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习题一答案
1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
（1）
1
32i
+（2）(1)(2)i i i --
（3）131i i i
--（4）821
4i i i -+-
132i
-
（（（2（（（2）1-+23
222(cos sin )233
i i e πππ=+=
（3）(sin cos )r i θθ+()2
[cos()sin()]22i
r i re
π
θππ
θθ=-+-=
（4）(cos sin )r i θ
θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=
（5）2
1cos sin 2sin 2sin cos 222
i i θ
θθ
θθ-+=+
..
..
3． 求下列各式的值： （1
）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++-
（3
）(1)(cos sin )
(1)(cos sin )
i i i θθθθ-+--（4）
23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-
（5
（6
解：（1
）5)i -5[2(cos()sin())]66
i ππ
=-+- （2）100
100(1)
(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-
（3
）(1)(cos sin )
(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--
（4）2
3
(cos5sin 5)(cos3sin 3)
i i ϕϕϕϕ+- （5
=
（6
=
4．
设12 ,z z i =
=-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1
2cos
sin
, 2[cos()sin()]4
466
z i z i π
π
ππ
=+=-+-，所以
12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212
i i ππππππ
=-+-=+，
5． 解下列方程： （1）5
()
1z i +=（2）440 (0)z a a +=>
解：（1
）z i +=由此
25
k i z i e
i π=-=-，(0,1,2,3,4)k =
（2
）z
==
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11
[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的
4
个根分别为：
), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z
x iy =+
z x y
≤≤+
证明：首先，显然有z x y =≤+；
（=（1n a z -++证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()n z ，
10n a z -+
++=
为实系数代数方程的一个根，则也是。结论得证。（4）若
1,a =则,b a ∀≠皆有
1a b
a ab
-=-
证明：根据已知条件，有1aa =，因此：
1
1()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---，证毕。
（5）若1, 1a b <<，则有
11a b
ab
-<-
..
..
证明：
222
()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--，
2
2
2
1(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--，
因为
1, 1a b <<，所以，
2
2
2
2
2
2
1(1)(1)0a b a b a b +--=--<，
因而2
2
1a b ab -<-，即
11a b
ab
-<-，结论得证。 7．设
1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式，其中n 为正整数，a 为复数。
解：首先，由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+，
在上面两个不等式都取等号时
n z a +达到最大，为此，需要取n z 与a 同向且1n z =，即n
z 应为a 的单位化向量，由此，n
a z a
=
， 8．试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。 解：要使三点共线，那么用向量表示时，2
1z z -与31z z -应平行，因而二者应同向或反向，
即幅角应相差0或π的整数倍，再由复数的除法运算规则知21
31
z z Arg z z --应为0或π的整数
倍，至此得到：
123,,z z z 三个点共线的条件是
21
31
z z z z --为实数。 9．写出过121
2, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。
解：过两点的直线的实参数方程为：
121121()
()
x x t x x y y t y y =+-⎧⎨
=+-⎩， 因而，复参数方程为： 其中t 为实参数。
10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t 为实参数） （1）(1)z
i t =+（2）cos sin z a t ib t =+（3）i
z t t
=+
