等腰三角形的三线合一

等腰三角形定义及性质
性质
等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）；
等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合 一”）；
等腰三角形定义及性质
等腰三角形的两底角的平分线 相等（两条腰上的中线相等， 两条腰上的高相等）；
等腰三角形底边上的垂直平分 线到两条腰的距离相等；
定理内容
等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合。 简称：等腰三角形“三线合一”。
定理证明
已知
△ABC为等腰三角形，AB=AC，AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中
BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）AB=AC（等腰三角形的性质）AD=AD（公共边）所以 △ABD≌△ACD（SSS）可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）因为 ∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180°（平角定义）所以∠ADB=∠ADC=90°（等量代换） 所以AD⊥BC。
目的：通过本课件的学 习，学生将能够
理解和掌握等腰三角形 的定义和性质；
掌握等腰三角形三线合 一的定理及其应用；
提高学生的逻辑思维能 力和空间想象能力。
等腰三角形定义及性质
• 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做 腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹 角叫做底角。
两角相等判定法
如果一个三角形有两个角相等，则这 个三角形是等腰三角形。
如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等 腰三角形。
综合判定法
三线合一：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底 边上的高重合（简称：三线合一）。

等腰三角形“三线合一”的妙用等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角的角平分线是互相重合的，我们把等腰三角形的这一性质简称为“三线合一”，这是等腰三角形的重要性质，本文例说这一性质在解题中的运用．一、求线段最值在处理线段问题时，如果既能运用全等三角形的知识，又能运用等腰三角形的知识，则应尽可能地运用“三线合一”的性质．这样，还能帮助同学们熟练掌握“三线合一”性质的转化．例1 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP 的最小值是_________．解过点A作AD⊥BC于点D．因为AB＝AC＝5，BC＝6，根据等腰三角形三线合一的性质，可得BD＝3．再根据勾股定理可知AD＝4，因为垂线段最短，所以当BP⊥AC 时，BP有最小值．利用等面积法，可得AD·BC＝BP·AC．即4 ×6＝5BP，则BP＝245．点评本题考查了勾股定理、等腰三角形三线合一的性质、等面积法．在此题中还考查了学生为了解决等腰三角形问题添加辅助线的方法．二、证明直线垂直在证明两直线垂直的问题时，如具备以下两个条件，可用“三线合一”来证明：(1)两线段中一条是这个三角形顶角的平分线或底边上的中线；(2)三角形是等腰三角形，例2 如图2所示，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F是CD的中点．求证：AF⊥CD．分析由已知，F是CD的中点，要证AF⊥CD，若连结AC与AD，则只要证得AC ＝AD，则由等腰三角形三线合一可证AF⊥CD．证明连结AC与AD．∵在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠B＝LE，BC＝ED，∴△ABC≌△AED．则AC＝AD．∵AF是等腰△ACD的底边上的中线，∴AF⊥CD．点评本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的性质的应用．三、处理角与角之间的关系在处理角之间的关系时，利用等腰三角形三线合一的性质，并将已知条件与待求证的角关系转化到一起，可以使问题容易地得到了解决．例3 如图3所示，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点．求证：∠BFE＝∠CFE．分析因为E是BC的中点，故要证∠BFE＝∠CFE，我们很自然联想到等腰三角形三线合一定理．只要能证明BE＝CE，再由E是BC的中点，我们就知道EF即是∠BFC 的角平分线，因此也就得出结论．证明∵1＝∠2，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，∴△ABF≌ADCF，∴BF＝CF．则△BCE是等腰三角形，又∵E是BC的中点，∴根据等腰三角形三线合一可得EF是∠BFC的角平分线，则∠BFE＝∠CFE．点评本题既考查全等三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质，还考查学生综合运用定理进行推理的能力．例4 如图4所示，ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝_______°．解由AB＝AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，得∠BAD＝∠CAD，由∠BAC＝70°，则∠BAD＝35°．点评本题也能利用全等三角形证明，但利用等腰三角形三线合一的证明方法比用全等三角形的证明方法简单得多．。

初中几何等腰三角形三线合一经典题型及变式题汇总三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。

所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。

必然三线合一。

今天主要举例说明一下等腰三角形三线合一，求解的问题。

并出几个变形题目，供大家练习，在从其他方面来解答等腰等腰三角形问题。

题：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上的点。

求证：PA^2=AB^2-PBPC。

证明：作高AD。

则由勾股定理，得AB^2-PA^2=BD^2+AD^2-( PD^2+AD^2)= BD^2-PD^2=(BD-PD)(BD+PD)=PB（BD+PD），因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=DC，所以BD+PD=DC+PD=PC，所以AB^2-PA^2=PBPC，所以PA^2=AB^2-PBPC。

变式一：如图2，D是等腰△ABC底边BC延长线上的点，AB=AC=CD=2BC，则AD：BC=______。

（答案：√10）变式二：已知等腰△ABC中，AB=AC，P是底边BC延长线上的点。

求证：PA^2=AB^2+PBPC。

（提示：作△ABC的高AD）变式三：已知等腰Rt△ABC中，AB=AC=2√2，∠BAC=90°，P 是BC上的点，Q是BC延长线上的点，且∠PAQ=90°，如果PQ=5，则PB=______.(答案：1)初中英语下册期末复习第11单元重点知识汇总Unit11 How was your school trip?【重点单词】milk v.挤奶cow n.奶牛milk a cow 给奶牛挤奶horse n.马ride a horse 骑马feed v.喂养；饲养feed chickens 喂鸡farmer n.农民；农场主quite adv.相当；安全quite a lot(of…) 许多anything pron.（常用于否定句或疑问句）任何东西；任何事物grow v.种植；生长；发育farm n.农场；务农；种田pick v.采；摘excellent adj.极好的；优秀的countryside n.乡村；农村in the countryside 在乡下；在农村yesterday n.昨天flower n.花worry v.担心；担忧luckily adv.幸运地；好运地sun n.太阳museum n.博物馆fire n.火灾fire station 消防站painting n.油画；绘画exciting adj.使人兴奋的；令人激动的lovely adj.可爱的expensive adj.昂贵的cheap adj.廉价的；便宜的slow adj.缓慢的；迟缓的fast adv&adj快地（的）robot n.机器人guide n.导游；向导gift n.礼物；赠品all in all 总的说来everything pron.一切；所有事物interested adj.感兴趣的be interested in 对……感兴趣dark adj.黑暗的；昏暗的hear(heard）v.听到；听见【重点短语】1. school trip 学校旅行2. go for a walk 去散步3. milk a cow 挤牛奶4. ride a horse 骑马5. feed chickens 喂鸡6. talk with a farmer 与农民交谈7. take some photos 照相8. ask some questions 问一些问题9. grow apples 种苹果10. show sb. around splace. 带某人逛某地11. learn a lot 学到许多12. pick some strawberries 摘草莓13. last week 上周14．In the countryside 在乡村15. visit my grandparents 拜访我的祖父母16. go fishing 去钓鱼17. sound good 听起来很好18. climb the mountains 去爬山19. play some games 玩一些游戏20. visit a museum 参观博物馆21. visit a fire station 参观消防站22.draw pictures 画画23. go on a school trip 去旅行24 visit the science museum 参观科技博物馆25. how to make a model robot 如何制作机器人模型26. gift shop 礼品店27. buy sth for sb. 为某人买某物28. all in all 总得来说29. be interested in... 对…感兴趣30. be expensive 昂贵的31. not...at all 一点儿也不【重点句型】1.—Did you see any cows?你见到奶牛了吗一Yes, I did. I saw quite a lot.我见到了而且见到了很多很多2.—Did Carol take any photos?罗尔拍照片了吗？—Yes, she did.是的，她拍了。

即：AD⊥BC
∴∠BDA=∠CDA,BD=CD
证明
①+③
求证： ∠BAD=∠CAD ， BD=CD
②④
A
已知：在△ABC中，AB=AC， AD⊥BC于点D，
｛
证明：∵AD⊥BC ∴ ∠ADB=∠ADC=90º 在Rt△ABD与Rt △ACD中 AB=AC AD=AD ∴△ABD≌ △ACD(HL) ∴∠BDA=∠CDA,BD=CD
B
D
C
证明
①+④
求证：AD⊥BC， ∠BAD=∠CAD
②③
A
已知：在△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=CD
｛
证明：在△ABD与 △ACD中 AB=AC AD=AD BD=CD ∴△ABD≌ △ACD(SSS) B ∴ ∠BAD=∠CAD, ∠BDA=∠CDA
∵∠BDA+∠CDA=180º
在等腰△ABC中
A
D
C
1、若AD是顶角的平分线，则它也是底边上的中线，底边上的高. 2、若AD是底边上的中线，则它也是顶角的平分线，底边上的高. 3、若AD是底边上的高，则它也顶角的平分线，底边上的中线.
分 析
在△ABC中,对于以下四个条件
①AB=AC或（∠B=∠ C） ② ∠BAD=∠CAD ③ AD⊥BC ④ BD=CD ② ①
D
C
∴∠BDA=∠CDA=90º 即：AD⊥BC
符号表示
1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是 底边上的高.
A
∵AB＝AC
∴BD＝DC
∠BAD＝∠CAD（已知）
AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
B
2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角 平分线.