高考数学一轮复习 直接证明和间接证明01课件

1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和 综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特 点．
2．了解间接证明的一种基本方法——反证法， 了解反证法的思考过程、特点．
1．综合法 一般的，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等， 经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成 立，这种证明方法叫做综合法．用P表示已知条件、已 有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则 综合法可用框图表示为：
由于 x1，x2∈(0，π2)，故 x1＋x2∈(0，π)， 所以 cosx1cosx2>0，sin(x1＋x2)>0,1＋cos(x1＋x2)>0， 故只需证明 1＋cos(x1＋x2)>2cosx1cosx2， 即证 1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2>2cosx1cosx2， 即证 cos(x1－x2)<1. 这由 x1，x2∈(0，π2)，x1≠x2 上式是显然成立的， 因此，21[f(x1)＋f(x2)]>f(x1＋2 x2)．
【点评】当所证命题不知从何入手时，有时可以运用 分析法获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题 目，往往行之有效，对含有根式的证明问题要注意分析法 的使用．
素材2 已知函数 f(x)＝tanx，x∈(0，π2)，若 x1，x2∈(0，π2)，且 x1≠x2，
求证：21[f(x1)＋f(x2)]>f(x1＋2 x2)(参考公式：tan2θ＝1＋sicnoθsθ)．
方法 2： 因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤a2＋ b2＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2， 所以 3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1， 所以 a2＋b2＋c2≥13.
方法 3：设 a＝13＋α，b＝13＋β，c＝31＋γ. 因为 a＋b＋c＝1，所以 α＋β＋γ＝0. 所以 a2＋b2＋c2＝(13＋α)2＋(31＋β)2＋(31＋γ)2 ＝31＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2 ＝31＋α2＋β2＋γ2≥31. 所以 a2＋b2＋c2≥13.

ppt精选
5
课堂总结
2．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程 x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是 ( ) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析 因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“ 方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要 做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”． 答案 A
第2讲 直接证明与间接证明
最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法 和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2. 了解反证法的思考过程和特点．
ppt精选
1
课堂总结
知识梳理
1．直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和 某些数学定义、 公理、定理等， 经过一系列的推 理论证，最后推 导出所要证明的 结论_成__立__
(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)ab2＋bc2＋ca2≥1. 证明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
ppt精选
10
课堂总结
所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤13. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立． (2)因为ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.所以ab2＋bc2＋ca2≥1. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．

第十六页，共32页。
C 聚焦考向透析
考 向 二 分析法的应用(yìngyòng)
变式训练
2．已知△ABC三边a，b，c的倒数成等 差数列，证明(zhèngmíng)：B为锐角．
证明：要证明 B 为锐角，根据余弦定理，也就是证明 cos B＝
a2＋c2－b2 2ac ＞0，即需证 a2＋c2－b2＞0.
要证明
2
≥f( 2 )，
（3x1－2x1）＋（3x2－2x2） x1＋x2
x1＋x2
即证明
2
≥3 2 －2· 2 ，
3x1＋3x2
x1＋x2
因此只要证明 2 －(x1＋x2)≥3 2 －(x1＋x2)，
3x1＋3x2 x1＋x2 即证明 2 ≥3 2 ，
3x1＋3x2 因此只要证明 2 ≥ 3x1·3x2，
考 向 三 反证法
例题(lìtí)精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(2014·浙江杭州模拟)已知函数 f(x)＝ax＋xx－＋21(a＞1)． (1)证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程 f(x)＝0 没有负数根．
(1)用增函数定义证明；(2)假设(jiǎshè)有 负数根，根据指数函数性质证出矛盾．
(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要 证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．
第七页，共32页。
C 聚焦考向透析
考 向 一 综合法的应用(yìngyòng)
例题(lìtí)精编
已知 f(x)＝l1n＋xx－ln x，f(x)在 x＝x0 处取最大值，
已知 f(x)＝l1n＋xx－ln x，f(x)在 x＝x0 处取最大值，

“至少有两个”是对应的,此题极易错选为C或A. 答案:B
共 42 页
6
4.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以 是( )
①与已知矛盾;②假设矛盾;③与定义､公理､定理､法则矛盾; ④与事实矛盾.
A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②③④
答案:D
共 42 页
7
5.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,
3.分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立 的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件(已知条件､定义､定理､公理等)为止.这种证 明方法叫做分析法.
4.反证法:一般地,由证明pq转向证明 qr…t,t与 假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定q为假,推出q为 真的方法,叫反证法.
第三十六讲 直接证明与间接证明
共 42 页
1
回归课本 证明 1.证明分为直接证明与间接证明.直接证明包括综合法､分析
法等;间接证明主要是反证法. 2.综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义､定理､公理,
经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立, 这种证明方法叫做综合法.
共 42 页
2
所要证的结论,则综合法可用框图表示为:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
共 42 页
9
2.综合法是“由因到果”,即由已知条件出发,经过逐步的推 理,最后达到待证结论.综合法又叫做顺推证法或由因到果 法.
3.综合法格式:从已知条件出发,顺着推证,由“已知”得 “推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求证的结论, 这就是顺推法的格式,它的常见书面表达是 “∵……,∴……”或“”.