促进学生课堂生成这三方面进行阐述.关键词:微课㊀㊀自主学习㊀㊀思维方式㊀㊀笔者２０１６年接触翻转课堂理念,开始学习可汗,制作视频,尝试用视频预习,培养学生自主学习的习惯和能力.一开始尝试实验的时候,总有本课程组的老师心存疑虑:长久以来,学生习惯了的数学学习是,上课教师讲,学生听;教师问,学生答;教师布置书面作业,学生做.突然学生要改变这十几年的被动学习习惯,改为先利用视频预习,再根据视频学习后的体会,自己提出问题,学生能适应吗?有的老师特别担心,是否会由于这种种的不适应,导致成绩下降?而且现在班级只有一门«初等数学研究»改变教学方法,能让学生改变得了被动学习的习惯吗?经过两年多不懈的努力和实践,笔者在用实际行动回答了其他教师疑虑的同时,也积累了一些用好微课,实现学生数学自主学习的方法和体会.现总结如下与各位同行交流.一㊁数学学习为什么要重视学生的自主学习有教师说,教师用传统的上课方法教学生,大家都已经习惯了,中规中矩,何必去搞什么微课?弄这么多新花样,教师还要跟着管理学生电脑使用,何必呢?自主学习,多见于对基础教育课程改革的研究,新课改有这个要求,也有这个社会现实背景需要.自主学习是一个人的生存能力.早在１９７２年,联合国教科文组织的国际委员在教育报告«学会生存 教育世界今天和明天»中提出: 未来的学校必须把教育的对象变成自己教育自己的主体,受教育的人必须成为教育他自己的人,别人教育必须成为这个人自己的教育. 互联网＋时代,信息容量很大,如何学会自主学习,对于自身能力的提升非常重要.实际上大学生已经具备了较高的抽象思维能力,自身已具有条件,可以尝试自主学习了.对大学生来讲,应该有这个迫切需要,教师应早日改变传统以教师为中心的教学方式,培养他们的自主学习能力.对于教师来讲,大学强调教师进行课程教学改革,也一直强调学生学习的主体地位.虽然现在依然是大班教学,但是也可以采用自主学习,更好地为教师推进整班教学服务.笔者两年来的实践证明,利用微课,先让学生自主预习和检测后,将核心问题作为教学共同基础,教学才能让大部分学生积极参与,形成新的共同基础,教学才更具有针对性,教学才会简单易行,才会良性发展下去.二㊁利用微课,如何实现学生自主学习学生学习«初等数学研究»这门课,可以先自学书本知识,但是很难达到完全理解的程度.那么如何利用微课实现高效地自主学习呢?笔者是利用微８０１∗本课题为２０１８年度安徽省高等学校质量工程项目 大规模在线开放课程MO O C 示范项目初等数学研究(项目编号:２０１８MO O C ５６０);合肥师范学院２０１９年度研究生创新基金项目 小学高年级学生数学合情推理能力培养的实践研究 (项目编号:２０１９y j s ０２１).用好微课实现«初等数学研究»的自主学习㊀㊀㊀课视频,将学生的«初等数学研究»学习分为几个环节,有效控制好每个环节,促进学生形成数学自主学习的习惯,培养相应的能力.(一)借助微课,实现学生自主预习«初等数学研究»这门课的知识面广量大不说,难度也高.让学生做好«初等数学研究»的预习工作,光靠学生自学预习看书显然行不通.笔者利用视频,在５－１０分钟内,讲解一个教学中的难点㊁重点㊁考点或者疑点等内容.学生的注意力最佳保持时间是１０－１５分钟.笔者在视频讲解时,语气尽可能口语化,试图营造一个轻松活泼㊁有别于严肃课堂的气氛,而且５－１０分钟视频也便于学生从网上观看或者下载.最主要的是能够重复利用,易修改.微课视频能更好地满足学生个性化学习的需要.有了视频,绝大部分学生再学习一些原本看不懂的内容,就简单多了.１．教师制作微课,简单方便笔者是数学教师,也擅长信息技术,利用录屏软件(C a m t a s i aS t u d i o)＋绘图软件(S m o o t hD r a w)＋写字板,边讲解边在写字板上书写,视频的制作模仿可汗视频.教师在将思维过程可视化的过程中,不跳过任何细小步骤,目的是想使所有学生都能看懂视频.教师视频容易做,是实现学生自主学习的先行条件.２．学生观看微课,通俗易懂微课的制作,是将知识尽可能地碎片化处理.可汗学院对数学知识点的讲解,采取的是５－１０分钟内多次反复,强化学生对该部分知识的记忆和理解,笔者也采取这种方法.此种教学方法对于教授难度高的题目,或者对于教智力水平不高的学生,教学效果好;但是若仅仅这样会造成学生对知识的混淆,所以笔者制作视频时多加入知识点之间的区别和联系.学生反映,知识讲解通俗易懂,也能分辨知识和方法的区别.学生通过自主学习,就能看懂视频内容,并且通过后续的练习知道自己的学习情况.这种微课自主学习,绝大部分学生喜欢和感兴趣,教师明显觉得学生的学习责任感增强.学生视频看得懂,是实现学生自主学习的必要条件. (二)借助微课,实现学生自主评价学生借助视频,实现自主学习了吗?真能听懂视频中教师讲的那一块知识吗?根据教师讲的知识,学生能解决相关的问题吗?显然,视频预习后,必要的检测,也是不可或缺的,有了检测,反过来还能促进学生更有效地看视频.１．利用客观题,初步评价学生的模仿和知识简单运用的能力.笔者在学习通网络教学平台,开设了针对本班学生的数学视频课.学生看完视频后有后续客观练习:填空题或选择题,以跟微课视频相关度较高的类型为主,主要是当时让学生了解自己看视频的模仿接受能力.学生给出答案后,电脑直接评分,并给出正确答案和提示.这一过程有点类似玩通关游戏,直接给予学生刺激.比如教完«初等数学研究»的几何部分之后,笔者在视频后缀,出了５个点㊁线㊁面位置关系的判断题,基本涵盖了立体几何中的所有垂直和平行的可能,促进学生对立体几何前后知识的回忆和理解.２．利用客观题和同伴互评题,进一步评价学生单独学习和相互学习的能力.微课后缀客观题和同伴互评题,根据课程内容,一部分是要求学生能在看过视频后,运用数学语言和自然语言做一些简单但必要的解答题,这部分学生以文字或附件的形式上传,评价学生的表达和交流能力;另一部分是评价学生对数学的理解,比如关注学生能否独立举出一定数量的用于说明问题的正例和反例.网站课程开展调查问卷,不记名地对学生学习目的和动机㊁对学生学习数学的兴趣进行评价,借助微课,促进学生自主提问.(三)借助微课,促进学生课堂生成问题 是数学课堂教学的心脏.学生利用视频实现自主预习后,这种类似于翻转课堂的问题需要师生共同确定.从教师角度,教师需要根据教学内容的重点㊁难点继续提出一些问题,还要根据统计的学生在线递交作业情况,提出一些问题;从学生角度,学生根据视频自己预习,针对练习时发现的疑问㊁和同伴交流中没有解决的困难等,提出一些问题.综合这两方面来确定用于课堂教学的问题,并由教师将各个问题形成串设置于教学流程中.比如,笔者为了教授«初等函数的公理化定义»一节内容,制作了两个视频,从操作层面教会学生解９０１２０１９年７月上㊀第１３期㊀(总第２９期)这类问题的方法和步骤,通过后缀练习发现大部分学生已经掌握了.为了上好这节课,笔者还做了如下准备:要求学生阅读«函数的概念和性质»一节,同时布置了开放性作业:请同学说说你对该节内容中部分或某个点的理解,能否自己编题.上课时教师的预设是补充函数概念的不同定义和各种性质,促进学生对利用函数性质解题方法的理解.实际上课时,笔者发现学生能很快理解基本指数函数定义的合理性,和它在题目中的桥梁作用.而且学生还总结出了一般指数函数的公理化定义,进一步推广到对数函数的公理化定义.有部分学生甚至提出了如何利用公理化的方法来定义幂函数㊁三角函数等情况.正常情况下这个内容是２个课时难以完成的,但是借助微课,大规模对学生操作的检查留给机器,课上教师指出个别学生的不足,就可以轻松完成.整个课堂上主要是学生对其中每个步骤和条件的理解以及前后知识联系.借助微课,不仅仅提高了课堂容量和效率,而且教师和学生更有充足的时间,多点对核心概念和知识的分析提升,扩大了学生的思维容量和发散度.在这种先学后教的数学教学模式下,学生体会到了自己不是学习机器,而是一个个可以有更高数学思维习惯和能力的人.借助微课,培养和训练学生的自主学习能力,学生的数学考试成绩提高了,是促进学生和课程组其他老师支持的进一步保证.三㊁结束语微课与课堂教学的有效结合需要改变学生的学习思维方式.在我国大中小学的课堂上,还是以教师的讲授为主.学生不习惯参与课堂活动,对教师依赖性很大,自主学习能力很欠缺.笔者两年来的教学实践,虽然取得了看得到的一些成绩,但是推进缓慢,也并不是所有学生都能自觉地参与自主学习.学生学习思维方式的改变,需要各个学科一起努力.参考文献:[１]蔡跃．微课程设计与制作教程[M]．上海:华东师范大学出版社,２０１４．[２]涂荣豹,葛军．初等数学研究教程[M]．南京:江苏教育出版社,２００９．[３]方其桂．微课制作实例教程[M]．北京:清华大学出版社,２０１５．责任编辑:丁㊀蔚«红蜻蜓»征订启事«红蜻蜓»杂志创刊于１９９９年９月,由安徽教育出版社和安徽教育宣传中心联合主办,以 五育并重,让儿童全面发展,服务素质教育 为办刊宗旨,是一份以小学低年级儿童为读者对象的综合性月刊,适合６~９岁儿童阅读.㊀㊀«红蜻蜓»杂志每年１２期,每月１日出刊.大１６开本,３２面,全彩,每本定价６元,全年７２元.全国各地邮局均可订阅.国内统一刊号:C N３４－１１１１/G４.国际标准刊号:I S S N１００９－３１１７.订阅方式１．邮局订阅邮发代号:２６－１５８２．直接订阅订阅电话:０５５１－６３６８３０７０６３６８３０７１６３６８３００２(传真)联系地址:安徽省合肥市经开区繁华大道西路３９８号０１１。

初等几何研究试题答案（II ）二、关于和、差、倍、分线段（角）1、 等腰ABC 中，0100,A B ∠=∠的平分线交AC 于D ，证明：BD+AD=BC 。

D 'BCA4321证：在BC 上取点D ,,使BD ,=BD,连结DD ,0100A ∠=且BD 平分∠ABC00120,40C ∴∠=∠=又BD=BD ,,0380∴∠=,23C ∠+∠=∠0240∴∠=即2C ∠=∠ ,,CD DD ∴=又03180A ∠+∠=∴点A 、D 、D ，、B 四点共圆且14∠=∠∴DD,=ADBC=BD,+CD ,=BD+AD已知，ABCD 是矩形，BC=3AB,P 、Q 位于BC 上，且BP=PQ=QC, 求证：∠DBC +∠DPC=∠DQC解：作矩形BCEF 与矩形ABCD 相等，在EF 上选取点O 使得FO=2EO.连结BO 、DO 。

由图可知，由BO=DO ，且有△BF O ≌△OED,∵∠FBO+∠BOF=90º ∠BOF=∠DOE ∴∠BOF+∠DOE=90º ∴∠BOD=90º △BOD 为等腰直角三角形 有∠DBO=45º ∴∠DBP+∠QBO=45º ∵∠DPC=∠QBO ∴∠DBP+∠DPC=45º ∵△DQC 为等腰直角三角形∴有∠DQC=45º 因此，有∠DBP+∠DPC=∠DQCP QAB CF EO P D3、圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于X ，由X 向AB 、BC 、CD 和DA 作垂线,垂足分别为A ´、B ´、C ´和D ´. 求证：A ´B ´+C ´D ´=B ´C ´+D ´A ´证明：（方法一）∵X 、A ´、A 、D ´四点共圆(对角和180°) ∴∠XA ´D ´=∠XAD ´又∵∠XAD ´=∠XBC(圆周角）同理∠XA ´B ´=∠XBC,即∠XA ´D ´=∠XA ´B ´ 同理可得∠XB ´A ´=∠XB ´C ´,∠XC ´B ´=∠XC ´D ´, ∠XD ´C ´=∠XD ´A ´∴X 是四边形A ´B ´C ´D ´的内心。