高考数学一轮复习 第六章 第5讲 直接证明和间接证明课件 文

A2＝π2－A1， 得B2＝π2－B1，
C2＝π2－C1，
那么，A2＋B2＋C2＝π2， 这与三角形内角和为 180°相矛盾。 所以假设不成立，又显然△A2B2C2 不是直角三角形，所以△A2B2C2 是钝角 三角形。
答案：钝角
3．(2016·洛阳模拟)数列{an}，{bn}的每一项都是正数，a1＝8，b1＝16，且 an，bn，an＋1 成等差数列，bn，an＋1，bn＋1 成等比数列，n＝1,2,3，…。
(1)求 a2，b2 的值；
解析：(1)由 2b1＝a1＋a2，可得 a2＝2b1－a1＝24。 由 a22＝b1b2，可得 b2＝ab221＝36。
(2)求数列{an}，{bn}的通项公式；
解析：(2)∵an，bn，an＋1 成等差数列， ∴2bn＝an＋an＋1。① ∵bn，an＋1，bn＋1 成等比数列， ∴an2＋1＝bnbn＋1。 ∵数列{an}，{bn}的每一项都是正数， ∴an＋1＝ bnbn＋1。② 于是当 n≥2 时，an＝ bn－1bn。③ 将②③代入①式，可得 2 bn＝ bn－1＋ bn＋1。 又 b1＝16，b2＝36， ∴数列{ bn}是首项为 4，公差为 2 的等差数列， ∴ bn＝ b1＋(n－1)d＝2n＋2，
C.a＋2 b2－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：∵a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选 D。 答案：D
2．(2016·德州模拟)如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的 三个内角的正弦值，则△A2B2C2 是____是“都大于 60°”。 答案：B
4．设 a，b，c 都是正数，则 a＋1b，b＋1c，c＋1a三个数( ) A．都大于 2 B．都小于 2 C．至少有一个不大于 2 D．至少有一个不小于 2

证明：要证 a2＋a12－ 2≥a＋1a－2，
只要证 a2＋a12＋2≥a＋1a＋ 2.
∵a＞0，故只要证
a2＋a12＋22≥a＋1a＋
22，

即 a2＋a12＋4
a2＋a12＋4≥a2＋2＋a12＋2 2a＋1a＋2，
从而只要证 2
a2＋a12≥ 2a＋1a，
A.三个内角都不大于 60° B.三个内角都大于 60° C.三个内角中至多有一个大于 60° D.三个内角中至多有两个大于 60°
3.若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc
＋ac.其证明过程如下：
∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2Ac.
2.间接证明 反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出 矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证 明方法叫做反证法.
1.要证明 3＋ 7＜2 5，可选择的方法有以下几种，其中 最合理的是( B )
A.反证法 B.分析法 C.综合法 D.前面三种方法都不合适
2.用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不 大于 60°”时，应假设( B )
方法二，∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc ≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(a2＋c2)＋(b2＋c2)， 当且仅当 a＝b＝c＝13时取等号， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1. ∴a2＋b2＋c2≥13.
方法三，设 a＝13＋α，b＝13＋β，c＝13＋γ. ∵a＋b＋c＝1，∴α＋β＋γ＝0. ∴a2＋b2＋c2＝13＋α2＋13＋β2＋13＋γ2 ＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2 ＝13＋α2＋β2＋γ2≥13. ∴a2＋b2＋c2≥13.

证明：因为ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋C．
所以ab2＋bc2＋ca2≥1.
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1.综合法证明题的一般规律 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未 知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已 证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要 求证结论的真实性． (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
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1.反证法的应用策略 (1)反证法的适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至 少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法求证． (2)反证法关键：是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是① 与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾； ④与事实矛盾等方面．
由 x1，x2∈0，π2，x1≠x2 知上式显然成立， 因此12[f(x1)＋f(x2)]＞fx1＋2 x2.
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分析法证题的思路 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻 找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解 的关键． (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分 析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法 证明这个中间结论，从而使原命题得证． (3)应用分析法的关键在于保证分析过程的每一步都可逆，它 的常用书面表达形式为“要证……只需证……即证……”．
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以上三式相加得 43a1＋1＋3b1＋1＋3c＋1 1≥9－3(a＋b＋c)＝6， ∴3a1＋1＋3b1＋1＋3c＋1 1≥32， 当且仅当 a＝b＝c＝13时取“＝”．

((12))求数证列：{S数n}列是{S等n}差不数是列等(比dě数nɡ列c；hā shù liè)吗？并说明理由. (1)证明：若{Sn}是等比数列，则 S22＝S1·S3， 即 a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2). ∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2. 解得 q＝0，这与 q≠0 相矛盾. 故数列{Sn}不是等比数列.
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(2)分析法.
①定义：从要证明(zhèngmíng)的结论出发，逐步寻求使它成立的充分
条件，直至最后，把要证明(zhèngmíng)的结论归结为判定一个明显成立的
条件(已知条件、定义、定理、公理等)为止，这种证明(zhèngmíng)方法叫
②框图表示： Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→
a2＋a12＋4≥a2＋2＋a12＋2 2a＋1a＋2，
从而只要证 2
a2＋a12≥ 2a＋1a，
只要证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，
即证 a2＋a12≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立.
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【互动(hù dònɡ)探究】
2.已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 证明：要证2a3－b3≥2ab2－a2b成立(chénglì)， 只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0， 即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0， 即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0. ∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0， 从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立(chénglì)， ∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
2015 年新课标卷 Ⅱ第 24 题不等式 的有关证明；
2015 年新课标卷 Ⅰ第 17 题考查数 列的有关证明