江苏省如东高级中学2019-2020学年高一数学下学期第二次阶段测试试题【含答案】

2019～2020学年度第二学期第二次月考高一物理一、本题共7小题，每小题3分，共21分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．选对的得3分，选错或不答的得0分。

1.某同学拿了一根细橡胶管，里面灌满了盐水，两端用粗铜丝塞住管口，形成一段封闭的长度为20cm 的盐水柱．测得盐水柱的电阻大小为R 。

如果盐水柱的电阻随长度、横截面积的变化规律与金属导体相同，则握住橡胶管的两端把它均匀拉长至40cm ，此时盐水柱的电阻大小为( ) A.2RB. RC. 2RD. 4R【答案】D 【解析】【详解】盐水柱的电阻随长度、横截面积的变化规律与金属导体相同，故有LR Sρ=握住橡胶管的两端把它均匀拉长后，则有242L LR RS S ρρ'•'==='故A 、B 、C 错误，D 正确； 故选D 。

2.如图所示，在xOy 平面内有一个以O 为圆心、半径R=0.1m 的圆，P 为圆周上的一点，O 、P 两点连线与x 轴正方向的夹角为θ．若空间存在沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小100/E V m =，则O 、P 两点的电势差可表示为（ ）A. 10sin (V)op U θ=-B. 10sin (V)op U θ=C. 10cos (V)op U θ=-D. 10cos (V)op U θ= 【答案】A 【解析】本题考查匀强电场中电势差与场强的关系.沿着电场线方向电势越来越低,故由题图可知O 点电势低,P 点电势高,所以OP 两点间电势差为负值,匀强电场中两点间电势差取决于两点间沿场强方向的距离,所以有:U OP =-Ed OP sinθ=-10sinθ,A 项正确.3.四个相同的小灯泡按照如图所示的(a )、(b )两种方式接入电压相等的电路中，调节R 1、R 2使四个小灯泡都正常发光，这时可变电阻R 1、R 2消耗的电功率P 1和P 2的关系为( )A. P 1=2P 2B. P 1＞2P 2C. P 1＜2P 2D. P 1=P 2【答案】B 【解析】【详解】灯泡规格相同且正常发光，甲图灯泡并联，电流为12I I =额乙图灯泡串联，电流为2I I =额电阻1R 的电压为1U U U =-额消耗的功率为1112)(P U I U U I ==-•额额电阻2R 的电压为22U U U =-额消耗的功率为2221)(2(2)22P U I U U I U U I =•=-•=-额额额额 所以有122P P >故A 、CD 错误，B 正确； 故选B 。

江苏省如东高级中学2023-2024学年高一下学期6月期末模拟数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．设i 为虚数单位，若复数z 满足A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．已知，，若，则实数t 的值为( )A.5B.2C.-1D.-33．在中，已知，则A 角的度数为( )A. B. C.或 D.4．正方体中，P 为的中点，则直线与直线所成角为( )5．设样本数据,,,的均值和方差分别为1和2，若，则,,,的方差为( )A.1B.3C.4D.86．袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，事件“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是( )A.事件A 与B 是互斥事件 B.事件A 与B 是对立事件C.事件C 与D 相互独立D.事件C 与D 不是互斥事件7．已知圆锥的侧面积为( ) B. D.28．在中，M 是边的中点，N 是线段的中点.若的面积取最小值时，则( )A.2B. C.6D.43i 1z =+(2,1)a =- (1,0)b =-()()a tb a b -⊥+ ABC △a ==60=︒30︒45︒45︒135︒150︒1111ABCD A B C D -11B D DP 1B C 1x 2x ⋅⋅⋅10x 21(1,2,,10)i i y x i =-=⋅⋅⋅1y 2y ⋅⋅⋅10y A =B =C =D =3ππABC △BC BM A ∠=ABC AM AN ⋅2BC =12-二、多项选择题9．已知的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是( )A.若，则B.若，，，则有两解C.若为钝角三角形，则D.若，，则面积没有最大值10．2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌.为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了50名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分：100分），得到如下的频率分布直方图，则( )注：同一组中的数据用该组区间中点值代表.A.图中y 的值为0.004B.估计样本中竞赛成绩的众数为70C.估计样本中竞赛的平均成绩不超过80分D.估计样本中竞赛成绩的第75百分位数为76.7511．在边长为2的正方形中，E ，F 分别为，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得B 、C 、D 三点重合于点S ，得到四面体，顶点S 在底面上的射影为O ，下列结论正确的是( )A.ABC △A B >sin sin A B>30A =︒4b =3a =ABC △ABC △222a b c +>60A =︒2a =ABC △ABCD BC CD AE AF EF S AEF -AEF SA EF⊥B.点O 为的外心C.点O 到三个侧面距离的平方和等于D.个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为________.四、解答题15．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.(1)求A ；(2)若的面积为的周长16．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A ＝45°，，E 为AB 的中点，将沿直线DE 翻折成，使平面平面BCD ，F 为线段PC 的中点.(1)证明：平面PDE ；(2)已知M 为线段DE 的中点，求直线MF 与平面PDE 所成的角的正切值.17．某部门为了对该城市共享单车加强监督管理，随机调查了1000名用户.根据这1000AEF △2SO 2222AEF SAE SAF SEFS S S S =++△△△△1//B F 1A BE 11B D DF -ABC △cos sin 0a C C b c +--=a =ABC ABC AB =ADE △PDE △PDE ⊥//BF名用户对某品牌共享单车的评分（满分：100分），绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为,,,.(1)试估计这1000名用户评分的平均分；(2)若采用分层随机抽样的方法从评分在,内的用户中抽取5人进行调查，并从这5人中随机选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人的评分在内的概率.18．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.(1)求角C 的大小；(2)若边，边的中点为D ，求中线长的最大值.19．如图，在矩形ABCD 中，，沿着BM 折起，使点A 到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影E 落在线段BC 上.(1)当点M 与端点D 重合时，证明：平面；(2)求三棱锥的体积的最大值；(3)设直线CD 与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值.[40,50)[50,60)…[90,100][40,50)[50,60)[40,50)ABC △()()()sin sin sin A B a c b C B =-+2c =AB CD 1AB =BC =ABM A 'A '∉BCDM A 'BCDM A B '⊥A CD 'E A BM '-A BM 'αA BM C '--β2sin cos αβ⋅参考答案1．答案：C解析：因为，所以，对应的点为，故选：C2．答案：D 解析：由，，可得，，则由，可得，解之得故选：D 3．答案：B解析：因为，所以，即，，.故选：B.4．答案：C 解析：如上作图，Q 为底面中心，P 为上底面中心，易得，所以异面直线与所成的角就是或其补角，设正方体棱长为2，可得，3i 12i z =+3412i 2i2i i iz +-+===-+2i =--()2,1--(2,1)a =- (1,0)b =- (1,1)a b +=- (2,1)a tb t -=+-()()a b a tb +⊥-210t ++=3t =-a ==b <A B <060A ︒<<︒=sin a B A b ===∴45A =︒1//DP QB DP 1B C 1QB C ∠1B C =QC =1=再由余弦定理得：，由得：所以异面直线与故选：C.5．答案：D解析：由.故选：D 6．答案：C解析：袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：，，，，，，，，，共10个，其中事件A 包含的样本点为：，，共3个，故事件B 包含的样本点为：，，，，，，共7个，故事件C 包含的样本点为：，，，共4个，故事件D 包含的样本为：，，，，，共6个，故因为事件，，故事件A 与B 互斥且对立，故A ，B 正确；因为,所以C 与D 不相互独立，故C 错误.因为,所以C 与D 不互斥，故D 正确.故选：C.7．答案：B解析：设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，22211111cos 2QB CB QC QB C QB CB +-∠====⋅()10,πQB C ∠∈1QB C ∠DP 1B C ()()()2148i i i D y D x D x =-==()1,2()1,3()1,4()1,5()2,3()2,4()2,5()3,4()3,5()4,5()1,3()1,5()3,5()P A =()1,2()1,4()2,3()2,4()2,5()3,4()4,5()P B =()1,3()1,5()2,4()3,5()410P C ==()1,5()2,4()2,5()3,4()3,5()4,5()610P D ==A B =∅ A B =Ω ()()()3231055P CD P C P D =≠⨯=()()(){}1,5,2,4,3,5C D =因为圆锥的侧面积为可得，解得,，所以圆锥的高为故选：B.8．答案：D解析：在中，由由M 是边的中点，N 是线段的中点，得，，则，，即,在中，由余弦定理得：，所以.故选：D 9．答案：AB解析：，A 正确；因为，，故，所以，故B 有两角，B 正确；为钝角三角形，但不确定哪个角为钝角，3π2π3π12π3π23rl l =⎧⎪⎨⨯⋅=⎪⎩1r =3l =h ==ABC △A ∠=ABC 12AB AC =⋅AB AC ⋅=BC BM 1()2AM AB AC =+111131()()222244AN AB AM AB AB AC AB AC =+=++=+ 22131311()()||||244882AM AN AB AC AB AC AB AC AB AC⋅=+⋅+=++⋅ 22311π||||||||cos ||||||||||68826AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC =++≥==||||AB AC = ||2AB = ||AC =ABC △2BC ===24BC =2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B >⇒>⇒>⇒>30A =︒4b =a ==sin B =a >B A >ABC △则不一定成立，C 不符合题意；因为，，由余弦定理得，，当且仅当时取等号，故，面积故选：AB.10．答案：ACD解析：对于A ：由题得，故A 正确：对于B ：由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为75，则估计众数为75，故B 错误：对于C ：样本中竞赛成绩超过80分的频率只有0.12，故平均成绩不可能超过80分，故C 正确；对于D ：设样本中竞赛成绩的第75百分位数为x ，前2组频率之和为0.16，前3组频率之和为，故x 位于第3组，于是得，解得，故D 正确.故选：ACD.11．答案：ACD解析：因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，故A 正确；因为平面，平面，所以，又，又，所以平面，又平面，所以.同A 证明过程及上述过程，可证，，所以点O 为的垂心，故222a b c +>60A =︒2a =2224a b c bc bc ==+-≥b c =4bc ≤ABC △12S bc ==≤10.160.320.400.0810y ----=0.004=0.320.480.75+=<0.480.40+0.880.75=>(70)x -⨯0.0400.750.48=-76.75x =SA SE ⊥SA SF ⊥SE SF S = ,SE SF ⊂SEF SA ⊥SEF EF ⊂SEF SA EF ⊥SO ⊥AEF EF ⊂AEF SO EF ⊥SA EF ⊥SO SA A = EF ⊥SAO AO ⊂SAO AO EF ⊥EO AF ⊥FO AE ⊥AEF △B 错误；如图以为体对角线构造长方体，其中平面，平面，平面，又，所以点O 到三个侧面距离的平方和等于，故C 正确；取的中点为M ，连接，，则，，，故D 正确.故选：ACD.12．答案：解析：故答案为：SO OG ⊥AEF OI ⊥SAE OH ⊥SAF 2222OG OH OI SO ++=2SO EF SM AM SM EF ⊥AM EF ⊥()()(2222222222111)444AEF S AM EF AM SE SF SA SM SE SF =⋅=⋅+=++△()2222222214SA SE SM SE SA SF SM SF =⋅+⋅+⋅+⋅()22222214SA SE SA SF SM EF =⋅+⋅+⋅222SAE SAF SEFS S S =++△△△0.511sin cos cos sin 6262αααααππ⎛⎫⎛⎫+-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221cos 2cos 2()cos 2(2sin (136662ααααππππ⎛⎫⎡⎤⎡⎤∴+=-+π=--=--=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦,女生样本为,,,,均值为则,，，，，则.故答案为：275.解析：如图，当点H 位于的中点时，取中点G ，连接，，，则由正方体性质有，，因为平面，平面，所以平面，平面，又且都在面，所以平面平面，211z 2z 25z 251117625i i y y ===∑()252211110025i i s y y ==-=∑251116625j j z z ===∑()252221140025j j s z z ==-=∑∴()5025251111112517625166171505050ii j i i j x x y z ===⎛⎫==+=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭∑∑∑()()252522211150i j i j s y x z x ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()25202211150i j i j y y y x z z z x ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()()()2525252522221111125()225(250i i j j i i j j y y y x y y y x z z z x z z z x ====⎡⎤=-+-+--+-+-+--⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑()()2522112510025(176171)2176171252540025(166171)216617150i i y y =⎛⎡⎛⎫=⨯+⨯-+⨯--+⨯+⨯-+⨯- ⎢ ⎪⎝⎭⎣⎝∑∑()()1251255025176251762542550251662516650=⨯+⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯-⨯⎡⎤⎣⎦275=1CC 11D C 1B H GH 1B G 11//B H A E 1//A B GH 1,GH B H ⊄1A BE 11,A E A B ⊂1A BE //GH 1A BE 1//B H 1A BE 1B H GH H = 1B GH 1//B GH 1A BE又面，所以平面，所以F 的轨迹是以,的中点为端点的线段，因为，所以当F 点离平面距离最远时三棱锥体积最大，此时，点F 与的中点H 重合，取中点O ，连接，则由正方体性质可得平面，所以三棱锥的外接球球心在所在直线上，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，球心为，则，于是，所以外接球半径为所以15．答案：(1)(2)解析：（1）由1GB ⊂1GB H 1//GB 1A BE 1CC 11D C GH 1111B D DF F B D D V V --=11B D D 11B D DF -1CC 1BD ()OH OF OH ⊥11B D D 11B D DH -OH ()0,0,0D ()10,0,2D ()0,2,1H ()12,2,2B (),,1G x y '1G B G D '='G H G D'='()()()222222222211201x y x y x y x y ⎧-+-+=++⎪⎨+-+=++⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎩2221R x y =++=22594411616S R ⎛⎫=π=π++= ⎪⎝⎭A =cos sin 0a C Cbc --=得其中又.即因为A 是三角形的内角，所以（2）由，由余弦定理，得，得所以的周长为16．答案：(1)见解析；(2)2解析：（1）取PD 的中点G,连接,，F ，G 分别为PC ，PD 的中点，,又E 为AB 的中点，,，,，FGEB 为平行四边形，，又面PDE ，面PDE ，平面PDE .2sin sin b c R B C===sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C=+=sin cos sin sin 0A C A C C --=sin C ≠cos 1A A -=π1sin()62A -=A =1sin 2ABC S bc A ==△8=222cos 2b c a A bc +-==228c bc +-=()23832b c bc +=+=b c +=ABC △a b c ++=+=EG GF ∴//FG CD 12FG CD = ∴//EB CD 12BE CD =∴//FG EB FG EB =∴∴//FB GE BF ⊄GE ⊂∴//BF（2）在平行四边形中，因为，所以，又因为，可得即，因为平面平面，平面平面，所以平面平面，由（1）可知，，所以平面，连接,即为直线MF 与平面PDE 所成的角，因为,，所以，即直线MF 与平面PDE 所成的角的正切值为2.17．答案：(1)76.2分；解析：（1）由，解得，，所以估计这1000名用户评分的平均分为76.2分.（2）由频率分布直方图可知，评分在,内的人数分别为40，60.若采用分层随机抽样的方法从评分在,内的用户中抽取5人，则中选：（人），分别记作A ，B ；中选：（人），分别记作a ，b ，c .从这5人中任选2人的所有情况有：，，，，，，，，，，共10种情况.其中至少有1人的评分在内的情况有：，，，，，，，共7种情况.故所求概率ABCD AB =AD =45A =︒90,AED ∠=︒AB DE ⊥PDE ⊥BCD PDE BCD DE =AB ⊥PDE //GF AB GF ⊥PDE GM GMF ∠GF BE PE ==12GM PE =tan 2GF GMF GM∠==()0.0040.0220.0280.0220.018101a +++++⨯=0.006a =)0.006650.022750.028850.022950.0181076.2+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=[40,50)[50,60)[40,50)[50,60)[40,50)40524060⨯=+[50,60)60534060⨯=+(),A B (),A a (),A b (),A c (),B a (),B b (),B c (),a b (),a c (),b c [40,50)(),A B (),A a (),A b (),A c (),B a (),B b (),B c 710P =18．答案：(1)解析：（1）因为，由正弦定理可得：，则，即，由余弦定理可得：因为，所以（2）因为D 为的中点，所以，则，又由余弦定理得，，即，所以.由得，，则，当且仅当即，所以，即中线.19．答案：(1)证明见解析；解析：（1）当点M 与端点D 重合时，由可知，由题意知上平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，可知C =2+()()()sin sin sin A B a c b C B =-+()()()a a c b c b -=-+222a c b =-222a b c +-=222cos 2a b c C ab +-===()0,πC ∈C =AB ()12CD CA CB =+ ()()2222221111144244CD CA CB CA CA CB CB a b =+=+⋅+=++ 2222cos c a b ab B =+-224a b =+-()21414CD =+=+224a b =+-2242b b a a b +=+≥(42ab ≤+a b ==()2242272CD ≤+==+=2CD ≤2+90BAD ∠= A B A D ''⊥A E 'BCD CD ⊂BCD A E CD '⊥BC CD ⊥A E BC E '= A E '⊂A BC 'BC ⊂A BC 'CD ⊥A BC 'A B '⊂A BC 'A B CD'⊥，平面，平面，所以平面（2）矩形中作，垂足为点O ，折起后得，由平面，平面，可得，所平面，，所以平面，平面，可得，所以A ，O ，E 三点共线，因此与设，所以，要使点射影E 落在线段上，则，所以，所以当（3）过点E 做交于Q ，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，由（2）可知平面，平面，所以平面平面，作，垂足为H ，平面平面，平面，可得平面，连接，是直线与平面所成的角，即，由题意可得A D CD D '= CD ⊂A CD 'A D '⊂A CD 'AB '⊥A CD'AO BM ⊥A O BM '⊥A E '⊥BCD BM ⊂BCD A E BM '⊥,A E A O ''⊂A OE 'A E A O A '''= BM ⊥A OE 'OE ⊂A OE 'BM OE ⊥ABE △ABM △=AM t =BE =BM ==AO A O '==A E '==A 'BC AO OE >(t ∈11136E A BM A BEM BEM V V A E S t ''--'==⋅⋅===t =)max E A BM V -'=//EQ CD BM EQ A BM 'CD A BM 'BM ⊥A OE 'BM ⊂A BM 'A BM '⊥A OE 'EH A O '⊥A BM ' A OE A O ''=EH ⊂A OE 'EH ⊥A BM 'HQ EQH ∠EQ A BM 'EQH α∠=EH ==22211EH EQ t α⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为，，所以是二面角平面角，即，故A O BM '⊥OE BM ⊥A OE '∠A BM C '--A OE β'∠=cos OE A O β=='2222211111sin cos 124t t tαβ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2sin cos αβ⋅。

江苏省如皋市2019—2020学年高三第二学期4月模拟卷（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．设全集U ＝Z ，集合A ＝{0，2，3}，B ＝{}22x Z x x ∈-<，A I (U B ð)＝． 2．若复数z 满足2ii iz ++=，其中i 为虚数单位，则z ＝ ． 3．某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中， 其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104)上的产品件数是 ．4．某医院欲从积极扱名的甲、乙、丙、丁4名医生中选择2人去支援武汉抗击“新型冠状病毒”，若毎名医生被选择的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被选择的概率为 ． 5．执行右边的伪代码后，输出的结果是 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，设过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若△F 1AB 是正三角形，则双曲线C 的离心率为 ． 7．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(ω＞0)，将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121223a a a a =+，且34S ，43S ，52S 成等差数列，则满足不等式40392020n n S a >的n 的最小值为 ．9．在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥平面PAC ，PC ＝AB ＝2AC ＝2，PA接球O 的表面积为 ．10．已知实数x ，y 满足条件05040x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若不等式233128mx y x y ≤+恒成立，则实数m的最大值是 ．11．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．已知AC ＝BC ，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，且O 是AC 的中点，若AD AB CD CB 2⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知MN 在圆C ：22(2)4x y -+=上运动，且MN＝若直线l ：30kx y -+=上的任意一点P 都满足22PM PN +≥14，则实数k 的取值范围是 ．13．已知函数2220()103x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为 ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若CD 是边AB 上的中线，且CD＝CA ，则cos A cos Bb a +的最小值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b sinA ＝a cos(B ﹣6π)． （1）求角B 的大小；（2）若a ＝2，c ＝3，求cos(A ﹣B)的值．16．（本小题满分14分）在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝BB 1，且∠ABB 1＝60°，D 为AC 的中点． （1）求证：B 1C ∥平面A 1BD ； （2）求证：AB ⊥B 1C ．17．（本小题满分14分）现有一块废弃的半圆形钢板，其右下角一小部分因生锈无法使用，其形状如图所示，已知该钢板的圆心为O，线段AOB为其下沿，且OA＝2m，OB m．现欲从中截取一个四边形AMPQ，其要求如下：点P，Q均在圆弧上，AP平分∠QAB，且PM⊥OB，垂足M 在边OB上．设∠QAB＝θ，四边形AMPQ的面积为S(θ)m2．（1）求S(θ)关于θ的函数解析式，并写出其定义域；（2）当cosθ为何值时，四边形AMPQ的面积最大?18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的焦距为2，且经过点(﹣1，2)，过左焦点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于点A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线OA，OB，AB的斜率之和为0，求直线l的方程；（3）设弦AB的垂直平分线分别与直线l，椭圆C的右准线m交于点M，N，求MN AB的最小值．19．（本小题满分16分）已知函数1()ln 1f x a x x=+-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）若a ＝l ，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；（3）设函数1()()xg x e f x x=+-在区间(0，a e -)上存在极值，求证：11a a e a --+>+．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设2nn n a b =． （1）若4121n nS n a -=+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．①求证：数列{}n a 为等差数列；②若不等式n nT a λ+≥3对任意的n N *∈都成立，求实数λ的最小值；（2）若n a ＞0，且112n n S a ++≥，是否存在正整数k ，使得无穷数列1k b +，2k b +，3k b +，…成公差不为0的等差数列？若存在，给出数列{}n a 的一个通项公式；若不存在，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B 两小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 11 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1 10 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求矩阵C ，使得AC ＝B ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求直线6πθ=(ρ∈R)被曲线4sin()6πρθ=+所截得的弦长．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，m )到准线的距离与到原点O 的距离相等．（1）求抛物线的方程；（2）过不在y 轴上的点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若OP ⊥AB ，求证：直线AB 过定点． 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的首项11a >，且211n n n a a a +=-，n N *∈．（1）求2a 的最小值； （2）求证：2115222nk k a n n =>+-∑．。

三水中学高一级2019-2020学年度下学期第二次统考数学科试题满分：150分 考试时间：120分钟 命题人： 审题人：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，1~10题只有一项是符合题意的；11~12题有多项是符合题意的，请把你认为正确的★答案★填写在答题框内.） 1.不等式23760x x -≥+的解集为（ ）A. 23,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2(,3],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C. 2,[3,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D. 2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【★答案★】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解法解不等式得解.【详解】因为23760x x -≥+，所以2(32)(3)0,3x x x -+≥∴≥或3x ≤-. 所以不等式的解集为2(,3],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：B【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2.已知数列26101432、、、、……那么72是这个数列的第（ ）项. A. 23 B. 24 C. 19 D. 25【★答案★】D 【解析】 【分析】设题中的数列为为{}n a ，则数列2{}n a 构成以2为首项，以4为公差的等差数列，求得2n a 的通项公式，可得42n a n =-．令4272n -=，求得n 的值，可得结论．【详解】解：由题意可得，设数列2、6、10、14、32⋯的通项为{}n a ，则数列2{}n a 构成以2为首项，以4为公差的等差数列，∴22(1)442n a n n =+-=-，42n a n ∴=-．令4272n -=，求得25n =，故72是这个数列的第25项， 故选：D ．【点睛】本题主要考查数列的表示方法，等差数列的定义、通项公式，属于基础题． 3.满足,3A π=23,BC =4AC =的ABC 的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【★答案★】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，求出sin B ，进而求出B 角，即可判断其解的个数. 【详解】由正弦定理得342,sin 1sin sin 23AC BC B B A ⨯===， 0,2B B ππ<<∴=，所以ABC 的个数是1个. 故选:B.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题.4.在某学校组织的校园十佳歌手评选活动中，八位评委为某学生的演出打出的分数的茎叶统计图如图所示.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（ ）A. 85，53B. 86，53C. 85，3D. 86，3【★答案★】D 【解析】 【分析】由茎叶图写出8个数据，去掉79和92，然后利用平均数和方差公式计算即可.【详解】解：由茎叶图可知，8个数据中最大值为92，最小值为79，去掉后还剩下的数据为：84，84，85，87，88，88， 所以平均数为1(84848587+88+88=866x =+++）， 方差为222221[2(8486)(8586)(8786)2(8886)]36S =⨯-+-+-+⨯-= 故选：D【点睛】此题考查了茎叶图，平均数，方差，属于基础题. 5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3613S S =，则69SS 的值为（ ） A.12B.13 C.23D.14【★答案★】A 【解析】 【分析】设{}n a 的公差为d ，根据3613S S =求出1a 和d 的关系，代入69SS 计算即可. 【详解】设{}n a 的公差为d ， 则31613316153S a d S a d +==+， 得12a d =， 所以6191615271936542S a d d S a d d +===+， 故选：A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，是基础题. 6.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边是,,a b c ，若sin 2sin CA =，2232b a ac -=，则cos B 等于（） A.12B.13C. 14D. 15【★答案★】C 【解析】 由sin 2sin C A =，得2c a =，又2232b a ac -=，所以2223242b a a a a =+⨯⨯=，则222441cos 224a a a B a a +-==⨯⨯；故选C.7.设ABC ∆中，三个角,,A B C 对应的三边分别是,,a b c ，且,,a b c 成等比数列，则角B 的取值范围是（ ） A. (0,]6πB. [,)6ππ C. (0,]3πD. [,)3ππ【★答案★】C 【解析】 【分析】由已知条件结合等比数列知识，代入余弦定理进行化简，求出范围 【详解】∵a ，b ，c成等比数列，∴b 2=ac ，由余弦定理，得cosB=22222212222a c a a c ac ac ac ac c b ac +--=≥=+-又B ∈（0，π），∴B ∈（0，]3π. 故选C.【点睛】本题利用等比数列，余弦定理表示cosB ，结合不等式得出cosB 的范围即可得出角B 的范围.8.在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，向量)cos (a B α=，，cos ()A b β-＝，，若αβ⊥，则ABC 一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【★答案★】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示得cos cos b B a A =，再根据正弦定理边化角以及二倍角的正弦公式可得sin2sin2A B =，根据,A B 为三角形的内角可得22A B =，或22A B π+=，进一步可得★答案★.【详解】因αβ⊥，所以cos cos 0a A b B -=，所以cos cos b B a A =，由正弦定理可知sin cos sin cos B B A A =，所以sin2sin2A B =． 又(0)A B π∈，，，且()0A B π+∈，，所以22A B =，或22A B π+=， 所以A B =，或2A B π+=．则ABC 是等腰三角形或直角三角形． 故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，属于基础题. 9.已知数列{}n a 为等差数列，首项10a >，若100410051a a <-，则使得0n S >的n 的最大值为（ ） A. 2007 B. 2008C. 2009D. 2010【★答案★】B 【解析】 【分析】根据等差数列的首项和性质,结合100410051a a <-可判断出0d <,100410050,0a a ><.结合等差数列的前n 项和公式,即可判断0n S >的最大项. 【详解】数列{}n a 为等差数列,若100410051a a <- 所以1004a 与1005a 异号 首项10a >,则公差0d < 所以100410050,0a a ><则10041005a a >-,所以100410050a a +> 由等差数列前n 项和公式及等差数列性质可得()()120082008100410052008100402a a S a a +==+> ()()120091005100520091005200920092009022a a a a S a ++===<所以0n S >的最大值为2008S ,即2008n = 故选:B【点睛】本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n 项和公式的应用,不等式性质的应用,属于中档题.10.已知ABC 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A. 33,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 2323,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D. 3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【★答案★】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<，即可求得结果.【详解】因为ABC 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-， 由||1k AB tBC +>两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>， 即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=，解得233t <-或233t >. 故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.11.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A. 1AB CE ⋅=-B. 0OE OC +=C. 32OA OB OC ++= D. ED 在BC 方向上的投影为76【★答案★】BCD 【解析】 分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),(0,3),(,)33E A B C D -，设123(0,),(0,3),(1,),(,)33O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ， 所以23133y y -=-，解得：32y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；322OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；123(,)33ED =，(1,3)BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，所以选项D 正确.故选：BCD【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.12.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论正确的是（ ）A. 2111n n n n S a a a +++=+⋅ B. 12321n n a a a a a +++++=-C. 1352121n n a a a a a -++++=-D. ()1214n n n n c c a a π--+-=⋅【★答案★】ABD 【解析】 【分析】根据题中递推公式，求出n S ，n c ，数列的前n 项和，数列的奇数项和，与选项对比即可. 【详解】对于A 选项，因为斐波那契数列总满足()*123,n n n a a a n n N--=+≥∈，所以2121a a a =，()22222312321a a a a a a a a a a ==-=-，()23333423432a a a a a a a a a a ==-=-，类似的有，()21111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +-+-==-=-，累加得22221231n n n a a a a a a +++++=⋅，由题知222222112311211n n n n n n n n S a a a a a a a a a a ++++++=+++++=⋅=+⋅，故选项A 正确，对于B 选项，因为11a a =，231a a a =-，342a a a =-， 类似的有11n n n a a a +-=-， 累加得123122++1n n n n a a a a a a a a ++++=+-=-，故选项B 正确，对于C 选项，因为11a a =，342a a a =-，564a a a =-， 类似的有21222n n n a a a --=-， 累加得13211222++n n n a a a a a a a -+=+-=，故选项C 错误，对于D 选项，可知扇形面积24nn a c π⋅=，故()()2222111124444n n n n n n n n c c a a a a a a ππππ+----⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎝⎭⋅⋅，故选项D 正确， 故选：ABD.【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的性质，属于一般题. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有___人 【★答案★】16 【解析】 【分析】利用分层抽样的性质，直接计算，即可求得，得到★答案★．【详解】由题意，可知共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人， 通过分层抽样从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长人数为25664161024⨯=人． 故★答案★为16【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的概念和性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且0a b λ+=(R λ∈)，则λ=_____．【★答案★】5 【解析】 【分析】 由条件得到21,a λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，然后结合1a =可算出★答案★. 【详解】因为0a b λ+=，()2,1b =，所以()2,1a b λ=-=--，显然0λ≠，所以21,a λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为1a =，所以22211λλ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5λ=故★答案★为：5【点睛】本题考查的是向量在坐标形式下的运算，较简单.15.数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且对任意正整数2n ≥都有221nn n na a S S =-，则n S =_______．【★答案★】21n + 【解析】 【分析】直接利用数列的前n 项和与通项的关系式整理出数列1{}n S 是以1为首项，12为公差的等差数列，即可求出n S .【详解】解：数列{}n a ，11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且对任意2n ，都有221nn n na a S S =-，则1212()1()n n n n n n S S S S S S ---=--， 整理得11112n n S S --=（常数），故：数列1{}n S 是以1为首项，12为公差的等差数列．则112n n S +=，故21n S n =+．故★答案★为：21n + 【点睛】本题考查的知识要点：数列的前n 项和与通项关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 16.已知a 、()0,b ∈+∞，且115a b a b+++=，则+a b 的取值范围是___. 【★答案★】[]1,4 【解析】 【分析】由题意可得0a b +>，将题中等式变形为()115a b a b-+=+，在等式两边同时乘以+a b ，利用基本不等式可得出关于+a b 的二次不等式，解此二次不等式可得出+a b 的取值范围.【详解】a 、()0,b ∈+∞，0a b ∴+>，115a b a b +++=，()115a b a b∴-+=+， ()()()1152224a b a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫∴+-+=++=++≥+⋅=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 所以()()254a b a b +-+≥，即()()2540a b a b +-++≤，0a b +>，解得14a b ≤+≤.当且仅当12a b ==时，1a b +=；当且仅当2a b ==时，4a b +=. 因此，+a b 的取值范围是[]1,4. 故★答案★：[]1,4.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，利用基本不等式构造二次不等式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，第17、18题满分10分，第22题满分14分，其余小题满分12分，共70.0分）17.已知()()4,3,23261a b a b a b ==-+=.（1）求a 与b 的夹角θ；（2）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积． 【★答案★】(1) 23π(2) 33 【解析】 【分析】 （1）根据()()23261a ba b -+=，结合4,3a b ==，利用平面向量的数量积运算求得6a b ⋅=-，然后再利用向量的夹角公式求解. （2）根据AB 与BC 的夹角θ＝23π，得到∠ABC ＝π－23π＝3π，再结合 AB ＝4a =，BC ＝3b =，代入三角形面积公式求解.【详解】（1）因为()()23261a b a b -+=，所以2244361aa b b-⋅-=又4,3a b ==，所以6442761a b -⋅-=， 所以6a b ⋅=-， 所以61cos 432||||a b a b θ⋅-===-⨯又0≤θ≤π， 所以θ＝23π. （2）因为AB 与BC 的夹角θ＝23π， 所以∠ABC ＝π－23π＝3π. 又AB ＝4a =，BC ＝3b =，所以13433322ABC S =⨯⨯⨯=△. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量夹角的求法和三角形面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*2n n b n a n N =+∈，求{}nb 的前n 项和nS.【★答案★】（1）12n n a ；（2）221nn S n n =++-.【解析】 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据已知条件得出关于q 的方程，求出q 的值，然后利用等比数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用分组求和法结合等差和等比数列的求和公式可计算出n S .【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，则21a a q q ==，2231a a q q ==，由于2a 是1a 和31a -的等差中项，即21321a a a =+-，即22q q =，解得2q .因此，数列{}n a 的通项公式为1111122n n n n a a q ---==⨯=；（2）1222n n n b n a n -=+=+，()()()()012112322426222n n n S b b b b n -∴=++++=++++++++()()()21222122462122221212nn n n n n n n -+-=+++++++++=+=++--.【点睛】本题考查等比数列通项公式的计算，同时也考查了分组求和法，考查计算能力，属于基础题.19.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：（1）使用A 订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过30分钟的商家有多少个？ （2）试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及中位数；（3）如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？【★答案★】（1）40个（2）55；1383（3）B 款 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算出概率即可求出频数．（2）利用频率分布直方图能求出使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数，中位数． （3）使用B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为35，小于A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数40，以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择B 款订餐．【详解】解:（1）使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过30分钟的商家共有100(0.0060.034)1040⨯+⨯=个.（2）依题意可得，使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，由频率分布直方图可判断中位数位于[)30,40设中位数为x ，则()()0.0060.03410300.0120.5x +⨯+-⨯=，解得1383x =. （3）使用款A 订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=使用B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<所以选B 款订餐软件.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，众数、中位数、平均数的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题 20.在中，已知()3sin 2cos 0a C c A -+=，其中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、．求 （1）求角A 的大小； （2）若6a =， ABC ∆的面积为32，求sin sin B C +的值． 【★答案★】（1）23A π=；（2）1. 【解析】 试题分析：(1)利用正弦定理角化边，结合三角函数的性质可得23A π=； (2)由△ABC 的面积可得2bc =，由余弦定理可得22b c +=，结合正弦定理可得：sin sin B C +的值是1. 试题解析：（1） 由正弦定理，得()3sin sin sin 2cos 0A C C A -+=，∵sin 0C ≠， ∴3sin cos 2A A -=. 即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而()0,A π∈ ∴62A ππ-=， 则 23A π=（2）由13sinA 22S bc ==，得2bc =， 由a 6=及余弦定理得()()22222262cosA c b c bc b bc b c bc =+-=++=+-，即22b c +=，所以()sin sinB sin 1AC b c a+=+=． 21.如图，某自行车手从O 点出发，沿折线O ﹣A ﹣B ﹣O 匀速骑行，其中点A 位于点O 南偏东45°且与点O 相距20 2 千米．该车手于上午8点整到达点A ，8点20分骑至点C ，其中点C 位于点O 南偏东（45°﹣α）（其中sinα=126，0°＜α＜90°）且与点O 相距5 13 千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上）． （1）求该自行车手的骑行速度；（2）若点O 正西方向27.5千米处有个气象观测站E ，假定以点E 为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．【★答案★】（1）155（2）会进入 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可求出AC 的长，从而可求出自行车的速度；（2）先根据余弦定理求出cos∠OAC，再根据正弦定理可得OM ，再在Rt△EHM 中，求出EM 的大小，比较后即可得到结论．【详解】（1）由题意知：OA=202，OC 513=， ∠AOC=α，sinα=126． 由于0°＜α＜90°， 所以21526cos 1()2626α=-=．在△AOC 中，由余弦定理得222225262cos (202)(513)220251326AC OC OA OC OA AOC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯125=，所以55AC=，所以该自行车手的行驶速度为5515513=（千米/小时）．（2）如图，设直线OE与AB相交于点M．在△AOC中，由余弦定理得cos∠OAC222222(202)(55)(513)310210220255OA AC OCOC AC+-+-===⋅⨯⨯从而sin∠OAC2310101()1010=-=．在△AOM中，由正弦定理得sin sinOA OMOMA OAM=∠∠，所以10202sin1020sin(45)231010()21010OA OAMOMOAM⨯⋅∠===︒-∠⋅-，由于OE=27.5＞40=OM，所以点M位于点O和点E之间，且ME=OE﹣OM=7.5．过点E作EH AB于点H，则EH为点E到直线AB的距离．在Rt△EHM中，EH=EM•sin∠EMH=EM•sin（45°﹣∠OAC）5357.5 3.552=⨯=<．所以该自行车手会进入降雨区．【点睛】（1）解三角形应用题的一般步骤①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．②根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． （2）解题中要合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型． 22.已知数列{}n a 的前n 项和()2*24n n S n N +=-∈，函数()f x 对任意的x R ∈都有()()11f x f x +-=，数列{}n b 满足()()12101n n b f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，n T 是数列{}n c 的前n 项和，是否存在正实数k ，使不等式()29264n n k n n T nc -+>对于一切的*n N ∈恒成立？若存在请求出k 的取值范围；若不存在请说明理由．【★答案★】(1)()1*2n n a n N +=∈，12nn b+=;(2)2k >. 【解析】分析：（1）利用,n n S a 的关系，求解n a ；倒序相加求n b ． （2）先用错位相减求n T ，分离参数k ，使得()24926nnnc k nn T >-+对于一切的*n N ∈恒成立，转化为求()24926nnnc nn T -+的最值．详解：（1） 12111,244n a S +===-=()()21112,24242n n n n n n n a S S +++-≥=-=---=1n =时满足上式，故()1*2n n a n N +=∈∵()()1f x f x +-=1∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()120n b f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭①∴()121n n n b f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()10f f ++ ②∴①+②，得1212n n n b n b +=+∴=. （2）∵n n n c a b =⋅，∴()12nn c n =+⋅∴()12322324212nn T n =⋅+⋅+⋅+⋯++⋅， ①()23412223242212n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅++⋅， ②①－②得()231422212nn n T n +-=+++⋯+-+⋅即12n n T n +=⋅要使得不等式()29264n n k n n T nc -+>恒成立，()29260n n n T -+>恒成立()24926nnnc k nn T ∴>-+对于一切的*n N ∈恒成立，即()221926n k n n +>-+ ，令()()()*221926n g n n N n n +=∈-+，则()()()()()()()()2212223636111136111211111n g n n n n n n n +==≤=+-+++-++⋅-++当且仅当5n =时等号成立，故()max 2g n = 所以2k >为所求.点睛：1、11n 1n 2n nn S a S S -=⎧=⎨-≥⎩，，，一定要注意，当n 1=时要验证是否满足数列．2、等比乘等差结构的数列用错位相减．3、数列中的恒成立问题与函数中的恒成立问题解法一致．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。