“幂的运算”学法导航一、知识点扫描1．同底数幂乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即a m·a n=a m+n（m、n是正整数）．当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质，如：a m·a n·a p=a m+n+p （m、n、p是正整数）．2．幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即（a m）n=a mn（m、n是正整数）．多重乘方也具有这一性质，如：[（a m）n]p=a mnp（m、n是正整数）．3．积的乘方：等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即（ab）n=a n b n （n是正整数）．积的乘方也适用于多个数相乘，如：（abc）n=a n b n c n.二、学习方法导航1．幂的运算性质的导入，是一个由具体到抽象、有特殊到一般的认识过程．学习时应以学生已有的知识和经验为出发点，让学生自主探索、合作交流．2．幂的运算是学习整式的乘法的基础，学习时要重视法则的语言的表述，进行“以理驭算”的训练，为后续的学习做必要的铺添．3．要注意公式中的底数a、b的意义的理解：a、b代表的不仅可以是单独的数、单独的字母、还可以的一个任意的代数式．这体现了整体思想和把“新问题转化为旧知识”的化归思想．三、易混淆的几个问题辨析例1 判断下列等式是否成立：(1)(-x)2＝-x2，(2)(-x3)＝-(-x)3，(3)(x-y)2＝(y-x)2，(4)(x-y)3＝(y-x)3，错解：全部正确诊断：(1)对于-a2与（-a）2的区别：前者表示a的平方的相反数，后者表示的是a的相反数的平方．如：-a4·（-a）4应等于-a8，而不能错认为等于a8，所以(1))(2)是错误的．(2)当n为偶数时，（a-b）n=（b-a）n，当n为奇数时，（a-b）n=-（b-a）n．所以(4)是错误的．正确解答：上述等式成立的是(3)例2 计算：(1)a3·a3； (2)a3·a4；(3)x5·x5；(4)x5＋x5；(5)y· y13；(6)m2· m＋m3· m．错解：(1)a3·a3=2a3； (2)a3·a4=a12；(3)x5·x5=x25； (4)x5＋x5=2x10；(5)y·y13=y13；(6)m2·m＋m3·m=m3＋m4=m7．诊断： (1)(4)两小题的解答错把同底数幂的乘法运算与同底同指数幂的加法运算相混淆；(2)(3)两小题错把幂之间的运算符号用到指数运算中，即把同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的运算法则误认为“底数不变，指数相乘”；(5)小题错把第一个幂中y的指数1误认为是零；(6)小题错把同底数幂相加误认为是同底数幂相乘．正确解答：(1)a3·a3=a6； (2)a3·a4=a7；(3)x5·x5=x10； (4)x5＋x5=2x5；(5)y· y13=y14； (6)m2· m＋m3· m=m3＋m4．说明：在学习同底数幂的乘法时，应注意不要把幂的乘法运算与整式加法运算相混淆．幂的乘法只要求同底就可以用性质计算，这就是“底数不变，指数相加”；幂的加法则不仅要求底数相同，而且指数也必须相同，这就是说，它们是同类项时才能进行加法计算，这时是幂不变，系数相加．例3 下列各等式：(1)(－a)2·(－a)3＝(－a)(－a)(－a)(－a)(－a)＝－a5；(2)(－a2)·(－a)3＝(－a· a)·(－a)(－a)(－a)=－a5；(3)(－a)2·(－a3)=(－a)(－a)·(－a·a·a)=－a5；(4)(－a2)·(－a3)=(－a·a)·(－a·a·a)=－a5．其中错误的有( )A．0个B．1个 C．2个D．3个错解：根据乘方的意义选D．诊断：(1)式与乘方的意义相符，所以是正确的．(2)式第一步与乘方的意义相符，但因有偶数个负数相乘，积为正号(a本身的正负不予考虑)，故结果是错误的．(3)式的第一步与乘方的意义相符，因有奇数个负数相乘，积为负，故结果是对的．(4)式相当于两个负数相乘，其积的符号为正，故结果是错误的．正确解答：根据乘方的意义应选C．例4 下列各等式中，仅有一个括号内填入t3才能使等式成立，这个等式是( ) A．t3·()＝2t3B．t2·()＝t6C．t2·( )＋t5＝2t5D．t2·()＋t6＝2t6错解：因为 t2·t3=t6，所以t2·t3＋t6=2t6．故选D．诊断：将“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”误认为“指数相乘”，因而产生t2·t3=t6的错误．正确解：因为t2·t3=t5，所以 t2·(t3)＋t5=t5＋t5=2t5．故应选C．例5 计算：(1)(a5)3；(2) a5·a3．错解：(1)(a5)3=a8；(2)a5·a3=a15．诊断：(1)误将幂的乘方运算法则与幂的乘法运算法则相混淆．(2)误将“同底数幂相乘”按“幂的乘方”进行计算．正确解法：(1)(a5)3=a15；(2)a5·a3＝a8．例6 计算：(1)－x2·(x3)4；(2)x2·(－x3)4．错解：(1)－x2(x3)4=－(x2+3)4=－x20；(2)x2(－x3)4=x2(－x12)=－x14．诊断： (1)－x2(x3)4里包括两级运算：即乘法运算和乘方运算，上面解答错在把运算顺序颠倒了．其实按照运算顺序，应先做乘方运算，后做乘法运算，即－x2(x3)4=－x2·x12=－x14．(2)上面解答或是没有真正理解乘方的意义，或是未把(－x3)4看作积的乘方，即[(－1)·(x3)]4=(－1)4·(x3)4=x12．说明：学习幂的乘方时，注意防止将幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质相混淆．防止的办法是要注意每一性质得来的根据．例7 计算：(1)(a3)2；(2)(x n-1)2．错解：(1)(a3)2=a9；(2)(x n-1)2＝x2n-1．诊断：(1)由于没有掌握幂的乘方性质，把指数相乘误认为将指数乘方．(2)错在2没有与n－1中的每一项相乘，事实上，当幂指数是一个多项式时，乘方的次数必须同幂的指数中每一项相乘．正确解法：(1)(a3)2=a6；(2)(x n-1)2=x2n-2．以上所述是产生幂运算错误两种知识方面的因素．此外，还有非知识方面的因素，象错a m+a m＝a2m，也有不认真仔细审题之过(没注意左边就是两同类项之和，可合并)．又如计算a mn÷a m-n不就是计算被除数与除数相等时的商吗？直接观察便知结果是1，但却偏偏出现误算a m-n÷a m-n=a(m-n)-(m-n)=a m-n-m-n=a-2n，这是心理素质不稳定、急躁而出现认知故障，造成运算刻板，最终导致错误．四、幂的运算法则逆向运用学习了幂运算后，对法则的正向运用往往比较得心应手，但在解决许多数学问题时如逆向运用法则，则可以化难为易，事半功倍．现举例说明：例1已知；a m=2，a n=3，使求a2m+3n的值．解；原式=a2m·a3n=（a m）2·（a n）3=22·33=108评注：本题逆向运用了同底数幂乘法运算法则，即a m+n=a m·a n，幂的乘方运算法则，即a mn=（a m）n．例2计算（-0.25）2005×42006解：原式=-4×（0.25×4）2005=-4评注：本题逆向运用了积的乘方运算法则，即a n b n=（ab）n例3 比较a=2555，b=3444，c=4333的大小解：2555=（25）111=32111，3444=（34）111=81111，4333=（43）111=64111．所以a<c<b评注：本题巧妙地运用幂的乘方将不同指数化为相同指数再比较．。
幂的运算的逆运用帮你比较大小
幂的运算是整式乘法的基础，它的应用形式灵活、广泛，有使问题化难为易的效果。
下面就来说一说逆用幂的运算性质比较大小。
例1：已知a ＝355，b ＝444，c ＝533，则有 [ ]
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．a ＜c ＜b
解析：此题不易直接求出a 、b 、c 的值，需变换思维，另辟途径，观察各数的特点，发现它们是幂的形式，于是想到把a 、b 、c 转化为指数相同或底数相同，即可比较大小。
本题易逆用幂的乘方把它们转化为指数相同的幂。
即a ＝(35)11＝24311，b ＝(44)11＝25611，c ＝(53)11＝12511．因为125＜243＜256．所以c ＜a ＜b ．故应选C ．
例2：比较大小181023⨯与101523⨯
解析：观察式子知181022，101533，再比较就困难了，于是需逆用同底数幂的乘法
将其转化为底数相同的幂然后在比较简单的幂的大小。
结合性质有18101081023223⨯=⨯⨯，
10151010523233⨯=⨯⨯，此时，只比较82与53的大小即可，通过计算得8
523，于是得出181023⨯＞101523⨯。
零指数幂与负整数指数幂执笔人：杨军爱一、目标导引在介绍同底数幂的除法公式a m ÷a n ＝a m -n 时，有一个附加条件：m ＞n ，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m ＝n 或m ＞n 时，情况怎样呢？我们今天就来学习这两种情况。
首先明确今天的学习目标及重难点。
学习目标1.理解a 0的意义，并掌握a 0＝1(a ≠0)；2.理解a -n （n 是正整数）的意义，并掌握a -n ＝n a 1（a ≠0，n 是正整数）；3.理解并掌握幂的运算律对于整数指数都成立，并会正确运用．重点和难点重点：幂与负整数指数幂；难点：幂与负整数指数幂的有意义的条件．二、预习探究先考察被除数的指数等于除数的指数的情况．例如考察下列算式：52÷52，103÷103，a 5÷a 5(a ≠0)．一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得52÷52＝___＝____，103÷103＝__＝___ a 5÷a 5＝____＝_____(a ≠0)．另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于____． 概括 由此启发，我们规定：50＝__，100＝___，a 0＝____(a ≠0)．这就是说：_____________________________________注 零的零次幂没有意义．我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式：52÷55，103÷107．一方面，如果照同底数幂的除法公式来计算，得52÷55＝_______＝______，103÷107＝________＝_______．另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为33225252515555555=⨯==÷，4433737310110101010101010=⨯==÷． 概括 由此启发，我们规定33515=-，4410110=-． 一般地，我们规定n n aa 1=-（a ≠0，n 是正整数）． 这就是说，___________________________________________________三、自我展示1.判断正误：(1) a 6÷a 2＝a 3；(2)(-a )3÷(-a )2＝a ；(3)a 6÷a 2＝a 4；(4)a 3÷a ＝a 4；(5)(-c )4＋c 2＝-c 2； (6)(-c )4÷(-c )2＝c 2；(7)a 5÷a 4＝0；(8)54÷54＝0；(9)x 3n ÷x n ＝x 2n ；(10)x 3n ÷x n ＝x 3．2．计算：(1)810÷810； (2) 10-2； (3)101031-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛． 3. 用小数表示下列各数：(1) 10-4； (2)2.1×10-5．四．讨论解疑现在，我们已经引进了零指数幂和负整数指数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数．那么，在“幂的运算”中所学的幂的性质是否成立呢？与同学们讨论交流一下，判断下列式子是否成立：(1) a 2·a -3＝a 2+(-3)； (2)( a ·b )-3＝a -3·b -3； (3)( a -3)2＝a -3×2．概括 当a 、b 都不等于0时，下列运算律成立：(1)同底数幂的乘、除法a m ·a n ＝a m +n （m ，n 都是整数）；a m ÷a n ＝am -n （m ，n 都是整数）； (2)幂的乘方 (a m )n ＝a mn （m ，n 都是整数）；(3)积的乘方 (ab )n ＝a n b n（n 是整数）．例 计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：(1) (x -5y 2z -1)2； (2)(a 2b -2)-1(a 3b －4)3． 五、检测反馈1．计算：(1)(-0.1)0； (2)020031⎪⎭⎫ ⎝⎛； (3)2-2； (4) 221-⎪⎭⎫ ⎝⎛． 2.计算： (1)510÷254； (2)(-117)0； (3)4-2； (4)241-⎪⎭⎫ ⎝⎛-． 3.计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：(1)(x -3yz -2)2； (2)(a 3b -1)-2(a -2b 2)2； (3)(2m 2n -3)3(-mn -2)-2．。
