2 专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆一、选择题1．(2018 全国卷Ⅲ)直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆(x - 2)2 + y 2 = 2上，则∆ABP 面积的取值范围是A ．[2, 6]B ．[4,8]C ．[ 2,3 2]D ．[2 2,3 2]2．(2018 天津)已知圆 x2 + y 2 ⎧⎪x = -1+ - 2x = 0的圆心为 C ，直线⎨2 t , 2( t 为参数)与该圆 ⎪ y = 3 - 2 t ⎩2相交于 A ，B 两点，则△ABC 的面积为．3．(2018 北京)在平面直角坐标系中，记d 为点 P (cos θ ,sin θ ) 到直线 x - my - 2 = 0 的距离，当θ ， m 变化时， d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．4x 2 y2 4．（2017 新课标Ⅲ）已知椭圆C ： + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A 1 ， A 2，且以线段 A 1 A 2 为直径的圆与直线bx - ay + 2ab = 0 相切，则C 的离心率为6 3 A.B ．33C ．2 D ． 1335．（2017 新课标Ⅲ）在矩形 ABCD 中，AB = 1，AD = 2 ，动点 P 在以点C 为圆心且与 BD相切的圆上．若 AP = λ AB + μ AD ，则λ + μ 的最大值为A ．3B ． 2C ．D ．26．（2015 山东）一条光线从点(-2, -3) 射出，经 y 轴反射后与圆(x + 3)2 +( y - 2)2 =1相切，则反射光线所在直线的斜率为 A ． - 5 或-3 B ． - 3 或-2 C ． - 5 或-4 D ． - 4 或- 3352 34 53 47．（2015 广东）平行于直线2x + y +1 = 0 且与圆 x 2 + y 2 = 5相切的直线的方程是A ． 2x + y + 5 = 0 或2x + y - 5 = 055 5 5 5 22B ． 2x + y + = 0 或2x + y - = 0C ． 2x - y + 5 = 0或2x - y - 5 = 0D ． 2x - y + = 0 或2x - y - = 08．（2015 新课标 2）过三点 A (1,3) ， B (4, 2) ， C (1, -7) 的圆交于 y 轴于 M 、N 两点，则MN =A ．2B ．8C ．4D ．109．（2015 重庆）已知直线 l ： x + ay -1 = 0(a ∈ R ) 是圆C ： x 2 + y 2 - 4x - 2y +1 = 0的对称轴，过点 A (-4, a ) 作圆C 的一条切线，切点为 B ，则 AB ＝ A ．2B ． 4C ．6D ． 210．（2014 新课标 2）设点 M (x ,1) ，若在圆O : x 2 + y 2 =1 上存在点 N ，使得∠OMN = 45°，则 x 0 的取值范围是⎡-1 1 ⎤⎡⎤⎡2 ⎤A ． [-1,1]B ． ⎢ ， ⎥C ． ⎣- 2, 2 ⎦ D ． ⎢- ， ⎥ ⎣ 2 2 ⎦⎣ 2 2 ⎦11．（2014 福建）已知直线l 过圆 x 2+( y - 3)2= 4 的圆心，且与直线 x + y +1 = 0 垂直，则l 的方程是A ． x + y - 2 = 0B ． x - y + 2 = 0C ． x + y - 3 = 0D ． x - y + 3 = 012．（2014 北京）已知圆C : (x - 3)2+( y - 4)2=1和两点 A (-m ,0) ， B (m , 0) (m > 0) ，若圆C 上存在点P ，使得∠APB = 90，则m 的最大值为A ． 7B ． 6C ． 5D ． 413．（2014 湖南）若圆C : x 2+ y 2=1与圆C : x 2+ y 2- 6x - 8y + m = 0 外切，则m =12A ． 21B ．19C ． 9D ． -1114．（2014 安徽）过点 P （- 3,-1）的直线l 与圆 x 2 + y 2 =1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是66 102 17 2 5 ⎢ ⎪ πA ．（0， ]6πB ．（0， ]3πC ．[0， ]6πD ．[0， ]315．（2014 浙江）已知圆 x 2 + y 2 + 2x - 2 y + a = 0 截直线 x + y + 2 = 0 所得弦的长度为 4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－816．（2014 四川）设m ∈ R ，过定点 A 的动直线 x + my = 0 和过定点 B 的动直线mx - y - m + 3 = 0 交于点 P (x , y ) ，则| PA | + | PB | 的取值范围是A ．[ 5, 2 5]B ．[ 10, 2 5]C ．[ 10, 4 5]D ．[2 5, 4 5]17．（2014 江西）在平面直角坐标系中， A , B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x + y - 4 = 0 相切，则圆C 面积的最小值为 A ．4πB ．3π C ． (6 - 2 5)πD ．5π54 418．（2013 山东）过点(3，1)作圆(x -1)2+ y 2 =1的两条切线，切点分别为 A ，B ，则直线AB 的方程为A ． 2x + y - 3 = 0B ． 2x - y - 3 = 0C ． 4x - y - 3 = 0D ． 4x + y - 3 = 019．（2013 重庆）已知圆C : (x - 2)2+( y - 3)2=1，圆C : (x - 3)2+( y - 4)2= 9 ，M , N12分别是圆C 1 , C 2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 PM + PN 的最小值为A ． 5 - 4B ． -1C ． 6 - 2D ．20．（2013 安徽）直线 x + 2y - 5 + = 0 被圆 x 2 + y 2 - 2x - 4y = 0截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ． 4 21．（2013 新课标 2）已知点 A (-1, 0) ；B (1, 0) ；C (0,1) ，直线 y = ax + b (a > 0) 将△ ABC分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ⎛ A ． (0,1)B ．1- 2 , 1 ⎫ 2 2 ⎪ ⎛ C ．1- 2 , 1 ⎤ 2 3⎦ D ． ⎡1 , 1 ⎫⎣3 2⎝⎭⎝⎭22．（2013 陕西）已知点 M (a ,b ) 在圆O : x 2 + y 2 = 1 外, 则直线ax + by = 1与圆 O 的位置关1762 2 系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定23．（2013 天津）已知过点 P (2，2) 的直线与圆(x -1)2 + y 2 = 5 相切， 且与直线ax - y +1 = 0垂直， 则a = A ． - 12B.1C ．2D ． 1224．（2013 广东）垂直于直线 y = x +1且与圆x 2 + y 2 = 1相切于第一象限的直线方程是A ． x + y - = 0B ． x + y +1 = 0C ． x + y -1 = 0D ． x + y + = 025．（2013 新课标 2）设抛物线C : y 2 = 4x 的焦点为 F ，直线l 过 F 且与C 交于 A ， B 两点．若| AF |= 3 | BF | ，则l 的方程为A. y = x -1或 y = -x +1B. y =(x -1) 或 y = - 33 (x -1)3C. y = 3(x -1) 或 y = - 3(x -1)D. y = 2 (x -1) 或 y = - 2 2 (x -1) 226．（2012 浙江）设a ∈ R ，则“ a = 1 ”是“直线l 1 ： ax + 2 y -1 = 0 与直线l 2 ：x + (a +1) y + 4 = 0 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2012 天津）设m ，n ∈ R ，若直线(m +1)x +(n +1) y - 2=0 与圆(x -1)2 +(y -1)2 =1相切，则m +n 的取值范围是 A ．[1- 3,1+ 3]B ． ( -∞,1- 3] [1+ 3,+∞)C ．[2 - 2 2,2+2 2]D ． ( -∞,2 - 2 2] [2+2 2,+∞)28．（2012 湖北）过点 P (1,1) 的直线，将圆形区域{(x , y ) | x 2 + y 24}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ． x + y - 2 = 0B ． y -1 = 0C ． x - y = 0D ． x + 3y - 4 = 033 29．（2012 天津）在平面直角坐标系 xOy 中，直线3x + 4y - 5 = 0 与圆 x 2 + y 2 =4 相交于A ,B 两点，则弦 AB 的长等于A. 3B. 2 C ． D ．130．（2011 北京）已知点 A (0,2)，B (2,0)．若点 C 在函数 y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为 2 的点 C 的个数为 A ．4B ．3C ．2D ．131．（2011 江西）若曲线C ： x 2 + y 2 - 2x = 0与曲线C ： y ( y - mx - m ) = 0 有四个不同12的交点，则实数 m 的取值范围是A ．( - 3 ，3 ) B ．( -3 ，0) (0，3 )3 333C ．[ -3 ，3 ] D ．( -∞ ， -3 ) (3 ，+ ∞ )333332．（2010 福建）以抛物线 y 2 = 4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．x 2 +y 2 +2x =0 B ． x 2 +y 2 +x =0 C ． x 2 +y 2 - x =0 D ．x 2 +y 2 - 2x =033．（2010 广东）若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆O 位于 y 轴左侧，且与直线 x + 2 y = 0相切，则圆O 的方程是A. (x - 5)2 + y 2= 5B. (x + 5)2 + y 2= 5C ． (x - 5)2 + y 2= 5D ． (x + 5)2 + y 2 = 5二、填空题34．(2018 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l : y = 2x 上在第一象限内的点，B (5, 0)，以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D ．若 AB ⋅ C D = 0 ，则点 A 的横坐标为．35．（2017 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，A (-12, 0) ，B (0, 6) ，点 P 在圆O ：x 2 + y 2 = 50上，若 PA ⋅ PB ≤ 20 ，则点 P 的横坐标的取值范围是．36．（2015 湖北）如图，圆C 与 x 轴相切于点T (1, 0) ，与 y 轴正半轴交于两点 A , B （B 在 A33NA NB MAMBNBNANBNA的上方），且AB=2．（Ⅰ）圆C的标．准．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆O : x2 +y2 = 1 相交于M , N 两点，下列三个结论：①=；②- = 2 ；③+ = 2 2 ．其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号）37．（2014 江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为．（2014 重庆）已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A，B 两点，且∆ABC 为等边三角形，则实数a = ．39．（2014 湖北）直线l：y=x+a和l：y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等1 2的四段弧，则a2 +b2 = ．40．（2014 山东）圆心在直线x - 2 y = 0 上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2 3 ，则圆C 的标准方程为．41．（2014 陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0) 关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．42．（2014 重庆）已知直线x -y +a = 0 与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A，B两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为．43．（2014 湖北）已知圆O : x2 +y2 =1 和点A(-2,0)，若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有| MB |=λ| MA | ，则（Ⅰ）b=；MAMBMAMB（Ⅱ）λ= .44．（2013 浙江）直线y = 2x + 3 被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于.45．（2013 湖北）已知圆O：x2 +y2 = 5 ，直线l：x cosθ+y sinθ=1( 0 <θ<π)．设圆O上2到直线l 的距离等于1 的点的个数为k ，则k = .46．（2012 北京）直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为. 47．（2011 浙江）若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m= ．48．(2011 辽宁)已知圆C 经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为．49．(2010 新课标)圆心在原点上与直线x +y - 2 = 0 相切的圆的方程为．50．(2010 新课标)过点A(4,1)的圆C 与直线x -y = 0 相切于点B(2,1) ，则圆C 的方程为．三、解答题51．(2016 年全国I)设圆x2 +y2 + 2x -15 = 0 的圆心为A ，直线l 过点B(1, 0) 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I）证明EA +EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；（I I）设点E 的轨迹为曲线C1 ，直线l 交C1 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．52．(2014 江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，tan∠BCO =4 ．3（I）求新桥BC 的长；（I I）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？2 653．（2013 江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (0,3) ，直线l ：y = 2x - 4 .设圆C的半径为 1，圆心在l 上.y（I ） 若圆心C 也在直线 y = x - 1上，过点 A 作圆C 的切线，求切线的方程； （I I ） 若圆C 上存在点 M ，使 MA = 2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．54．(2013 新课标 2)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为2 ， 在 y轴上截得线段长为2 3 ．（I ） 求圆心 P 的轨迹方程；（I I ） 若 P 点到直线 y = x 的距离为2 ，求圆 P 的方程．255．（2011 新课标）在平面直角坐标系 xoy 中，曲线y = x 2 - 6x + 1与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ） 求圆 C 的方程；（I I ）若圆 C 与直线 x - y + a = 0 交于 A ，B 两点，且OA ⊥ OB , 求a 的值．56．（2010 北京）已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(-2, 0) ，( 2, 0) ，离心率是， 3lAO直线y t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ．（I）求椭圆C 的方程；（II）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设Q(x, y) 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．。
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，＋By＋C ＝0，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ01<0Δ02＝0Δ03>0几何观点d 04>rd 05＝rd 06<r2．圆与圆的位置关系(⊙O 1，⊙O 2的半径分别为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)位置关系图形几何法公切线条数外离d >r 1＋r 2四条外切d＝r1＋r2三条相交|r1－r2|<d<r1＋r2两条内切d＝|r1－r2|一条内含0≤d<r1－r2无1．圆的切线方程常用的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M x N. 3．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．()(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(4)在圆中最长的弦是直径．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题2.5T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离答案B解析圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝12＝22，而0<22<1，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．故选B.(2)(人教A选择性必修第一册2.5.2练习T2改编)圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋4y ＝0的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切答案C解析圆O1：x2＋y2－2x＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为O1(1，0)，半径为r1＝1，圆O2：x2＋y2＋4y＝0的标准方程为x2＋(y＋2)2＝4，圆心为O2(0，－2)，半径为r2＝2，所以两圆的圆心距为|O1O2|＝（－1）2＋（－2）2＝5，所以1＝|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2＝3，因此两圆的位置关系为相交．故选C.(3)(人教A选择性必修第一册习题2.5T2改编)以点(3，－1)为圆心且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是________________．答案(x－3)2＋(y＋1)2＝1解析由题意得，r＝|3×3＋4×（－1）|32＋42＝1，因此圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.(4)(人教A选择性必修第一册习题2.2T3改编)已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0.若一直线被圆C所截得的弦的中点为M(2，3)，则该直线的方程为________________．答案y＝x＋1解析圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9，则圆心为C(3，2)，k CM＝3－22－3 1.设所求的直线为m.由圆的几何性质可知，k m·k CM＝－1，所以k m＝1，所以所求的直线方程为y－3＝1·(x－2)，即y＝x＋1.考点探究——提素养考点一直线与圆的位置关系例1(1)(2023·江西九江二模)直线l：mx－y－2＋m＝0(m∈R)与圆C：x2＋(y－1)2＝16的位置关系为________．答案相交解析由mx－y－2＋m＝0(m∈R)，得m(x＋1)－y－2＝0(m∈R)，＋1＝0，y－2＝0，解得＝－1，＝－2，所以直线l过定点(－1，－2)，又因为(－1)2＋(－2－1)2＝10<16，得(－1，－2)在圆内，所以直线l与圆C总相交．(2)(2024·广东湛江廉江中学高三第二次月考)已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，则r 的值为________．答案±2解析由直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，得|2|12＋12＝|r|，即|r|＝2，故r的值为± 2.【通性通法】判断直线与圆的位置关系的两种方法特别地，对于过定点的直线，也可以通过定点在圆内部或圆上判定直线和圆有公共点．【巩固迁移】1．(2023·陕西榆林模拟)已知点P(x0，y0)为圆C：x2＋y2＝2上的动点，则直线l：x0x－y0y＝2与圆C的位置关系为()A．相交B．相离C．相切D．相切或相交答案C解析由题意可得x20＋y20＝2，于是圆心C到直线l的距离d＝2x20＋y20＝22＝2＝r，所以直线l与圆C相切．故选C.2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为________．答案(－32，32)解析由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝|－a|2<3，解得－32＜a＜32.考点二圆的弦长、切线问题(多考向探究)考向1弦长问题例2(1)(2024·四川西昌期末)直线l：x－3y cosθ＝0被圆x2＋y2－6x＋5＝0截得的最大弦长为()A．3B．5C．7D．3答案C解析因为圆x2＋y2－6x＋5＝0，所以其圆心为(3，0)，半径r＝2，于是圆心(3，0)到直线l：x－3y cosθ＝0的距离为d＝31＋3cos2θ，因为cosθ∈[－1，1]，所以cos2θ∈[0，1]，所以d＝31＋3cos2θ∈32，3，因为直线l与圆相交，所以d<2，所以d∈32，又因为弦长为2r2－d2＝24－d2，所以当d取得最小值32时，弦长取得最大值，为7.故选C.(2)(2023·海南华侨中学二模)已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．答案5解析因为圆心(0，0)到直线x－3y＋8＝0的距离d＝81＋3＝4，由|AB|＝2r2－d2，可得6＝2r2－42，解得r＝5.【通性通法】求直线被圆截得的弦长的两种方法【巩固迁移】3．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程为()A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0答案B解析当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝0时，弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0.故选B.4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l ：x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 的面积为85”的m 的一个值：________．答案，－2，12，－12中任意一个皆可以解析设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得|AB |＝24－d 2，所以S △ABC ＝12×d ×24－d 2＝85，解得d ＝455或d ＝255，由d ＝|1＋1|1＋m 2＝21＋m 2，所以21＋m 2＝455或21＋m 2＝255，解得m ＝±2或m ＝±12.考向2切线问题例3(1)在平面直角坐标系中，过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为()A ．5x －12y ＋45＝0B ．y ＋5＝0C ．x －3＝0或5x －12y ＋45＝0D ．y －5＝0或12x －5y ＋45＝0答案C解析因为32＋52－2×3－4×5＋1>0，点(3，5)在圆外，且x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为(1，2)，半径为2.若切线的斜率不存在，即x ＝3，圆心(1，2)到直线x ＝3的距离为2，故直线x ＝3是圆的切线；若切线的斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋5＝0，则|k －2－3k ＋5|k 2＋1＝2，则|3－2k |k 2＋1＝2，两边平方得12k ＝5，k ＝512，所以y －5＝512(x －3)，即5x－12y ＋45＝0.综上，切线的方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.故选C.(2)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．答案7解析设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3，0)，则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离．设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22，所以|PM |的最小值为22，此时|PQ |＝|PM |2－1＝（22）2－1＝7.【通性通法】1．求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系，求得切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程，如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得到切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0.2．求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法：(1)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求得k .(2)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k .注意验证斜率不存在的情况．3．涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，可以利用几何图形求解，也可以把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求解．【巩固迁移】5．(2023·河南开封模拟)已知圆M 过点A (1，3)，B (1，－1)，C (－3，1)，则圆M 在点A 处的切线方程为()A ．3x ＋4y －15＝0B ．3x －4y ＋9＝0C ．4x ＋3y －13＝0D ．4x －3y ＋5＝0答案A解析设圆M 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.＋3E ＋F ＋10＝0，－E ＋F ＋2＝0，3D ＋E ＋F ＋10＝0，＝1，＝－2，＝－5，所以圆M 的方程为x 2＋y 2＋x －2y －5＝0，圆心为－12，所以直线AM的斜率k AM ＝3－11＋12＝43，所以圆M 在点A 处的切线方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.故选A.6．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x 2＋y 2－4x －1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝()A ．1B ．154C ．104D ．64答案B解析解法一：因为x 2＋y 2－4x －1＝0，即(x －2)2＋y 2＝5，可得圆心C (2，0)，半径r ＝5，过点P (0，－2)作圆C 的切线，切点为A ，B ，因为|PC |＝22＋（－2）2＝22，则|PA |＝|PC |2－r 2＝3，可得sin ∠APC ＝522＝104，cos ∠APC ＝322＝64，则sin ∠APB ＝sin2∠APC ＝2sin ∠APC cos ∠APC ＝2×104×64＝154，cos ∠APB ＝cos2∠APC ＝cos 2∠APC －sin 2∠APC ＝＝－14<0，即∠APB 为钝角，所以sin α＝sin(π－∠APB )＝sin ∠APB ＝154.故选B.解法二：圆x 2＋y 2－4x －1＝0的圆心C (2，0)，半径r ＝5，过点P (0，－2)作圆C 的切线，切点为A ，B ，连接AB ，可得|PC |＝22＋（－2）2＝22，则|PA |＝|PB |＝|PC |2－r 2＝3，因为|PA |2＋|PB |2－2|PA |·|PB |cos ∠APB ＝|CA |2＋|CB |2－2|CA |·|CB |cos ∠ACB ，且∠ACB ＝π－∠APB ，则3＋3－6cos ∠APB ＝5＋5－10cos(π－∠APB )，即3－3cos ∠APB ＝5＋5cos ∠APB ，解得cos ∠APB ＝－14<0，即∠APB 为钝角，则cos α＝cos(π－∠APB )＝－cos ∠APB ＝14，又α为锐角，所以sinα＝1－cos2α＝154.故选B.解法三：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝5，若切线斜率不存在，则切线方程为x＝0，则圆心到切线的距离d＝2<r，不符合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，则|2k－2|k2＋1＝5，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0.设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝（k1＋k2）2－4k1k2＝215，所以tanα＝|k1－k2|1＋k1k2＝15，即sinαcosα＝15，可得cosα＝sinα15，则sin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2α15＝1，又α则sinα>0，解得sinα＝154.故选B.7．(2024·陕西西安碑林区校级月考)已知圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8，点T(－3，4)，从坐标原点O向圆M作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若切线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，k1·k2＝－1，则|TM|的取值范围为________．答案[1，9]解析由题意可知，直线OP的方程为y＝k1x，直线OQ的方程为y＝k2x，∵OP，OQ与圆M相切，∴|k1x0－y0|1＋k21＝22，|k2x0－y0|1＋k22＝22，分别对两个式子进行两边平方，整理可得21（8－x20）＋2k1x0y0＋8－y20＝0，22（8－x20）＋2k2x0y0＋8－y20＝0，∴k1，k2是方程k2(8－x20)＋2kx0y0＋8－y20＝0的两个不相等的实数根，易知8－x20≠0，∴k1·k2＝8－y208－x20，又k1·k2＝－1，∴8－y208－x20＝－1，即x20＋y20＝16，则圆心M的轨迹是以(0，0)为圆心，4为半径的圆．又|TO|＝9＋16＝5，∴|TO|－4≤|TM|≤|TO|＋4，∴1≤|TM|≤9.考点三圆与圆的位置关系例4(1)(2024·广东揭阳期末)圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系为() A．相交B．相离C．外切D．内切答案A解析圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0，0)，半径为r1＝1.圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心为O2(2，0)，半径为r2＝3.|O1O2|＝2，r2－r1<|O1O2|<r2＋r1，所以两圆相交．故选A.(2)(多选)(2023·吉林期中)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则()A．|PQ|的最小值为0B．|PQ|的最大值为7C ．两个圆心所在直线的斜率为－43D ．两个圆相交弦所在直线的方程为6x －8y －25＝0答案BC解析根据题意，圆C 1：x 2＋y 2＝1，其圆心C 1(0，0)，半径R ＝1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝1，其圆心C 2(3，－4)，半径r ＝1，圆心距|C 1C 2|＝9＋16＝5，则|PO |的最小值为|C 1C 2|－R －r ＝3，最大值为|C 1C 2|＋R ＋r ＝7，故A 错误，B 正确；对于C ，圆心C 1(0，0)，圆心C 2(3，－4)，则两个圆心所在直线的斜率k ＝－4－03－0＝－43，故C 正确；对于D ，两圆的圆心距|C 1C 2|＝5，则|C 1C 2|>R ＋r ＝2，两圆外离，不存在公共弦，故D 错误．故选BC.(3)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程：________．答案x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x＋4y －5＝0解析如图，因为圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0，0)，半径r 1＝1，圆(x －3)2＋(y －4)2＝16的圆心为A (3，4)，半径r 2＝4，所以|OA |＝5，r 1＋r 2＝5，所以|OA |＝r 1＋r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l 1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l 2与公切线l 1关于过两圆圆心的直线l 对称．易知过两圆圆心的直线l 的方程为y ＝43x ，＝－1，＝43x ，＝－1，＝－43，由对称性可知公切线l21，设公切线l 2的方程为y ＋43＝k (x ＋1)，则点O (0，0)到l 2的距离为1，所以1＝|k －43|k 2＋1，解得k ＝724，所以公切线l 2的方程为y ＋43＝724(x ＋1)，即7x －24y －25＝0.③还有一条公切线l 3与直线l ：y ＝43x 垂直．设公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋t ，易知t ＞0，则点O (0，0)到l 3的距离为1，所以1解得t ＝54，所以公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.综上，所求直线方程为x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0.【通性通法】(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．【巩固迁移】8．(2024·安徽芜湖模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是()A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离答案B解析由题意，得圆M 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2，圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．故选B.9．(2023·云南丽江期中)圆C 1：x 2＋y 2－6x －10y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋14y ＋4＝0公切线的条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析根据题意，圆C 1：x 2＋y 2－6x －10y －2＝0，即(x －3)2＋(y －5)2＝36，其圆心为(3，5)，半径r ＝6；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋14y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋7)2＝49，其圆心为(－2，－7)，半径R ＝7，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－2－3）2＋（－7－5）2＝13＝R ＋r ，所以两圆相外切，其公切线有3条．故选C.10．(2024·江苏启东中学阶段考试)已知P 是圆M ：x 2－4x ＋y 2－4y ＋6＝0上一动点，A ，B 是圆C ：x 2＋2x ＋y 2＋2y －2＝0上的两点，若|AB |＝23，则|PA →＋PB →|的取值范围为________．答案[42－2，82＋2]解析由题意知，点P 所在圆M ：(x －2)2＋(y －2)2＝2，且A ，B 所在圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (－1，－1)，半径为2.设D 是AB 的中点，连接CD ，则CD 垂直平分AB ，则|CD |1，所以点D 在以C 为圆心，1为半径的圆上，即点D 所在圆C 1：(x＋1)2＋(y ＋1)2＝1，又由PA →＋PB →＝2PD →，可得|PA →＋PB →|＝2|PD →|，|PD →|即为圆M ：x 2－4x ＋y 2－4y ＋6＝0上的点与圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的点的距离，因为|MC 1|＝（2＋1）2＋（2＋1）2＝32，所以32－1－2≤|PD →|≤32＋1＋2，即|PA →＋PB →|的取值范围为[42－2，82＋2]．课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，直线l ：2x －y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且直线过圆C 的圆心答案B解析由x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，可得(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，故圆心C (－1，2)，半径r ＝5，则圆心到直线l ：2x －y －1＝0的距离d ＝|－2－2－1|22＋1＝55＝5＝r ，故直线l 与圆C 相切．故选B.2．(2024·黑龙江大庆质检)若直线kx －y ＋1－2k ＝0与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为()A ．23B ．22C ．3D ．2答案B解析直线kx －y ＋1－2k ＝0，即k (x －2)－(y －1)＝0恒过定点M (2，1)，而(2－1)2＋12＝2<4，即点M 在圆C 内，因此当且仅当AB ⊥CM 时，|AB |最小，而圆C 的圆心C (1，0)，半径r ＝2，|CM |＝2，所以|AB |min ＝2r 2－|CM |2＝24－2＝2 2.故选B.3．(2023·河北联考一模)直线l ：ax ＋by －4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相切，则(a －3)2＋(b －4)2的最大值为()A ．16B ．25C ．49D ．81答案C解析由直线l 与圆O 相切可得，圆心O (0，0)到直线l 的距离等于圆的半径，即|－4|a 2＋b 2＝2，故a 2＋b 2＝4，即点(a ，b )在圆O 上，(a －3)2＋(b －4)2的几何意义为圆上的点(a ，b )与点(3，4)之间距离的平方，由a 2＋b 2＝4，得圆心为(0，0)，因为32＋42>4，所以点(3，4)在圆a 2＋b 2＝4外，所以点(a ，b )到点(3，4)的距离的最大值为圆心到(3，4)的距离与圆半径之和，即d ＋r ＝（3－0）2＋（4－0）2＋2＝7，所以(a －3)2＋(b －4)2的最大值为72＝49.故选C.4．(2023·广东汕头模拟)已知圆C 1：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1与C 2：(x －a )2＋(y －a ＋3)2＝9恰好有4条公切线，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，0)∪(4，＋∞)B ．(－∞，1－6)∪(1＋6，＋∞)C ．(0，4)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析因为圆C 1：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1与C 2：(x －a )2＋(y －a ＋3)2＝9恰好有4条公切线，所以圆C 1与C 2外离，所以（a －3）2＋（a －3＋4）2>4，解得a >3或a <－1，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故选D.5．(2023·山东青岛模拟)已知直线l ：3x ＋my ＋3＝0，曲线C ：x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋5＝0，则下列说法正确的是()A ．“m >1”是“曲线C 表示圆”的充要条件B ．当m ＝33时，直线l 与曲线C 表示的圆相交所得的弦长为1C ．“m ＝－3”是“直线l 与曲线C 表示的圆相切”的充分不必要条件D ．当m ＝－2时，曲线C 与圆x 2＋y 2＝1有两个公共点答案C解析对于A ，曲线C ：x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋5＝0⇒(x ＋2)2＋(y ＋m )2＝m 2－1，曲线C 表示圆，则m 2－1>0，解得m <－1或m >1，所以“m >1”是“曲线C 表示圆”的充分不必要条件，A 错误；对于B ，当m ＝33时，直线l ：x ＋3y ＋1＝0，曲线C ：(x ＋2)2＋(y ＋33)2＝26，圆心到直线l 的距离d ＝|－2＋3×（－33）＋1|1＋3＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝226－25＝2，B 错误；对于C ，若直线l 与圆相切，则圆心到直线l 的距离d ＝|－6－m 2＋3|9＋m 2＝m 2－1，解得m ＝±3，所以“m ＝－3”是“直线l 与曲线C 表示的圆相切”的充分不必要条件，C 正确；对于D ，当m ＝－2时，曲线C ：(x ＋2)2＋(y －2)2＝3，其圆心坐标为(－2，2)，r ＝3，曲线C 与圆x 2＋y 2＝1的圆心距为（－2－0）2＋（2－0）2＝22>3＋1，故两圆相离，没有公共点，D 错误．故选C.6．(2024·山东淄博期末)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx －2，若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线l 1，l 2，使得l 1⊥l 2，则实数k 的取值范围是()A ∞，－43∪[0，＋∞)B ∞，－43∪[0，1)C ∞，－43∪[1，＋∞)D ．－43，1答案A解析圆心C (1，0)，半径r ＝2，设P (x ，y )，因为两切线l 1⊥l 2，如图，设切点为A ，B ，则PA ⊥PB ，由切线性质定理，知PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，|PA |＝|PB |，所以四边形PACB 为正方形，所以|PC |＝2，则点P 的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆，方程为(x －1)2＋y 2＝4，直线l ：y ＝kx －2过定点(0，－2)，直线方程即kx －y －2＝0，只要直线与点P 的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即d ＝|k －2|k 2＋1≤2，解得k ≥0或k ≤－43，即实数k ∞，－43∪[0，＋∞)．故选A.7．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则x －y 的最大值是()A ．1＋322B ．4C ．1＋32D ．7答案C解析解法一：令x －y ＝k ，则x ＝k ＋y ，代入原式，化简得2y 2＋(2k －6)y ＋k 2－4k －4＝0，因为存在实数y ，则Δ≥0，即(2k －6)2－4×2(k 2－4k －4)≥0，化简得k 2－2k －17≤0，解得1－32≤k ≤1＋32，故x －y 的最大值是32＋1.故选C.解法二：x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，整理得(x －2)2＋(y －1)2＝9，令x ＝3cos θ＋2，y ＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π]，则x －y ＝3cos θ－3sin θ＋1＝32cos 1，因为θ∈[0，2π]，所以θ＋π4∈π4，9π4，则当θ＋π4＝2π，即θ＝7π4时，x －y 取得最大值32＋1.故选C.解法三：由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，可得(x －2)2＋(y －1)2＝9，设x －y ＝k ，则圆心到直线x －y ＝k 的距离d ＝|2－1－k |2≤3，解得1－32≤k ≤1＋3 2.故选C.8．(2023·甘肃酒泉三模)若直线3x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，动点P 在圆x 2＋(y －1)2＝1上，则△ABP 面积的取值范围是()A ．[2，32]B ．[3，23]C ．[3，33]D ．[22，32]答案C解析如图所示，因为直线3x －y －3＝0与坐标轴的交点A (3，0)，B (0，－3)，则|AB |＝3＋9＝23，圆x 2＋(y －1)2＝1的圆心为C (0，1)，半径为r ＝1，则圆心C (0，1)到直线3x －y －3＝0的距离为d ＝|－1－3|3＋1＝2，所以圆x 2＋(y －1)2＝1上的点P 到直线3x －y －3＝0的距离的最小值为d －r ＝2－1＝1，最大距离为d ＋r ＝2＋1＝3，所以△ABP 面积的最小值为12×23×1＝3，最大值为12×23×3＝33，即△ABP 面积的取值范围为[3，33]．故选C.二、多项选择题9．(2024·湖北武汉期末)已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b.若圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则b的可能值为()A．－1B．－2C．1D．2答案BD解析由圆x2＋y2＝4，可得圆心为(0，0)，半径为2，要使圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则圆心到直线的距离为1，所以|b|2＝2－1，所以b＝± 2.故选BD.10．已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则() A．圆O1和圆O2有两条公切线B．直线AB的方程为x－y＋1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋2答案ABD解析对于A，因为两圆相交，所以有两条公切线，故A正确；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为|1＋1| 2＝2，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋2，D正确．故选ABD.三、填空题11．(2023·广东深圳校考二模)过点(1，1)且被圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0所截得的弦长为22的直线方程为________．答案x＋y－2＝0解析圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，圆心为(2，2)，半径r＝2，若弦长l＝22，则圆心到直线的距离d＝2，显然直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0，所以d＝|2k－2－k＋1|k2＋（－1）2＝2，解得k＝－1，所以直线方程为x＋y－2＝0.12．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．答案8解析圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.因为|C1C2|>r1＋r2，所以圆C1与圆C2外离．又A 为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.13．(2024·浙江校考模拟预测)已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝1，则过点MC1，C2都相切的直线方程为________(写出一个即可)．答案x＝2或5x＋12y－26＝0(写出一个即可)解析若过M的切线斜率不存在，即为x＝2，此时显然与两圆都相切；若过M的切线斜率存在，不妨设为y－43＝k(x－2)，则C1(0，0)，C2(3，2)到y－43＝k(x－2)的距离分别为d1＝|2k－43|k2＋1＝2，d2＝|k－23|k2＋1＝1，解得k＝－512，即y－43＝－512(x－2)，即5x＋12y－26＝0.综上，过M且与两圆都相切的直线方程为x＝2或5x＋12y－26＝0(写出一个即可)．14．(2024·云南大理一模)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，过点A(1，1)的相互垂直的两条直线分别交圆C于点M，N和P，Q，则四边形MQNP面积的最大值为________．答案7解析圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝4，点A(1，1)在圆C内部，设圆心C到直线PQ和MN的距离分别为d1，d2，则有|PQ|＝24－d21，|MN|＝24－d22，且d21＋d22＝|CA|2＝1，所以四边形MQNP的面积S＝12|PQ|·|MN|＝24－d21·4－d22≤7，当且仅当d1＝d2＝22时，等号成立，故四边形MQNP面积的最大值为7.四、解答题15．(2024·辽宁大连月考)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．解(1)由题意知，圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2.当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，则圆心到直线的距离为d＝r，即|2k－3－4k－1|1＋k2＝2，解得k＝－34，所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.(2)当直线l 的倾斜角为135°时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3－3|2＝ 2.故所求弦长为2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.16．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积．解(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )．由题意，得CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故直线l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到直线l 的距离为|－8|12＋32＝4105，所以|PM |＝2＝4105，所以S △POM ＝12×4105×4105＝165.17．(多选)(2023·重庆一中模拟)已知⊙E ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，过点P (5，5)作圆E 的两条切线，切点分别为M ，N ，则下列命题中正确的是()A ．|PM |＝21B ．直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0C ．圆x 2＋y 2＝1与圆E 共有4条公切线D ．若过点P 的直线与圆E 交于G ，H 两点，则当△EHG 的面积最大时，|GH |＝22答案ABD解析因为圆E 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心E 的坐标为(2，1)，半径为2，所以|EM |＝|EN |＝2，又P (5，5)，所以|PE |＝（5－2）2＋（5－1）2＝5，由已知得PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以|PM |＝|PE |2－|EM |2＝21，A 正确；因为PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以P ，M ，E ，N 四点共圆，且圆心为PE 的中点，线段PE 的中点坐标为所以圆F ＋(y －3)2＝254，即x 2－7x ＋y 2－6y ＋15＝0，因为52－2<|EF |＝52<52＋2，所以圆E 与圆F 相交，又圆E 的方程可化为x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0，所以圆E 与圆F 的公共弦方程为3x ＋4y －14＝0，故直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0，B 正确；圆x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0，0)，半径为1，因为|OE |＝5，2－1<|OE |<1＋2，所以圆x 2＋y 2＝1与圆E 相交，故两圆只有2条公切线，C 错误；设∠HEG ＝θ，则θ∈(0，π)，△EHG 的面积S ＝12EH ·EG sin θ＝2sin θ，所以当θ＝π2时，△EHG 的面积取最大值2，此时|GH |＝4＋4＝22，D 正确．故选ABD.18．(2023·福建龙岩统考二模)已知M 是圆C ：x 2＋y 2＝2上一个动点，且直线l 1：m (x －3)－n (y －2)＝0与直线l 2：n (x －2)＋m (y －3)＝0(m ，n ∈R ，m 2＋n 2≠0)相交于点P ，则|PM |的最小值是____________．答案2解析由两直线方程可知，l 1，l 2分别过定点A (3，2)，B (2，3)，且两直线互相垂直，设AB的中点为O ，则如图所示，则两直线的交点P 的轨迹为以O 为圆心，AB 为直径的圆O ，|AB |＝2，|OC |＝522，可知两圆相离，设直线OC 交圆C 于点E ，交圆O 于点D ，显然|PM |≥|ED |＝|OC |－|CE |－|OD |＝522－2－22＝ 2.。
专题九 解析几何第二十四讲 直线与圆2019年1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β 2.（2019北京文11）设抛物线y 2=4的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．4.（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.5（2019全国1文21）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线+2=0相切．（1）若A 在直线+y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ． 2．（2016年北京）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为A ．1B ．2CD ．3．（2016年山东）已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离4．（2016年全国II 卷）圆2+y 2−2−8y +13=0的圆心到直线a +y −1=0的距离为1，则a =A ．−43B ．−34C D ．2 5．（2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是 A ．22(1)(1)1x y -+-= B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y -+-=6．（2015安徽）直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b 的值是A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或127．（2015新课标2）已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A ．35B ．321C ．352D ．34 8．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．⎡⎣D ．⎡⎢⎣⎦ 9．（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=10．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．411．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m = A ．21 B ．19 C ．9 D ．11-12．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（B ．]30π，（C ．]60[π，D ．]30[π， 13．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－814．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．15．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π16．（2013山东）过点（3，1）作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=17．（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4B 1C ．6- D18．（2013安徽）直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．19．（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．113⎛⎤ ⎥ ⎦⎝ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭20．（2013陕西）已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线a + by = 1与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定21．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切， 且与直线10ax y -+=垂直， 则A ．12-B ．1C ．2D ．1222．（2013广东）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=23．（2013新课标2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．(1)3y x =-或(1)3y x =--C ．1)y x =-或1)y x =-D ．1)2y x =-或(1)2y x =-- 24．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件25．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1-B ．(,1)-∞∞UC ．[2-D ．(,2)-∞-∞U26．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +…分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=27．（2012天津）在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )()A ()B ()C ()D 128．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y x =的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 29．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．（33-，33）B ．（33-，0）U （0，33） C ．[33-，33] D ．（，33-U （33，+） 30．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．2220x y x ++=B ．220x y x ++= C ．220x y x +-= D ．2220x y x +-= 31．（2010广东）若圆心在x 5O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5)5x y +=B ．22(5)5x y +=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 二、填空题32．(2018全国卷Ⅰ)直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB =__． 33．(2018天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__．34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，则点A 的横坐标为 ．35．（2017天津）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ．36．（2017山东）若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为 ． 37．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．38．（2016年天津）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点5)M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -= 的距离为45，则圆C 的方程为__________ 39．（2016年全国I 卷）设直线2y x a =+与圆C ：22220x y ay +--=相交于,A B 两点，若||23AB =，则圆C 的面积为 .40．（2016年全国III 卷）已知直线l ：360x y -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.41．（2015重庆）若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．42．（2015湖南）若直线3450x y -+=与圆()2220x y rr +=>相交于,A B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____． 43．（2015湖北）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B在A 的上方），且||2AB =．（1）圆C 的标准方程为 ．（2）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 ．44．（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线2mx y m ---10=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．45．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ．46．（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________．47．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．48．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 ．49．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____．50．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．51．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则（Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .52．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于______.53．（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .54．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .55．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =___56．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在轴上，则C 的方程为__．57．（2010新课标）圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 ．58．（2010新课标）过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为__三、解答题59．（2018全国卷Ⅰ）设抛物线C ：22=y x ，点(2,0)A ，(2,0)-B ，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：ABM ABN =∠∠．60．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．61．（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M 221214600x y x y +--+=及其上一点(2,4)A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r 求实数t 的取值范围．62．（2015新课标1）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：22(2)(3)1x y -+-=交于,M N 两点．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，其中O 为坐标原点，求MN ．63．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ． 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处， 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO ． （I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？64．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C的半径为1，圆心在l 上. yxlO A（I ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（II ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.65．(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为23（I ）求圆心P 的轨迹方程；（II ）若P 点到直线y x =2，求圆P 的方程。
2010年高考数学选择试题分类汇编——直线与圆（2010江西理数）8.直线3y kx 与圆22324x y 相交于M,N 两点，若23MN，则k 的取值范围是A.34， B.304，，C.3333，D.203，【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y 轴相切.当|MN |23时，由点到直线距离公式，解得3[,0]4；解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取，排除B ，考虑区间不对称，排除C ，利用斜率估值，选A（2010安徽文数）（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0(C)2x+y-2=0（D ）x+2y-1=04.A【解析】设直线方程为20x y c，又经过(1,0)，故1c ，所求方程为210x y .【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为20x y c ，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.（2010重庆文数）（8）若直线y x b 与曲线2cos ,sinx y（[0,2)）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（A ）(22,1)（B ）[22,22]（C ）(,22)(22,)（D ）(22,22)解析：2cos ,sinx y化为普通方程22(2)1x y ，表示圆，因为直线与圆有两个不同的交点，所以21,2b 解得2222b法2：利用数形结合进行分析得22,22ACb b 同理分析，可知2222b（2010重庆理数）(8) 直线y=323x 与圆心为D 的圆33c o s ,13s i nx y0,2交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为A.76B.54C.43D.53解析：数形结合301302由圆的性质可知213030故43（2010广东文数）（2010全国卷1理数）（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切。
