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求函数定义域的方法及作业

对映射/函数概念的考察

概念：映射

相似于函数，“定义域”内每一个确定的值都有且只有一个“值域值”与之对应。

例题：（右方）练习题目：

求函数定义域的方法

函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念，因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。

一．已知函数解析式求函数的定义域

如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），

主要依据是：（1）分式的分母不为零（2）偶次根式的被开方数为非负数

（3）零次幂的底数不为零（4）对数的真数大于零

（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1

（6）正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2k ππ+

， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。

例1 求下列函数的定义域：

（1） y=

2）0+㏒（x —2）x

2 （2）23)(x x x f -=

(3) )12(log 1)(2+=

x x f

作业:

1. 函数)1lg(11)(++-=

x x x f 的定义域是（） A ．(-∞,-1) B ．(1,+∞) C ．(-1,1)∪(1,+∞) D ．R 2．函数)13lg(13)(2

++-=x x x x f 的定义域是（） A ．（∞-，31-） B ．(31-，31） C ．(31-，1）D ．(3

1-，∞+） 3. 函数y ＝－x 2－3x ＋4

的定义域为( ) A ．[－4,1] B ．[－4,0) C ．(0,1] D ．[－4,0)∪(0,1]

4.x x x x x x f +-++-=0

2)1(65)(； 5.lgsin y x =

二．抽象函数(复合函数)求定义域

注:多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。

例2

（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。

（2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。

（3）(1) 已知函数(23)f x -的定义域是(-1, 4),求函数(13)f x -的定义域

（4）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。

作业:

(1) 设2()lg 2x

f x x +=-，求2

()()2x

f f x +的定义域为

(2) 已知函数2(log )f x 的定义域是1

[,8]32，求函数2(6)f x -的定义域

(3) 若函数f (x )的定义域是[0,1]，则f (x ＋a )·f (x －a ) (0＜a ＜12)的定义域是__ ______．

(4) 若函数y =f (x )的定义域是[0,2]，则函数 g (x )=21f x x ()

-的定义域是 ( )

(5) 若函数()f x 的定义域为[－2，2]，则函数f 的定义域是（）

A ．[－4，4]

B ．[－2，2]

C ． [0，2]

D ． [0，4]

(6) 若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是（） A ．[,]a b B ．[,]b a -- C ．[,]b b - D ．[,]a a -

三．含有字母参数的函数求定义域

对于含有字母参数的函数求其定义域必须对字母参数进行分类讨论。

例3

（1）求函数y = a ∈R ）的定义域

含参函数的”恒成立”问题

例4

(1) 若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是 (

) A ．a ＝－1或3 B ．a ＝－1 C ．a > 3或a <－1 D ．－1 < a < 3

对应作业:

1．已知函数22(3)1x

y ax a x -=--+的定义域是R , 则实数a 的范围是_________

2 函数＝y R ，则k 的取值范围是（）

A.09k k ≥≤-或

B.1k ≥

C.91k -≤≤

D. 01k <≤

当堂作业：

上面涉及到的每一个题型记忆+对应作业

函数定义域几种类型及其求法

函数定义域几种类型及其求法河北省承德县一中黄淑华一、已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例1、求函数8315 22-+--=x x x y 的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足?????≠-+≥--0 8301522x x x 即???-≠≠-<>11535x x x x 且或解得1135-≠-<>x x x 且或即函数的定义域为{}1135-≠-<>x x x x 且或。二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。（一）已知)(x f 的定义域，求[])(x g f 的定义域。其解法是：已知)(x f 的定义域是],[b a 求[])(x g f 的定义域是解b x g a ≤≤)(，即为所求的定义域。例2、已知)(x f 的定义域为]2,2[-，求)1(2-x f 的定义域。解：22≤≤-x ，2122≤-≤-∴x ，解得33≤≤- x 即函数)1(2-x f 的定义域为{}33≤≤-x x （二）已知[])(x g f 的定义域，求)(x f 的定义域。其解法是：已知[])(x g f 的定义域是],[b a 求)(x f 的定义域的方法是：b x a ≤≤，求)(x g 的值域，即所求)(x f 的定义域。例3、已知)12(+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域。解：21≤≤x ，422≤≤∴x ，5123≤+≤∴x 。即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x 。

函数定义域的类型和求法

函数定义域的类型和求法本文介绍函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。现举例说明。一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例1 求函数的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足由①解得或。③ 由②解得或④ ③和④求交集得且或x>5。故所求函数的定义域为。例2 求函数的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足由①解得③

由②解得④ 由③和④求公共部分，得故函数的定义域为评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1）已知的定义域，求的定义域。其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。例3 已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。（2）已知的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例4 已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为。即函数f(x)的定义域是。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。例6 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。解：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即无实数 ①当k≠0时，恒成立，解得；

求函数的定义域和值域的方法

解：求函数的定义域的常用方法函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。一，已知函数解析式求函数的定义域如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ ， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。例题一求下列函数的定义域：（1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 （2）解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 （2）由已知须满足 tanx ﹥0 解得： k π ﹤x ﹤2 k π π+ （k ∈z ） x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为（-π，2 π - ）∪（0， 2 π ）∪（π，4）二，复合函数求定义域求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。例题二（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。（2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。（3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。（4）已知函数y=f （tan2x ）的定义域为〔0， 8 π 〕，求函数f （x ）的定义域。分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f

高中一年级的函数定义域的求法

高一的函数定义域的求法 . 已知f(x),求f[g(x)],例如已知f(x)的定义域为（1，2），求f (2x+5)的定义域：已知f[g(x)],求f(x),例如已知f(2x+5)的定义域为（1，2），求f(x)的定义域：已知f(x),求f[g(x)],例如已知f(x)=x+1，求f(2x+5)的解析式：已知f[g(x)],求f(x),例如已知f(2x+5)=x+1,求f(x)的解析式：已知函数y=f(x+1)定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是

若函数y=f（x）的定义域为[-2，2]，则求函数y=f（x+1）+f （x-1）的定义域．若函数y=f(x)的定义域为〔-1，1〕，求函数y=f(x+1/4)·f(x-1/4)的定义域若函数y=f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)=f(2x)/x-1的定义域是多少？

若函数y=f[x]的定义域是【－２，４】，则函数g[x]=f[x]+f[-x]的定义域是多少？若函数y=f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)=f(2x)/x-1的定义域是多少？

1、这类题，就是把g(x)看成一个整体y，f(x)和f(y)的定义域是一样的，得出y的围后再求解x的定义域。 f(x)的定义域是（1，2）,令y=2x+5,则f(2x+5)=f(y) ,y的定义域是（1，2），所以1<2x+5<2 1<2x+5<2 -2

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。定义域的求法 1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义，而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

5、函数的定义域和值域答案

函数定义映射一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 函数的概念 1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。函数与映射的关系与区别相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性；区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它．例函数y ＝x x 2 3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？练习判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 重点一：函数的定义域各种类型例题分析

1求函数定义域类型几方法(word版)

函数定义域的类型及求法一、已知解析式型（所有同学一定要会的）二、含参问题（很重要）三、抽象函数（复合函数）的定义域 1已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[] ()f g x 的定义域．

例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033?????? ，． 2、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[] 03，，求函数()f x 的定义域．分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，． 3，已知[]()f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的取值范围即为()h x 的取值范围，由()h x 的取值范围即可求出 [()]f h x 的定义域x 的取值范围。例2 已知函数(1)f x +的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：令1,35u x t x =+=-，则(1)(),(35)()f x f u f x f t +=-=， (),()f u f t 表示的是同一函数，故u 的取值范围与t 相同。解：()f x 的定义域为[]15-，，即15x ∴-≤≤016x ∴+≤≤。 056x ∴-≤3≤

高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项

函数的概念及其定义域

2．1 函数概念 1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数； ②对于不同的x ，y 的值也不同； ③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．区间(0,1)等于( ) A ．{0,1} B ．{(0,1)} C ．{x |0

2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1 B ．y ＝x 0和y ＝1 C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2 D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2 3．函数y ＝21－1－x 的定义域为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，0)∪(0,1] C ．(－∞，0)∪(0,1) D ．[1，＋∞) 4．已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)的值是( ) A ．π2 B ．Π C.π D ．不确定 5．已知函数f (x )的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x )的图像的只可能是( ) 6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝??? c x ，x