24.1.2-垂直于弦的直径(第2课时)

推论的符号语言表述
由 ①CD是直径 ③AE = BE
可推得
②CD⊥AB
⑤④AA⌒⌒CD
= =
⌒ ⌒BBCD
用∵ ∴的格式写出来。 还有其它推导吗？
二、新知探究与学习
4、推论探究
重点讨论：假命题“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条 弧”。
①为什么是假命题？（举反例如图） ②如何补充条件使其成为真命题？
5、定理及推论的理解
⑶ 下列说法正确的个数是（
）个
①平分弧的直径必平分弧所对的弦。
②平分弦的直线必垂直弦。
③垂直于弦的直径平分这条弦。
④平分弦的直径垂直于这条弦。
⑤弦的垂直平分线是圆的直径。
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦。
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，那么这条 直线必平分此弦所对的弧。
A、2
B、3
C、4
D、5
6、图形的识别与探究
（1）弦心距d、弓形高h的概念 （2）构建Rt△模型 （3）a、d、r、h 具有什么样的数量关系？
7、垂径定理及推论应用
例2、赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥， 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与 智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度 （弧所对的弦的长）为37米，拱高（弧的中点到 弦的距离）为7.23米，求赵州桥主桥拱的半径 （结果保留小数点后一位）
C
F
拱高7.23米
A
跨度D37米
B
变式训练
练习1、往直径为650mm的圆柱体油槽内装 入一些油以后，截面如图所示，若油面宽 AB=600mm，求油的最大深度。
O
A
B
提升训练
练习2、某菜农在生态园蔬菜基地搭建一个截面为弓形的 蔬菜大棚（如图），大棚的跨度为30m，大棚的顶点C离 地面高度为2.3m。 ① 求该圆弧所在圆的半径。 ② 若菜农身高1.70米,则他在不弯腰的情况下,横向活动范 围有几米?

O A B O B A 24.1.2 垂直于弦的直径（2）【学习目标】1、熟练掌握垂径定理及其他结论，并学会运用这些结论进行证明、计算；2、了解拱高、弦心距等概念，能运用拱高、弦心距、半径之间的关系解决问题。

【重点】垂径定理及其他结论的运用。

【难点】垂径定理推广定理的推导。

【导学过程】（一）知识链接：垂径定理、垂径定理的推论、勾股定理。

（二）合作探究：分组证明剩余八种情况：(1)(4) ⇔ (2)(3)(5)、 (1)(5) ⇔ (2)(3)(4)、(2)(3) ⇔(1)(4)(5)、 (2)(4) ⇔ (1)(3)(5)、(2)(5) ⇔ (1)(3)(4)、(3)(4) ⇔ (1)(2)(5)、(3)(5) ⇔ (1)(2)(4)、(4)(5) ⇔ (1)(2)(3)。

★归纳总结：垂径定理的推广：（三）学法指导：1、三个概念：跨度AB(弦AB);弦心距OE(圆心到弦的距离)；拱高CE(弧的中点到弦的距离)2、一个重要关系：弦心距+拱高=半径3、常用辅助线：（1）有弦作弦心距也就是构造垂直于弦的直径；（2）构造直角三角形：斜边是半径，直角边是弦心距、弦的一半。

（3）两个重要关系：弦心距2+弦的一半2=半径2、弦心距+拱高=半径（4）在半径、弦，弦心距,拱高四个量中，任意知道其中的两个量，利用勾股定理，就可以求出其余的量。

4、学习P 81的例题,完成P 82练习（四）提高练习：5、P 82练习26、在直径为1000mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如 图1、2所示。

若油面宽AB=800mm ，分别求油的最大深度。

7、一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米。

求：(1)桥拱半径；⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？。

人教课标九上· §24.1.2
赵洲桥的半径是多少？
问题 ：你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋代建造 的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是 圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点 到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一 条直径对折，重复几次，你发现了 什么？由此你能得到什么结论？
弧： BC, BD AC AD
C
·
O E A D B
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， C ， D A A 分别与 B C 、 B D 重合．
C
A AE＝BE， D B D
， C BC A 即直径CD平分弦AB，并且平分 B 及 C B A A
C
37 . 4 18 . 7 ,
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即 R2=18.72+（R－7.2）2
A R O
D
B
解得：R≈27．9（m）
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
课堂练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距 离为3cm，求⊙O的半径．
我们就得到下面的定理：
·
O
垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧．
我们还可以得到结论：
E
A D
B
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
这个定理也叫垂径定理，利用 这个定理，你能平分一条弧吗？
解决求赵州桥拱半径的问题？ 在图中 AB=37.4，CD=7.2，

能，请举出反例.
C
➢特别说明： 圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
一三 垂径定理及其推论的计算
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= 16 cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB， A
E
B
∴ AE OA2 OE2
O·
102 62 8 cm.
∴ AB=2AE=16cm.
rd
d+h=r
r2
d2
a 2
2
O
当堂练习
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为 3cm，则此圆的半径为 5cm . 2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦 AC= 10 3 cm .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,
且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离 为 14cm或2cm .
例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,
M
求证：A⌒C＝B⌒D.
C
D
A
B
证明：作直径MN⊥AB.
.O
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） N
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
归纳总结
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件.
即右图中的OE叫弦心距.