人教版九年级数学上《垂直于弦的直径》拓展练习

前言：
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（最新精品同步练习题）
基础导练
1.半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）
A．3 B．4 C．5 D．
7
2.如图，AB为圆O的弦，圆O的半径为5，OC⊥AB于点D，交圆
O于点C，
且CD=2，则AB的长是 .
能力提升
3.绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）
A.4m
B.5m
C.6m
D.8m
4.已知⊙O的半径为5cm，AB和CD是⊙O的弦，AB//CD, AB=6cm，CD=8cm，求AB与CD之间的距离是多少？
1。

24.1.2垂直于弦的直径一、单选题 1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（ ）A ．4√3B ．6√3C ．2√3D ．82．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，连接AB ，用尺规按①到③的步骤操作，下列结论正确的有（ ）①在⊙O 上任取一点C （不与A ，B 重合），连接AC ；②作AB 的垂线平分线交⊙O 于点M ，N ；③作AC 的垂直平分线交⊙O 于点E ，F结论Ⅰ：直线MN 与直线EF 的交点一定与点O 重合；结论Ⅱ：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论Ⅲ：⊙O 上存在唯一的点C ，使得MF⌢=2AE ⌢A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ．√41cm4．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ．若∠A =30°，AC =2，则CD 的长是（ ）5．如图，在⊙O中，AE是直径，连接BE，若AB=8，OC⊥AB于点D，CD=2，则BE 的长是（）A．5B．6C．7D．86．下列命题：①对角线垂直且相等的四边形是正方形；②垂直弦的直径平分这条弦；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④各边相等的多边形是正多边形；⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．其中真命题有（）个．A．1B．2C．3D．47．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm8．在半径为5cm的⊙O中，若弦AB与弦CD平行，且AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD 之间的距离为（）A．1cm B．7cm C．8cm D．1cm或7cm9．若⊙O的半径为10 cm，且两平行弦AC，BD的长分别为12 cm，16 cm，则两弦间的距离是()A．2 cm B．14 cm C．2 cm或14 cm D．6 cm或8 cm 10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4√3，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED=EB，则EF的最小值为（）A．3√3B．2√3C．√3D．2二、填空题11．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为AC⌢上的动点，点M，N，P别是AD，DC，CB的中点，若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是 .12．如图所示是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的直径为．13．一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若⊙O中的直径为52cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为cm．14．如图，已知⊙O的半径为5，点P是弦AB上的一动点，且弦AB的长为8．则OP 的取值范围为．15．如图4，点P在半径为3的⊙O内，OP=√3，点A为⊙O上一动点，弦AB过点P，则AB最长为，AB最短为．三、解答题16．凰仪桥始建于嘉泰以前，是绍兴市区的一座古桥，此桥可以看成是一种特殊的圆拱桥，已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为18.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为6.2m．求此桥拱圆弧的半径（精确到0.1m）17．如图，在平行四边行ABCD中，AB=5，BC=8，BC边上的高AH=3，点P是边BC 上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP//CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．18．在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=0.8米，求油的最大深度．19．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．(1)若∠AOD=52∘，求∠DEB的度数；(2)若OC=3，BC=3√3，求弧AB^的长．20．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．(1)证明：∠BCO=∠ACD；(2)若AE=2，BE=8，求弦CD的长．⌢的中点，在直径CD 21．如图：已知⊙O的直径CD为2，AC⌢的度数为60°，点B是AC上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为多少？。

人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径一．选择题（共6小题）1．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（）A．B．2C．2D．32．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，1）D．（1、0）3．如图，⊙O中，OD⊥AB于点C，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．3B．4C．5D．64．在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm，则点O到AB的距离为（）A．50mm B．25mm C．25mm D．25mm5．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（）A．1B．7C．1或7D．3或46．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（）A．4.1米B．4.0米C．3.9米D．3.8米二．填空题（共6小题）7．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为cm．8．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为．9．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝cm．10．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是．11．如图，⊙O与抛物线y＝x2交于A，B两点，且AB＝2，则⊙O的半径等于．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y＝kx﹣2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．三．解答题（共3小题）13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE的长．14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．15．如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径参考答案一．选择题（共6小题）1．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（）A．B．2C．2D．3【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴AB＝OA＝4，∴OC＝AB＝2，故选：C．2．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，1）D．（1、0）【解答】解：该圆弧所在圆的圆心坐标是：（1，0）．故选：D．3．如图，⊙O中，OD⊥AB于点C，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，在Rt△OBC中，OC＝＝5．故选：C．4．在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm，则点O到AB的距离为（）A．50mm B．25mm C．25mm D．25mm【解答】解：作OC⊥AB于C，根据题意：OA＝OB＝AB＝50mm，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOC＝30°，∴OC＝OA•cos30°＝25cm．故选：B．5．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（）A．1B．7C．1或7D．3或4【解答】解：①当AB、CD在圆心两侧时；过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，∴EF为AB、CD之间的距离在Rt△OEC中，由勾股定理可得：OE2＝OC2﹣CE2∴OE＝＝3，在Rt△OF A中，由勾股定理可得：OF2＝OA2﹣AF2∴OF＝＝4，∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，AB与CD的距离为7；②当AB、CD在圆心同侧时；同①可得：OE＝3，OF＝4；则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；综上所述：AB与CD间的距离为1或7．故选：C．6．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（）A．4.1米B．4.0米C．3.9米D．3.8米【解答】解：∵车宽2.4米，∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD＝＝＝1.6（m），CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，∴卡车的外形高必须低于4.1米．故选：A．二．填空题（共6小题）7．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为12cm．【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为12．8．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为16．【解答】解：如图，OA＝16，则OC＝8，根据勾股定理得，AC＝＝8，∴弦AB＝16．故答案为：16．9．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝2cm．【解答】解：连接OA，如图，∵CE＝3，DE＝7，∴CD＝10，∴OC＝OA＝5，OE＝2，∵AB⊥CD，∴AE＝BE，在Rt△AOE中，AE＝＝，∴AB＝2AE＝2（cm）．故答案为2．10．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是3．【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，在Rt△OCH中，OH＝＝3，所以CD与AB之间的距离是3．故答案为3．11．如图，⊙O与抛物线y＝x2交于A，B两点，且AB＝2，则⊙O的半径等于．【解答】解：连接OA，设AB与y轴交于点C，∵AB＝2，∴点A，B的横坐标分别为﹣1，1．∵⊙O与抛物线y＝x2交于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，），（1，），在Rt△OAC中，由勾股定理得OA＝＝＝，∴⊙O的半径为．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y＝kx﹣2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为4．【解答】解：对于直线y＝kx﹣2k+3＝k（x﹣2）+3，当x＝2时，y＝3，故直线y＝kx﹣2k+3恒经过点（2，3），记为点D．过点D作DH⊥x轴于点H，则有OH＝2，DH＝3，OD＝＝．∵点A（5，0），∴OA＝5，∴OB＝OA＝5．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，因此运用垂径定理及勾股定理可得：BC的最小值为2BD＝2＝2×＝4．故答案为4．三．解答题（共3小题）13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE的长．【解答】解：如图，连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，∴CE＝ED＝CD＝3．∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝4，∴OE＝＝，∴BE＝OB﹣OE＝4﹣．14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．15．如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．【解答】解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，则EF＝DF＝DE，假设DE＝6m，则DF＝3m，∵圆的半径为5m，∴OD＝5m，∴OF＝＝＝4＞3.8，∴这条船能过桥洞．。

初中数学九年级上册垂直于弦的直径练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（）A.MP>RNB.MP=RNC.MP<RND.MP与RN的大小关系不定2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，则∠BAC等于（）A.15∘B.20∘C.30∘D.45∘3. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30∘，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为()cm B.3cm C.3√3cm D.6cmA.524. 已知⊙O的半径为5cm，圆内两平行弦AB、CD的长分别为6cm、8cm，则弦AB、CD间的距离为（）A.1cmB.7cmC.7cm或1cmD.4cm或3cm5. 已知：如图，弦AB的垂直平分线交⊙O于点C、D，则下列说法中不正确的是（）A.弦CD一定是⊙O的直径B.点O到AC、BC的距离相等C.∠A与∠ABD互余D.∠A与∠CBD互补6. 如图，在⊙O中，已知半径为13，弦AB的长为24，那么圆心O到AB的距离为（）A.1B.3C.5D.107. 如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25米，BD＝1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）A.2米B.2.5米C.2.4米D.2.1米8. 在⊙O中，r=13，弦AB=24，则圆心O到AB的距离为（）A.5B.10C.12D.139. 下列命题中，真命题的个数是（）①平分弦的直径垂直于弦；②圆内接平行四边形必为矩形；③90∘的圆周角所对的弦是直径；④任意三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等．A.5B.4C.3D.210. 如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A.AD ⌢=BD ⌢B.AF =BFC.OF =CFD.∠DBC =90∘11. 点M 是半径为5的⊙O 内一点，且OM =3，在过M 所有⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为________．12. 如图，⊙O 的弦AB 垂直于CD ，E 为垂足，AE =3，BE =7，且AB =CD ，则圆心O 到CD 的距离是________．13. 若圆的半径为3，圆中一条弦为2√5，则此弦中点到弦所对劣弧的中点的距离为________．14. 圆外一点到圆的最大距离是18cm ，到圆的最小距离是5cm ，则圆的半径是________cm ．15. 如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且弦AB ⊥OP ，OP =3，则弦AB 长是________．16. 如图，在⊙O中，AB是弦，∠AOB=120∘，OA=5cm，那么圆心O到AB的距离是________cm，弦AB的长是________cm．17. 如图，已知：点M为⊙O内一点，且过点M最长的弦为10cm，最短的弦为6cm，则OM的长为________cm．18. 如图所示，⊙P表示的是一个摩天轮，最高处A到地面的距离是80.5米，最低处B 到地面的距离是0.5米．小红由B处登上摩天轮，乘坐一周需要12分钟．乘坐一周的过程中，小红距离地面的高度是60.5米的时刻是第________分钟．19. 如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽度，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，则这个小孔的宽度AB是________毫米。

九年级数学上册《垂直于弦的直径》练习题复习巩固1．下列说法中正确的是( )A ．直径是圆的对称轴B ．经过圆心的直线是圆的对称轴C ．与圆相交的直线是圆的对称轴D ．与半径垂直的直线是圆的对称轴2．如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不一定成立的是( )A ．∠COE =∠DOEB ．CE =DEC ．OE =BED ．BD BC3．如图所示，O 的弦AB 垂直平分半径OC ，则四边形OACB是( )A ．正方形B ．长方形C ．菱形D ．以上答案都不对4．如图，AB 是O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝6cm ，OD ＝4cm ，则DC 的长为( )A ．5cmB ．2.5cmC ．2cmD ．1cm5．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为( )A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm6．右图是一个单心圆隧道的截面，若路面AB 宽为10m ，拱高CD 为7m ，则此隧道单心圆的半径OA 是( )A ．5mB ．377m C ．375m D ．7m7．已知O中，弦AB的长为6cm，圆心O到弦AB的距离为4cm，则O的直径为__________cm8．如图，AB，AC分别是O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BC，若BC＝12，则OD＝__________9．如图，在O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为__________．10．如图，在O中，AB，AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，求证：四边形ADOE是正方形．能力提升11．如图，已知O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是()A．2.5 B．3.5C．4.5 D．5.512．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，若点P的坐标为(4,2)，点A的坐标为(2,0)，则点B的坐标为__________．13．在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则两弦之间的距离为__________．14．在直径为650mm的圆柱形油桶内装进一些油后，其截面如图所示，若油面宽为600mm，求油的最大深度．15．有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？参考答案复习巩固1．B 2.C3．C 由垂径定理知AB 也被OC 平分，所以AB 和OC 互相垂直平分，即四边形OACB 为菱形．4．D 连接OB .∵OC ⊥AB ，AB ＝6cm ，∴BD ＝12AB ＝3cm. ∴OB ＝222243OD BD +=+＝5(cm)．∴OC ＝OB ＝5cm.∴DC ＝OC －OD ＝5－4＝1(cm)．5．D 如图，过O 作OE ⊥AB 于点E ，由垂径定理，得AE ＝12AB ＝12×10＝5(cm)，CE ＝12CD ＝12×6＝3(cm)． 所以AC ＝AE －CE ＝5－3＝2(cm)．6．B 根据题意，得AD ＝DB .所以AD ＝5m ，OD ＝CD －OC ＝7－OA .在Rt △ADO 中，OA 2＝AD 2＋OD 2，即OA 2＝52＋(7－OA )2，解得OA ＝377m.7．10 8．69．24 连接OD ，∵AM ＝18，BM ＝8，∴OD ＝18822AM BM ++=＝13. ∴OM ＝13－8＝5.在Rt △ODM 中，222213512DM OD OM =-=-=.∵直径AB ⊥弦CD ，∴CD ＝2DM ＝2×12＝24.10．证明：∵OE ⊥AC ，OD ⊥AB ，AB ⊥AC ，∴∠OEA ＝90°，∠EAD ＝90°，∠ODA ＝90°.∴四边形ADOE 为矩形．由垂径定理，得AE ＝12AC ，AD ＝12AB . 又AC ＝AB ，∴AE ＝AD .∴四边形ADOE 为正方形．能力提升11．C 如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，连接OA ，则由垂径定理得AC ＝12AB ＝3.在Rt △OAC 中，由勾股定理得OC ＝22OA AC ＝4，∵OC ≤OM ≤OA ，即4≤OM ≤5，∴线段OM 的长可能是4.5.故选C.12．(6,0) 过点P 作PC ⊥AB 于点C ，∵AC ＝BC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴OB ＝OC ＋BC ＝4＋2＝6.∴点B 的坐标为(6,0)．13．1cm 或7cm 已知两条平行弦的长，求两弦之间的距离，这两条弦可能在圆心的同侧也可能在圆心的两侧(如图所示)，因此应分两种情况讨论．(1)当两弦在圆心的同侧时，如图①，作OM ⊥AB 于点M ，交CD 于点N .∵AB ∥CD ，∴OM ⊥CD .∴MN 即为所求的距离．连接OB ，OD ，这时OB ＝OD ＝5cm ，AM ＝BM ＝12AB ＝3cm ，ND ＝CN ＝12CD ＝4cm.在Rt △OBM 中， 2222534OM OB BM =-=-=(cm)．在Rt △ODN 中，2222543ON OD DN =-=-=(cm)．∴MN ＝OM －ON ＝1(cm)．故当两弦在圆心的同侧时，两弦之间的距离为1cm.(2)当两弦在圆心的两侧时，如图②，作OM ⊥AB 于点M ，延长MO 交CD 于点N . ∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .∴MN 即为所求的距离．同样地，可以求出OM ＝4cm ，ON ＝3cm.∴MN ＝OM ＋ON ＝4＋3＝7(cm)．故当两弦在圆心的两侧时，两弦之间的距离为7cm.14．解：作OD ⊥AB ，交O 于点D ，垂足为点C ，连接AO .∵OD ⊥AB ，OD 为半径，∴AC ＝BC ＝12AB ＝12×600＝300(mm)． 在Rt △AOC 中，22226503001252OC AO AC ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭(mm)， 因此CD ＝OD －OC ＝325－125＝200(mm)．故油的最大深度为200mm.15．解：判断货船能否顺利通过这座拱桥，关键是看船舱顶部两角是否会被拱桥顶部挡住．如图所示，用AB 表示拱桥，计算出FN 的长度，若FN ＞2m ，则货船可以顺利通过这座拱桥；否则，货船不能顺利通过这座拱桥．设拱桥AB的圆心为O，连接OA，OB，作OD⊥AB于点D，交AB于点C，交MN于点H，由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA＝r m，则OD＝OC－DC＝r－2.4(m)，AD＝1AB＝3.6(m)．2在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.在Rt△O HN中，2222=--=(m)．OH ON NH3.9 1.5 3.6所以FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)．因为2.1m＞2m，所以货船能够顺利通过这座拱桥．。

2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习24.1.2垂直于弦的直径一•选择题（共15小题）1 .下列说法中正确的是（）A. 平分弦的直径一定垂直于弦B. 长度相等的弧是等弧C•平行弦所夹的两条弧相等D.相等的圆心角所对的弦相等2. 如图O的半径为6,直径CD过弦EF的中点G,若/ EOD=60,则弦CF的长等于（）A. 6B. 6 —C. 3 —D. 93. 如图，在。

O中，直径AB丄弦CD,垂足为M，则下列结论一定正确的是（）ABA. AC=CDB. OM=BMC.Z A= . / ACDD.Z A=. / BOD4 .如图，AB是。

O 的直径，AB丄CD于E, AB=10, CD=8,则BE%( )A. 2B. 3C. 4D. 3.55. 如图，在O O中，弦AB的长为16cm,圆心O到AB的距离为6cm,则O O截面圆心O 到水面的距离OC 是（10.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一B . 10cm C. 8cm D . 20cm6. 在半径为25cm 的。

O 中，弦AB=40cm,则弦AB 所对的弧的中点到 AB 的距 离是（ ）A . 10cmB . 15cmC. 40cm 7.下列说法中正确的个数有（）① 相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径一定垂直于弦；③ 圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴； ④ 直径是弦；⑤ 长度相等的弧是等弧.D . 10cm 或 40cmD . 4个8 .如图，O O 过点B C,圆心O 在等腰Rt A ABC 的内部，/ BAC=90, OA=2 BC=8则O O 的半径为（B . 5C.下 D . 69.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB=1O,水面宽 AB=16,则B . 5 D . 6的半径是（A . 6cm A . 4千多年，其中有这样一个问题：今有圆材埋在壁中，不知大小•以锯锯之，深一寸，锯道长一尺•问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.如图，已知弦AB=1 尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A. 13 寸B. 6.5 寸C. 26 寸D. 20 寸11•如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A. 10 cmB. 16 cmC. 24 cmD. 26 cm 12 .把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm则球的半径长是（）;I\ /\ /* _* I8 CA. 2 cmB. 2.5 cmC. 3 cmD. 4 cm13.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16m,拱高CD=4m,则圆弧形桥拱所在圆的半径为（）疋—L_____ 卫A D BA. 6 mB. 8 mC. 10 mD. 12 m14.如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块咼为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（)15.圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，今有圆材，埋在壁中,不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？ ”用现代的数学语言表示是： 如图，CD 为O O 的直径，弦 AB 丄CD,垂足为E, CE=1寸，AB=10 寸，求直径CD 的长”依题意，CD 长为( )二.填空题(共10小题)16.如图，在O O 中，半径0C 丄弦AB,垂足为点D ，AB=12, CD=2则O O 半 径的长为 ___________ .17 .如图，AB 是O O 的弦，OC 丄AB 于点C ,且AB > OC,若OC 和AB 是方程x 2 -11x+24=0的两个根，则O O 的半径OA= _______ .19.在平面直角坐标系中，过三点 A (0, 0), B (2, 2), C (4, 0)的圆的圆 心坐标为 _____________ .B . 12cm C. 16cm D . 20cm △ 寸 A .寸 B. 13 寸 C. 25 寸 D. 26 寸 DA . 8cm320.如图，AB是。

人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径(153) 1.如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围是．2.如图,点A，B，C，D在⊙O上,AB是⊙O的直径,BE=CE．(1)请写出四个不同类型的正确结论;(2)若BE=4,AC=6,求DE的长．3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB⌢.(1)用直尺和圆规作出AB⌢所在圆的圆心O(要求保留作图痕迹，不写作法)；(2)若AB⌢的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求AB⌢所在圆的半径．4.某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?5.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC=BD．6.如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE=OF．求证：AB=CD．7.下列说法正确的是（）A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B.平分弦的直径垂直于弦C.垂直于直径的弦平分这条直径D.弦的垂直平分线经过圆心8.如图所示，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AM=BM，OM∶OC=3∶5，则AB的长为（）A.8cmB.√91cmC.6cmD.2cm9.如图所示，AB是⊙O的直径，∠BAC=42∘，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是度．10.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（）A.6√2B.9−√2C.√7D.25−3√211.已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（）A.17cmB.7cmC.12cmD.17cm或7cm12.如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为．13.下列说法中，不正确的是（）A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A.CM=DMB.CB⌢=DB⌢C.∠ACD=∠ADCD.OM=MB15.如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长度为（）A.5B.7C.9D.1116.如图，⊙O的直径CD⊥AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A.2B.4C.6D.817.如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为．18.如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA=10，水面宽AB=16，则水的深度CD=．19.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130∘，∠BAC=20∘，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．参考答案1.【答案】:3cm≤OP≤5cm【解析】:作直径MN⊥弦AB，交AB于点D．由垂径定理，得AD=DB=12AB=4cm．又⊙O的直径为10cm，连接OA，则OA=5cm．由勾股定理，得OD=√OA2−AD2= 3cm．∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm2(1)【答案】不同类型的正确结论有:BE=12BC,BD=CD,BD=CD,OD⊥BC，△BOD是等腰三角形,△BDE≌△CDE,OB2=OE2+BE2等(2)【答案】∵AB是⊙O的直径,∴OA=OB．∵BE=CE,∴OD⊥BC，OE为△ABC的中位线,∴OE=12AC=12×6=3.在Rt△OBE中,由勾股定理，得OB=√OE2+BE2=√32+42=5,∴OD=OB=5,∴DE=OD−OE=5−3=23(1)【答案】如图①，连接AC,BC，作线段AC,BC的垂直平分线交于点O，点O即为所求．(2)【答案】如图②，连接OA，AB，OC，OC交AB于点D．∵C为AB的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD=12AB=40m．设⊙O的半径为rm，则OA=rm，OD=OC−CD=(r−20)m．在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，∴r2=(r−20)2+402，解得r=50.即AB所在圆的半径是50m．4.【答案】:如图，设弧形拱桥AB所在圆的圆心为O，连接OA,OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H．由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA=r米，AB=3.6米．在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，即则OD=OC−DC=(r−2.4)米，AD=12r2=3.62+(r−2.4)2，解得r=3.9. 在Rt△OHN中，OH=√ON2−NH2=√3.92−1.52=3.6(米)，所以FN=DH=OH−OD=3.6−(3.9−2.4)=2.1(米)．因为2.1米>2米,所以此货船能顺利通过这座拱桥【解析】:如图，设弧形拱桥AB所在圆的圆心为O，连接OA,OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H．由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA=r米，AB=3.6米．在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，即则OD=OC−DC=(r−2.4)米，AD=12r2=3.62+(r−2.4)2，解得r=3.9. 在Rt△OHN中，OH=√ON2−NH2=√3.92−1.52=3.6(米)，所以FN=DH=OH−OD=3.6−(3.9−2.4)=2.1(米)．因为2.1米>2米,所以此货船能顺利通过这座拱桥5.【答案】:过点O作OH⊥AB于点H，如图，则AH=BH，CH=DH，∴AH−CH=BH−DH，即AC=BD【解析】:过点O作OH⊥AB于点H，如图，则AH=BH，CH=DH，∴AH−CH=BH−DH，即AC=BD6.【答案】:∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=BE，CF=DF．在Rt△OBE与Rt△ODF中，{OB=OD,OE=OF∴Rt△OBE≌Rt△ODF(HL)，∴BE=DF，∴2BE=2DF，即AB=CD【解析】:略7.【答案】:D【解析】:A选项中没有说直线过圆心，故得不到这条直线平分弦所对的两条弧；B选项中被平分的弦必须不是直径；C选项中垂直于直径的弦可能平分直径也可能不平分直径；D选项正确．故选D8.【答案】:A【解析】:如图所示，连接OA．∵⊙O的直径CD=10cm，∴⊙O的半径为5cm，即OA=OC=5cm．∵OM∶OC=3∶5，∴OM=3cm．∵AM=BM,∴AB⊥CD．在Rt△AOM中，AM=√52−32=4(cm)，∴AB=2AM=2×4=8(cm)．故选A．9.【答案】:48【解析】:∵AD=CD，∴OD⊥AC，∴∠CDO=90∘，∴∠DOC+∠ACO=90∘.∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=42∘，∴∠DOC=90∘−∠ACO=48∘10.【答案】:C【解析】:如图，过点O作OG⊥AB于点G．根据垂径定理，得AG=BG．设AC=2a，则CB=4a，CG=a，GB=3a．在Rt△OCG中，OC2=OG2+CG2=OG2+a2.①在Rt△OBG 中，OB2=OG2+GB2=OG2+9a2.②又OC=3，OB=5，将其分别代入①②中，解方程得a2=2，OG2=7. 所以圆心O到弦AB的距离为√711.【答案】:D【解析】:①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，则OF⊥CD．∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm．∵OA=OC=13cm，∴OE=5cm，OF=12cm，∴EF=12−5=7(cm)．②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，则OF⊥CD．∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm．∵OA=OC=13cm，∴OE=5cm，OF=12cm，∴EF=OF+OE=17(cm)．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm12.【答案】:4【解析】:∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴AC=PC，PD=BD，∴CD是△ABP的中位线．∵AB=4AB的长为8，∴CD=1213.【答案】:D14.【答案】:D【解析】:∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立．由已知得B为CD⌢的中点，即CB⌢=DB⌢，选项B成立．在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90∘，CM=DM，∴△ACM≌△ADM，∴∠ACD=∠ADC，选项C成立．而OM与MB不一定相等，选项D不成立．故选 D15.【答案】:A【解析】:因为ON⊥AB，所以AN=12AB=12×24=12，∠ANO=90∘.在Rt△AON中，由勾股定理得ON=√OA2−AN2=√132−122=5.故选A16.【答案】:D【解析】:如图，连接OB.∵CE=2，DE=8，∴CD=CE＋DE=10，则OC=OB=5，∴OE=OC−CE=3.在Rt△OBE中，由勾股定理，得BE=√OB2−OE2=√52−32=4.∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AB=2BE=8.故选D.17.【答案】:√13【解析】:∵弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，∴AC=BC=3，∠ACO=90∘.在Rt△AOC中，由勾股定理，得OA=√AC2+OC2=√32+22=√1318.【答案】:4【解析】:∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，AB=16，∴AC=12AB=8.∵AO=10，∴在Rt△OAC中，OC=√OA2−AC2=√102−82=6，人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径(153)第 11 页,共11 页 ∴CD =OD −OC =10−6=419.【答案】:2√3 【解析】:如图，作CE ⊥AB 于点E ． ∠B =180∘−∠A −∠ACB =180∘−20∘−130∘=30∘. 在Rt △BCE 中，∵∠CEB =90∘，∠B =30∘，BC =2， ∴CE =12BC =1，BE =√BC 2−CE 2=√3． ∵CE ⊥BD ，∴BD =2EB =2√3．。

《垂直于弦的直径》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB 是16dm，则截面水深CD是（）A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm2．（5分）如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm3．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．4B．5C．6D．64．（5分）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m5．（5分）如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（）A．5米B．7米C．米D．米二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，如图①是其中一处中式圆形门，图②是它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为．7．（5分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB 为4.2米，则该隧道最高点距离地面米．8．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于寸．9．（5分）如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是mm．10．（5分）王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB 为6m，则桥拱半径OC为m．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？12．（10分）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为S MNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．13．（10分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面的宽CD．14．（10分）某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？15．（10分）在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．①若油面宽AB＝16dm，求油的最大深度．②在①的条件下，若油面宽变为CD＝30dm，求油的最大深度上升了多少dm？《垂直于弦的直径》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB 是16dm，则截面水深CD是（）A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm【分析】由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC 中，根据勾股定理求出OC的长，由CD＝OD﹣OC即可得出结论．【解答】解：由题意知OD⊥AB，交AB于点E，∵AB＝16，∴BC＝AB＝×16＝8，在Rt△OBE中，∵OB＝10，BC＝8，∴OC＝＝6，∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4．故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键．2．（5分）如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD＝8，OD＝13，∴OC＝5，又∵OB＝13，∴Rt△BCO中，BC＝＝12，∴AB＝2BC＝24．故选：C．【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．3．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．4B．5C．6D．6【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出BC是解决问题的关键．4．（5分）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m【分析】连接OA，设OB＝OC＝x，则OD＝8﹣x，根据垂径定理得出BD，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案．【解答】解：连接BO，由题意可得：AD＝BD＝4m，设B半径OC＝xm，则DO＝（8﹣x）m，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5．故选：B．【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．5．（5分）如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（）A．5米B．7米C．米D．米【分析】根据垂径定理和勾股定理可得．【解答】解：∵CD⊥AB，AB＝10米，由垂径定理得AD＝5米，设圆的半径为r，由勾股定理得OD2+AD2＝OA2，即（7﹣r）2+52＝r2，解得r＝米．故选：D．【点评】考查了垂径定理、勾股定理．特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，如图①是其中一处中式圆形门，图②是它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为1米．【分析】根据垂径定理和勾股定理解答即可．【解答】解：设该圆形门洞的半径为r，∵AB过圆心O，且垂直CD于点B，连接OC，在Rt△OCB中，可得：r2＝（1.8﹣r）2+0.62，解得：r＝1，故答案为：1米【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理和勾股定理解答．7．（5分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB 为4.2米，则该隧道最高点距离地面 6.3米．【分析】连接OA．由垂径定理可知AD＝DB＝2.1，利用勾股定理求出OD即可解决问题．【解答】解：连接OA．∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝2.1米，在Rt△AOD中，OD＝＝＝2.8（米），∴CD＝OC+OD＝6.3（米）故答案为6.3．【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．8．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于26寸．【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD 的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．故答案为：26．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．9．（5分）如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是200mm．【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．【解答】解：∵⊙O的直径为1000mm，∴OA＝OA＝500mm．∵OD⊥AB，AB＝800mm，∴AC＝400mm，∴OC＝＝300mm，∴CD＝OD﹣OC＝500﹣300＝200（mm）．答：水的最大深度为200mm．故答案为：200．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键．10．（5分）王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB 为6m，则桥拱半径OC为5m．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式计算即可．【解答】解：连接OA，∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝3，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即OC2＝（9﹣OC）2+32，故答案为：5．【点评】本题考查的是勾股定理和垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．【解答】解：（1）连结OA，由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34；（2）连结OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，∴A′B′＝32．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．12．（10分）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC ∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为S MNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．【分析】（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．解直角三角形分别求出OG，OH即可解决问题；（2）设盒子的高为xcm．根据S MNPQ＝9，构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．∵EF∥BC，∴OH⊥EF，∴BG＝BC，EH＝EF∴GO＝＝2.4；OH＝＝2.08，∴h＝2.4+2.08+3.02＝7.5cm．（2）设盒子的高为xcm．由题意：（22﹣2x）•＝9解得x＝8或12.5（舍弃），∴MQ＝6，MN＝1.5∵2.6×2＝5.2＜6；1.3＜1.5；7.5＜8，∴能装入盒子．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，翻折变换，一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．13．（10分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面的宽CD．【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．【解答】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，∴OE＝0.8m，∵水管水面上升了0.2m，∴OF＝0.8﹣0.2＝0.6m，∴CF＝＝0.8m，∴CD＝1.6m．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．14．（10分）某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？【分析】如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O 于F，连接OF．求出FK的值与4.9比较即可判断．【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O于F，连接OF．易知四边形OHKN是矩形，四边形ABCD是矩形，OH＝KM＝4，AB＝CD＝10，OF＝OD＝5，在Rt△OHF中，FH＝＝＝3，∵HK＝BC＝2.5，∴FK＝2.5+3＝5.5，∵5.5＞4.9，∴这辆卡车能安全通过这个隧道．【点评】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（10分）在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．①若油面宽AB＝16dm，求油的最大深度．②在①的条件下，若油面宽变为CD＝30dm，求油的最大深度上升了多少dm？【分析】①作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，根据垂径定理求出AF的长，根据勾股定理求出OF，计算即可；②连接OC，根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出答案．【解答】解：①作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，∴AF＝AB＝8，由勾股定理得，OF＝＝15，则GF＝OG﹣OF＝2dm；②连接OC，∵OE⊥CD，∴CE＝EF＝15，OE＝＝8，则EF＝OG﹣OE﹣FG＝7dm，答：油的最大深度上升了7dm．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，平分弦垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．。

24.1.2 垂直于弦的直径一、课前预习 (5分钟训练)1.如图24-1-2-1，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-32.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O 的半径OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B 、C,那么弦BC 的长等于___________. 二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.2.如图24-1-2-2，在⊙O 中，直径MN 垂直于弦AB ，垂足为C ，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm.4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.图24-1-2-4三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223 D.233图24-1-2-5 图24-1-2-62.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-75. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-86.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.图24-1-2-97.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.4．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1思路解析：根据垂径定理可得.答案：OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.答案：43cm3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.答案：两个命题都错误.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形.答案:6二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.思路解析：根据圆的轴对称性回答.答案：直径所在的直线2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.图24-1-2-2 图24-1-2-3思路解析：由垂径定理回答.答案：OM=ON ，AC=BC 弧AM=弧BM3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm.思路解析：连结AO ，得Rt △AOC ，然后由勾股定理得出. 答案：134.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.图24-1-2-4思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦. 由OM ⊥AB 可得OM 平分AB ，即AM=21AB.连结半径OA 后可构造Rt △，利用勾股定理求解. 解：连结OA. ∵OM ⊥AB ，∴AM=21AB. ∵OA=21×10=5，OM =4，∴AM=22OM OA =3.∴AB=2AM=6(cm). 三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223 D.233图24-1-2-5 图24-1-2-6思路解析：连结AB 、BO ，由题意知：AB=AO=OB ，所以△AOB 为等边三角形.AO 垂直平分BC, 所以BC=2×233=33.答案：B2.如图24-1-2-6，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，则OD 的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm思路解析：因为AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，连结OA ，在Rt △ODA 中，由勾股定理得OD=3 cm. 答案：A3.⊙O 半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB ∥CD.求AB 与CD 之间的距离.思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.解：(1)当弦AB 与CD 在圆心O 的两侧时，如图(1)所示. 作OG ⊥AB ，垂足为G ，延长GO 交CD 于H ，连结OA 、OC. ∵AB ∥CD ，GH ⊥AB ， ∴GH ⊥CD.∵OG ⊥AB ，AB=12，∴AG=21AB=6. 同理,CH=21CD=8.∴Rt △AOG 中，OG=22AG OA -=8. Rt △COH 中，OH=22CH OC -=6. ∴GH=OG ＋OH=14.(2)当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时，如图(2)所示. GH=OG -OH=8-6=2.4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m ，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-7思路分析：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作B C ⊥AD 于点C.解直角三角形即可.解：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作BC ⊥AD 于点C.如图.在Rt △ABC 中，∵AB=3，∠CAB=60°， ∴AC=3×21=1.5（m ）. ∴CD=3+0.5-1.5=2（m ）. ∴BE=CD=2（m ）.答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2 m.5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-8思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便. 连结OC.设圆拱的半径为R 米，则OF=（R －22）（米）.∵OE ⊥CD ，∴CF=21CD=21×110=55（米）. 根据勾股定理，得OC 2=CF 2＋OF 2，即R 2=552＋（R －22）2.解这个方程，得R=79.75（米）.所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5（米）. 答案:159.56.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A 、B 、C.图24-1-2-9(1)用尺规作图法，找出弧BAC 所在圆的圆心O ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 为等腰三角形，底边BC=10 cm ，腰AB=6 cm ，求圆片的半径R ；(结果保留根号) (3)若在(2)题中的R 满足n ＜R ＜m(m 、n 为正整数)，试估算m 和n 的值.思路分析：（1）作AB 、AC 的中垂线即得圆片圆心O ；（2）已知BC 和AB 的长度，所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R ；（3）根据半径的值确定m 、n 的值. （1）作法：作AB 、AC 的垂直平分线，标出圆心O.（2）解:连结AO 交BC 于E ，再连结BO.∵AB=AC ，∴AB=AC.∴AE ⊥BC.∴BE=21BC=5. 在Rt △ABE 中，AE=22BE AB -=2536-=11.在Rt △OBE 中，R 2=52＋（R-11）2，解得R=1118（cm ）.（3）解:∵5＜39=1218＜1118＜918=6，∴5＜R ＜6.∵n ＜R ＜m ，∴m=6，n=5.7.⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 长的取值范围.思路分析：求出OP 长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP 看作是一个变量，在动态中确定OP 的最大值和最小值.事实上只需作OM ⊥AB ，求得OM 即可.解：如图，作OM ⊥AB 于M ，连结OB ，则BM=21AB=21×8=4. 在Rt △OMB 中，OM 22BM OB -=2245-=3.当P 与M 重合时，OP 为最短；当P 与A （或B ）重合时，OP 为最长.所以OP 的取值范围是3≤OP≤5.。

人教版九年级数学上册垂直于弦的直径导学练（附答案）一、单选题1.已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2.抛一个铁球，在泥地上砸了一个直径，深的坑，这个铁球的直径是（）A. B. C. D.3.如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.4.下列说法错误的是（）A. 直径是弦B. 最长的弦是直径C. 垂直弦的直径平分弦D. 任意三个点确定一个圆5.如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP:AP=1：5，则CD的长为（）A. B. C. D.二、填空题6.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，排水管内水的最大深度CD是0.8m，则水面宽AB 为________ m．7题7.如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为________．8.如图，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=________．9.如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，则EF为________．10题10.如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题11.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．12.如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，13.（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长。

专题24.6 垂直于弦的直径-垂径定理（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（ ）A ．3B ．CD 2．已知⊙O 的直径CD ＝100cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊙CD ，垂足为M ，且AB ＝96cm ，则AC 的长为（ ）A ．36cm 或64cmB ．60cm 或80cmC ．80cmD ．60cm3．如图，在半圆O 中，直径4AB =，C 是半圆上一点，将弧AC 沿弦AC 折叠交AB 于D ，点E 是弧AD 的中点．连接OE ，则OE 的最小值为（ ）A 1B ．4C 1D ．24．如图，在О中，点C 在弦AB 上移动，连接,OC 过点C 作CD OC ⊥交О于点D ．若2,AB =则CD 的最大值是（ ）A．4 B ．2 C D ．15．如图，一圆与y 轴相交于点B （0，1），C 两点，与x 轴相切于点A （3，0），则点C 的坐标是（ ）A ．（0，5）B ．（0，1C ．（0，9）D ．（0，132） 6．已知锐角AOB ∠，如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点M ，N ； （3）连接,,OM MN DN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的个数为的（ ）⊙COM COD ∠=∠；⊙若OM MN =．则20AOB ︒∠=；⊙MOD MND ∠=∠；⊙//MN CD ；⊙3MN CD =；A ．1个B ．2个C ．3D ．4个7．如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊙AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC =12，AE =3，则⊙O 的直径长为（ ）A ．10B ．13C ．15D ．168．如图，MN 为⊙O 的直径，A 、B 是⊙O 上的两点，过A 作AC⊙MN 于点C ，过B 作BD⊙MN 于点D ，P 为DC 上的任意一点，若MN ＝20，AC ＝8，BD ＝6，则PA+PB 的最小值是（ ）．A ．20B ．C ．14D ．9．⊙O 中，弦AB 所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB 的距离OC 为（ ）A ．12B ．1CD 10．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：()1将圆形纸片左右对折，折痕为AB ，如图()2．()2将圆形纸片上下折叠，使A 、B 两点重合，折痕CD 与AB 相交于M ，如图()3． ()3将圆形纸片沿EF 折叠，使B 、M 两点重合，折痕EF 与AB 相交于N ，如图()4． ()4连结AE 、AF 、BE 、BF ，如图()5．经过以上操作，小芳得到了以下结论：CD //EF ①；②四边形MEBF 是菱形；AEF ③为等边三角形；AEBF S 四边形④：BEMF S =扇形π．以上结论正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊙CD于E，连接CO，AD，⊙BAD＝20°，下列结论中正确的有（）⊙CE＝OE⊙⊙C＝50°⊙ ACD ＝ ADC ⊙AD＝2OEA．⊙⊙B．⊙⊙C．⊙⊙⊙D．⊙⊙⊙⊙二、填空题12．如图，已知A为半径为3的O上的一个定点，B为O上的一个动点（点B与A 不重合），连接AB，以AB为边作正三角形ABC．当点B运动时，点C也随之变化，则O、C两点之间的距离的最大值是______．13．如图，半圆O的直径AB＝4cm，AG BG，点C是BG上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊙OG于点D，CE⊙OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则⊙DEF面积的最大值为__________cm214．如图，扇形OAB中，⊙AOB＝60°，OA＝，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝_____．15．如图，在半径为3的O中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使BD AB=，连接AC、BC、CD，如果2AB=，那么CD等于______．16．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M 是弦CD的中点，过点C作CP⊙AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是__________________．17．如图，C为半圆弧AB的中点，P为弧BC上任意一点，CD CP⊥且与AP交于点D，连接BD．若2AB=，则BD的最小值为_________18．如图所示，在O 内有折线OABC ，其中8,30OA AB A B ==∠=∠=︒，则BC 的长为__________．19．如图，已知AB 是半圆O 的直径，6AB =，点C ，D 在半圆上，OC AB ⊥，2BD CD =，点P 是OC 上的一个动点，则BP DP +的最小值为_______．20．已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，半径OB ＝5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，则AB 的长为_____cm ．21．如图，AB 是O 的直径，四边形ABCD 内接于O ，若4cm BC CD DA ===，则O 的周长为_____________cm （结果保留π）．22．如图，半圆O 的半径为2，E 是半圆上的一点，将E 点对折到直径AB 上(EE′⊙AB)，当被折的圆弧与直径AB 至少有一个交点时，则折痕CD 的长度取值范围是_________________．23．如图，ABC ∆是O 的内接正三角形，点O 是圆心，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，若DA EB =，则DOE ∠的度数是____度．三、解答题24．如图，AB 是O 的直径，AD 平分BAC ∠，过点D 的切线交AC 的延长线于点E ． （1）求证：AE ED ⊥；（2）连接OC ，CD ，OD ，BD ．填空：⊙当BAC ∠的度数为 时，四边形OBDC 为菱形； ⊙若5AB =，3AC =，则CE = ．25．如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上(不与点A 、B 重合)的任一点，点C 、D 为⊙O 上的两点，若⊙APD ＝⊙BPC ，则称⊙CPD 为直径AB 的“回旋角”．(1)若⊙BPC ＝⊙DPC ＝60°，则⊙CPD 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由； (2)若CD 的长为134π，求“回旋角”⊙CPD 的度数； (3)若直径AB 的“回旋角”为120°，且⊙PCD 的周长为AP 的长．26．如图所示，O 的半径是2，直线l 与O 相交于A 、B 两点，M 、N 是O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若45AMB ∠=︒，求四边形MANB 面积的最大值.27．已知⊙O 的半径为2，⊙AOB=120°． （1）点O 到弦AB 的距离为 ；．（2）若点P 为优弧AB 上一动点（点P 不与A 、B 重合），设⊙ABP=α，将△ABP 沿BP 折叠，得到A 点的对称点为A′；⊙若⊙α=30°，试判断点A′与⊙O 的位置关系； ⊙若BA′与⊙O 相切于B 点，求BP 的长；⊙若线段BA′与优弧APB 只有一个公共点，直接写出α的取值范围．28．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． （1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在O 中，C 是劣弧AB 的中点，直线CD AB ⊥于点E ，则AE BE =．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA ，PB 组成O 的一条折弦．C 是劣弧AB 的中点，直线CD PA ⊥于点E ，则AE PE PB =+．可以通过延长DB 、AP 相交于点F ，再连接AD 证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，PA ，PB 组成O 的一条折弦，若C 是优弧AB 的中点，直线CD PA ⊥于点E ，则AE ，PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．参考答案1．D 【分析】由题意知90APC ∠=︒，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在Rt BCO ∆中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P 是BO 的中点，由线段长度即可得到PCO ∆是等边三角形，利用特殊Rt APC ∆三边关系即可求解．解：222PA PC AC +=∴90APC ∠=︒取AC 中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆 由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短AO PO CO ∴== 11322CO AC BC ==⨯==BO ∴=BP BO PO ∴=-=∴点P 是BO 的中点∴在Rt BCO ∆中，12CP BO PO === ∴PCO ∆是等边三角形∴60ACP ∠=︒∴在Rt APC ∆中，tan603AP CP =⨯︒=12APC S AP CP ∆∴=⨯==【点拨】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P 的运动轨迹，即隐形圆．2．B【分析】分两种情况讨论，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM 的长，连接OA ，由勾股定理求出OM 的长，进而可得出结论．解：连接AC ，AO ，⊙⊙O 的直径CD ＝100cm ，AB ⊙CD ，AB ＝96cm ，⊙AM ＝12AB ＝12×96＝48（cm ），OD ＝OC ＝50（cm ）， 如图1，⊙OA ＝50cm ，AM ＝48cm ，CD ⊙AB ，⊙OM14（cm），⊙CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），⊙AC80（cm）；如图2，同理可得，OM＝14cm，⊙OC＝50cm，⊙MC＝5014-＝36（cm），在Rt⊙AMC中，AC60（cm）；综上所述，AC的长为80cm或60cm，故选：B．【点拨】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据题意画出图形、利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．3．D【分析】把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，求出⊙F=90°，CE长，OE 的最小值为EC-OC．解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，⊙⊙FCA=⊙ACO，⊙OA=OC，⊙⊙ACO=⊙CAO，⊙⊙FCA=⊙CAO，⊙CF⊙AB，⊙E是弧AD的中点，⊙FE⊙AB，⊙⊙F=⊙BGE=90°，⊙FC=FE=2，⊙EC=⊙OE≥EC-OC即OE≥2，OE的最小值为2，故选：D．【点拨】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线,根据三角形三边关系确定OE的取值范围．4．D【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊙AB时，OC最小，再求出CD即可．解：连接OD，如图，⊙CD⊙OC，⊙⊙DCO=90∘，⊙CD=当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊙AB时，OC最小，此时D.B两点重合，⊙CD =CB =12AB =12×2=1． 即CD 的最大值为1．故答案为：D ．【点拨】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，求出点C 的位置是解题的关键．．5．C【分析】设圆心为M ，连接CM ，由圆M 与x 轴相切，得到M 的纵坐标等于半径也等于ON ，在MNC Rt △中，设BC=x 利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解，即可得到结果．解：过点M 作MN⊙y 轴，连接CM ，⊙圆M 与x 轴相切于点A （3，0），BC=x ，⊙MN=3，ON=1+2x ，MC=ON 在MNC Rt △中，由勾股定理得：222MN CN CM +=2223()(1)22x x +=+ 22x 9+144x x =++ x=8又⊙B （0，1），⊙点C 的坐标是（0，9）故答案为：C ．【点拨】本题考查了切线的性质、坐标与图形的性质、以及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．6．C【分析】由作图知CM CD DN==，OM=OC=OD，再利用对称的性质逐一判断可得．解：由作图知CM=CD=DN，⊙⊙COM=⊙COD，故⊙正确；⊙OM=ON=MN，⊙⊙OMN是等边三角形，⊙⊙MON=60°，⊙CM=CD=DN，⊙⊙MOA=⊙AOB=⊙BON=13⊙MON=20°，故⊙正确；⊙MD所对的圆心角是MOD∠，所对的圆周角是MND∠⊙2MOD MND∠=∠，故⊙不正确；⊙⊙MOA=⊙AOB=⊙BON，⊙⊙OCD=⊙OCM=1802COD︒-∠⊙⊙MCD=180°-⊙COD，又⊙CMN=12⊙AON=⊙COD，⊙⊙MCD+⊙CMN=180°，⊙MN⊙CD，故⊙正确；⊙MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，⊙3CD＞MN，故⊙错误；⊙⊙⊙正确故选C【点拨】本题考查作图-复杂作图，弧、圆心角和弦之间的关系，平行线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．C【分析】连接OF，根据DE⊙AB，AB为⊙O的直径，推出AD AF=，由D是弧AC的中点，推出AC DF=，得到AC=DF=12，求出EF=6，设OA=x，利用勾股定理求出x=7.5，即可得到答案.解：如图，连接OF，⊙DE⊙AB，AB为⊙O的直径，⊙AD AF=.⊙D是弧AC的中点，⊙AD CD=，⊙AC DF=，⊙AC=DF=12，⊙EF=6，设OA=x，⊙OF2=OE2+EF2，⊙x2=（x-3）2+62，解得：x=7.5，⊙⊙O的直径长为15，故选：C.【点拨】此题考查圆的垂径定理，弧、弦、圆心角定理，勾股定理，将求直径长转化为求半径长由此利用勾股定理解答是解题的关键.8．B【分析】连接OA 、OB ，根据AC⊙MN ，BD⊙MN ，经勾股定理计算得到OC 、OD ；延长BD 与⊙O 相交于点G ，推导得当点P 在直线AG 上时，PA GP +取最小值；过G 作GH⊙AC 于点H ，经证明四边形CDGH 是矩形，并经勾股定理计算即可得到AG 的值，即可完成求解．解：如图，连接OA 、OB⊙AC⊙MN ，BD⊙MN⊙222236OB BD OD OD =+=+，222264OA AC OC OC =+=+⊙MN ＝20，A 、B 是⊙O 上的两点 ⊙1102OA OB MN === ⊙210036OD =+，210064OC =+⊙8OD =，6OC =⊙14CD OD OC =+=延长BD 与⊙O 相交于点G⊙MN 为⊙O 的直径，BD⊙MN⊙BP GP =，6BD GD ==⊙PA PB PA GP +=+当点P 在直线AG 上时，PA GP +取最小值，且最小值AG =过G 作GH⊙AC 于点H又⊙AC⊙MN ，BD⊙MN⊙//CD GH ，//DG CH ，90DCH ∠=⊙四边形CDGH 是矩形⊙14GH CD ==，6CH DG ==⊙14=+=AH AC CH⊙AG==⊙PA+PB的最小值是：故选：B．【点拨】本题考查了勾股定理、圆的垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解．9．B【分析】根据弧的度数求得弧所对的圆心角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得⊙A的度数，从而根据直角三角形的性质进行求解．解：⊙弦AB所对的劣弧为120°，⊙⊙AOB=120°，⊙OA=OB，⊙⊙A=⊙B=30°，又OC⊙AB，⊙OC=1OA=1；2故选：B．【点拨】本题主要考查垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10．D【分析】根据折叠的性质可得⊙BMD=⊙BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD⊙EF，从而判定⊙正确；根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到⊙正确；根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出⊙MEN=30°，然后求出⊙EMN=60°，根据等边对等角求出⊙AEM=⊙EAM ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出⊙AEM=30°，从而得到⊙AEF=60°，同理求出⊙AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出⊙EAF=60°，从而判定⊙AEF 是等边三角形，⊙正确；设圆的半径为r ，求出EN=，则可得，即可得S 四边形AEBF ：S 扇形BEMF 的答案，所以⊙正确．解：⊙纸片上下折叠A 、B 两点重合，⊙⊙BMD=90°，⊙纸片沿EF 折叠，B 、M 两点重合，⊙⊙BNF=90°，⊙⊙BMD=⊙BNF=90°，⊙CD⊙EF ，故⊙正确；根据垂径定理，BM 垂直平分EF ，又⊙纸片沿EF 折叠，B 、M 两点重合，⊙BN=MN ， ⊙BM 、EF 互相垂直平分，⊙四边形MEBF 是菱形，故⊙正确；⊙ME=MB=2MN ，⊙⊙MEN=30°，⊙⊙EMN=90°-30°=60°，又⊙AM=ME （都是半径），⊙⊙AEM=⊙EAM ， ⊙⊙AEM=12⊙EMN=12×60°=30°， ⊙⊙AEF=⊙AEM+⊙MEN=30°+30°=60°，同理可求⊙AFE=60°， ⊙⊙EAF=60°，⊙⊙AEF 是等边三角形，故⊙正确；设圆的半径为r ，则， ，⊙S 四边形AEBF ：S 扇形BEMF =21120(2):(),2360r r ππ⨯= 故⊙正确，综上所述，结论正确的是⊙⊙⊙⊙共4个．故选：D．【点拨】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键．11．B【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．解：⊙AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊙CD于E，⊙CE＝DE，BC BD=，ACB ADB=，⊙⊙BOC＝2⊙A＝40°，ACB BD ADB BC+=+，即ACD ADC=，故⊙正确；⊙⊙OEC＝90°，⊙BOC＝40°，⊙⊙C＝50°，故⊙正确；⊙⊙C≠⊙BOC，⊙CE≠OE，故⊙错误；作OP⊙CD，交AD于P，⊙AB⊙CD，⊙AE＜AD，⊙AOP＝90°，⊙OA＜P A，OE＜PD，⊙P A+PD＞OA+OE⊙OE＜OA，⊙AD＞2OE，故⊙错误；故选：B．【点拨】此题考查圆的垂径定理，圆心角、弧、弦的定理，直角三角形两锐角互余及边的关系，平行线的性质.12．6【分析】连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．证明△BAO⊙⊙CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得结论．解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．⊙OA=ON，OA=AN，⊙AO=ON=AN，⊙⊙OAN是等边三角形，⊙⊙OAN=60°，⊙⊙ABC是等边三角形，⊙AB=AC，⊙BAC=60°，⊙⊙BAC=⊙OAN=60°，⊙⊙BAO=⊙CAN，⊙⊙BAO⊙⊙CAN（SAS），⊙OB=CN=3，⊙OC≤ON+CN=6，⊙OC 的最大值为6，故答案为：6．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的解题关键．13．2【分析】连接OC ，设OD ＝x ，OE ＝OF ＝y ．根据S △DEF ＝12×EF ×OD ＝12×2y ×x ＝xy ，当xy 的值最大时，⊙DEF 的面积最大；根据矩形的性质，通过判定四边形ODCE 是矩形，得12cm 2DE OC AB ===；根据勾股定理、完全平方公式的性质分析，可得结论． 解：连接OC ，设OD ＝x ，OE ＝OF ＝y ．⊙AG BG =⊙OG ⊙AB ，⊙S △DEF ＝12×EF ×OD ＝12×2y ×x ＝xy ，⊙xy 的值最大时，⊙DEF 的面积最大，⊙CD ⊙OG 于点D ，CE ⊙OB 于点E ，⊙⊙CEO ＝⊙CDO ＝⊙DOE ＝90°，⊙四边形ODCE 是矩形， ⊙12cm 2DE OC AB === ⊙x 2+y 2＝22，即x 2+y 2＝4，⊙（x ﹣y ）2≥0，⊙x 2+y 2≥2xy ，⊙2xy ≤4，⊙xy ≤2，⊙xy 的最大值为2，⊙⊙DEF 的面积的最大值为2 cm 2故答案为：2．【点拨】本题考查了圆、勾股定理、中心对称、矩形、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理、完全平方公式的性质，从而完成求解．14．4【分析】过E 点作EH OA ⊥于H ，过E '点作E OA '⊥于F ，连接OE ，如图，设OF x =，利用60AOB ∠=︒得到2OE x '=，E F '，再利用点E 为弧AB 的中点得到30AOE ∠=︒，所以142EH OE ==，6OH =+CEH ∆≅⊙E CF '，则CH E F ='，4CF EH ==，则可列方程46x +=+然后解方程求出x ，从而得到OE '的长．解：过E 点作EH OA ⊥于H ，过E '点作E OA '⊥于F ，连接OE ，如图，设OF x =，60AOB ∠=︒，22OE OF x ∴'==，E F '，点E 为弧AB 的中点，1302AOE BOE AOB ∴∠=∠=∠=︒， 118)422EH OE ∴===，6OH ==+线段CE 绕点C 逆时针旋转90︒得到线段CE '，CE CE ∴='，90ECE ∠'=︒，90ECH CEH ∠+∠=︒，90ECH E CF ∠+∠'=︒，CEH E CF ∴∠=∠'，在CEH ∆和⊙E CF '中CHE FE C CEH E CF CE CE ∠=∠'⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩， CEH ∴∆≅⊙()E CF AAS '，CH E F ∴='，4CF EH ==，OH OF FC CH =++，46x ∴+=+2x =，24OE x ∴'==．故答案为4．【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、旋转的性质，解题的关键是在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15．43【分析】如图，连OA ，OB ．利用垂径定理和勾股定理求BE ，利用中位线定理求CD ．解：如图，连OA ，OB ，∵B 是弧AC 的中点，AB ＝BC ＝BD ，∴△ACD 是直角三角形，∠ACD ＝90°，由垂径定理知，OB ⊥AC ，点E 是AC 的中点，设BE x =,则3OE x ,由勾股定理知，222OA AE OE +＝，222AE BE AB +＝ ，∴22=OA OE -22AB BE -,∵AB ＝2，AO ＝BO =3，∴()2233x --222x =-, 解得，23x = ，即23 BE=∵∠AEB＝∠ACD＝90°，∴BE∥CD，∵点B是AD的中点，所以BE是△ACD的中位线，所以CD＝2BE＝43．故答案为：4 3【点拨】本题利用了垂径定理，勾股定理求解16．5 02PM≤≤【分析】延长CP交⊙O于N，连接DN，易证PM＝12DN，所以当DN为直径时，PM的值最大，当DN＝AC时，PM最小，即可求得PM的取值.解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN．⊙AB⊙CN，⊙CP＝PN，⊙CM＝DM，⊙PM＝12DN，⊙当DN为直径时，PM的值最大，最大值为52，当DN＝NC时，PM最小，最小值为0，⊙PM的范围是0≤PM≤52．故答案为：5 02PM≤≤【点拨】本题考查的是圆的综合题，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题.171【分析】设半圆弧AB 所在圆的圆心为O ，连接OC ，分别过点,A C 作,AB OC 的垂线，两垂线交于点E ，延长CE 至点F ，使得CE EF =，连接,,AF BE DE ，先根据正方形的判定与性质可得1,90AE CE OA BAE ===∠=︒，从而可得BE =1452APC AOC ∠=∠=︒，从而可得135ADC ∠=︒，然后判断出点,,,A D C F 四点共圆，且所在圆的圆心为点E ，由此可得1DE =，最后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短求出最小值即可得．解：如图，设半圆弧AB 所在圆的圆心为O ，连接OC ，分别过点,A C 作,AB OC 的垂线，两垂线交于点E ，延长CE 至点F ，使得CE EF =，连接,,AF BE DE ，C 为半圆弧AB 的中点，90AOC ∴∠=︒， 又112OA OC AB ===， ∴四边形OAEC 是正方形，1,90AE CE OA BAE ∴===∠=︒，在Rt ABE △中，BECE EF =，AE EF ∴=，Rt AEF ∴是等腰直角三角形，45F ∠=︒， 由圆周角定理得：1452APC AOC ∠=∠=︒， CD CP ⊥，即90DCP ∠=︒，135ADC DCP APC ∴∠=∠+∠=︒，13545180ADC F ∴∠+∠=︒+︒=︒，又AE CE EF ==，∴点,,,A D C F 四点共圆，且所在圆的圆心为点E ，1DE AE ∴==，由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短得：DE BD BE +≥，即BD BE DE ≥-，当且仅当点,,B D E 共线时，等号成立，则BD 的最小值为1BE DE -，1．【点拨】本题考查了正方形的判定与性质、圆周角定理、圆心角定理等知识点，通过作辅助线，构造出点,,,A D C F 四点共圆是解题关键．18．28【分析】过点O 分别作OD ⊙AB ，OE ⊙BC ，垂足分别为点D 、E ，延长DO 交BC 于点H ，连接OB ，然后根据含30°角的直角三角形的性质可求OD 的长，进而可得BD ，然后利用勾股定理及垂径定理可求解问题．解：过点O 分别作OD ⊙AB ，OE ⊙BC ，垂足分别为点D 、E ，延长DO 交BC 于点H ，如图所示：⊙BE =CE ，⊙8,30OA AB A B ==∠=∠=︒， ⊙142OD OA ==，⊙AD ⊙BD =⊙30A B ==︒∠∠，⊙2,BH OH BD ==，60DHB ∠=︒，⊙8DH==，16BH=，⊙OH=4，⊙⊙HDB=90°，⊙⊙HOE=30°，⊙2HE=，⊙14BE=，⊙28BC=；故答案为28．【点拨】本题主要考查垂径定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．19．【分析】如图，连接AD，P A，OD．先证明P A＝PB，再根据PD+PB＝PD+P A≥AD，求出AD即可解决问题．解：如图，连接AD，P A，OD．⊙OC⊙AB，OA＝OB，⊙P A＝PB，⊙COB＝90°，⊙BD=2CD，⊙⊙DOB23=⨯90°＝60°，⊙OD＝OB，⊙⊙OBD是等边三角形，⊙⊙ABD＝60°⊙AB是直径，⊙⊙ADB＝90°，⊙AD＝AB•cos⊙ABD＝⊙PB+PD＝P A+PD≥AD，⊙PD+PB⊙PD+PB的最小值为故答案为：【点拨】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角函数等知识，根据OC为AB的垂直平分线得到AD为BP DP+的最小值是解题的关键．20．【分析】根据A点所在的位置分类讨论：⊙若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，连接AO并延长交BC于点D，利用A、O都在BC中垂线上可得AO垂直平分BC，再利用勾股定理求出BD，从而求出AB；⊙若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC于点D，原理同上．解：⊙若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，如图，连接AO并延长交BC于点D，连接OB，⊙AB=AC⊙点A在BC的中垂线上⊙圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线⊙AO垂直平分BC⊙⊙O的半径为5cm ,点O到BC的距离为3cm⊙OA=OB=5，OD=3⊙AD=8根据勾股定理：4BD=⊙再根据勾股定理：AB=⊙若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC于点D，连接OB，⊙AB=AC⊙点A在BC的中垂线上⊙圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线⊙AO垂直平分BC⊙⊙O的半径为6cm ,点O到BC的距离为2cm⊙OA=OB=5，OD=3⊙AD=2根据勾股定理：4BD=⊙再根据勾股定理：AB=综上所述：AB=AB=【点拨】此题考查的是垂径定理的应用，勾股定理，利用等腰三角形的顶点在圆上的不同位置分类讨论是解决此题的关键．21．8π【分析】连接OD、OC，求出⊙AOD=⊙COD=⊙BOC=60，证得⊙AOD、⊙COD、⊙BOC都是等边三角形，得到OA=OB=BC=4cm，利用圆的周长公式求出答案.解：如图，连接OD、OC，⊙4cm===，AB是O的直径，BC CD DA⊙⊙AOD=⊙COD=⊙BOC=60,⊙OA=OD=OC=OB，⊙⊙AOD、⊙COD、⊙BOC都是等边三角形，⊙OA=OB=BC=4cm ，⊙O 的周长=24π⨯=8π（cm ），故答案为：8π.【点拨】此题考查了弧、弦、圆心角定理：等弦所对的圆心角相等，等边三角形的判定定理及性质定理，圆的周长计算公式.22．4CD <【分析】先找出折痕CD 取最大值和最小值时，点E 的位置，再利用折叠的性质、垂径定理、勾股定理求解即可得．解：由题意，有以下两个临界位置：（1）如图，当被折的圆弧与直径AB 相切时，折痕CD 的长度最短，此时点E '与圆心O 重合，连接OD ， 由折叠的性质得：11,2OF EF OE OE CD ===⊥， 2OD =，∴在Rt DOF △中，DF =由垂径定理得：2CD DF ==；（2）当CD 和直径AB 重合时，折痕CD 的长度最长，此时4CD AB ==， 又要使被折的圆弧与直径AB 至少有一个交点，4CD ∴<；综上，折痕CD的长度取值范围是4≤<，CD故答案为：4≤<．CD【点拨】本题考查了折叠的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，正确找出两个临界位置是解题关键．23．120【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．解：连接OA，OB，作OH⊙AC，OM⊙AB，如下图所示：因为等边三角形ABC，OH⊙AC，OM⊙AB，由垂径定理得：AH=AM，又因为OA=OA，故⊙OAH≅⊙OAM（HL）．⊙⊙OAH=⊙OAM．又⊙OA=OB,AD=EB,⊙⊙OAB=⊙OBA=⊙OAD,⊙⊙ODA≅⊙OEB（SAS）,⊙⊙DOA=⊙EOB,⊙⊙DOE=⊙DOA+⊙AOE=⊙AOE+⊙EOB=⊙AOB．又⊙⊙C=60°以及同弧AB，⊙⊙AOB=⊙DOE=120°．故本题答案为：120．【点拨】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握．24．（1）见分析；（2）⊙60°；⊙1【分析】（1）连接OD，则OD⊙ED，由OA=OD，得⊙OAD=⊙ODA，根据AD平分⊙BAC，可推得OD⊙AE，从而可得结论；（2）⊙当四边形OBDC为菱形时，则OB=BD，又OB=OD，则得⊙OBD是等边三角形，从而易得⊙BAC=60°；⊙ 连接BC交OD于点F，则可知⊙ACB=90°，且由勾股定理可计算得BC=4；由AD平分⊙BAC可得BD=CD，再由OB=OC，得OD垂直平分线段BC，从而得F点为BC的中点，得CF=2；易得四边形CFDE为矩形，故可得DE=CF，且⊙CDE=⊙DCB，再由AD为角平分线，可得⊙CDE=⊙EAD，从而可得⊙DCE⊙⊙ADE，有对应边成比例，设AE=x，则可得关于x的方程，解方程即可求得结果．解：（1）连接OD．ED是O的切线，∴⊥．OD EDAD平分BAC∠，∴∠=∠．EAD BADOA OD=，∴，∠=∠OAD ODA∴∠=∠，ODA EAD∴，OD AE//∴⊥．AE ED（2）⊙四边形OBDC是菱形，OB BD∴=，BD⊙OC，⊙OB=ODOB OD BD∴==，OBD∴△是等边三角形．⊙⊙B=60°，⊙BD⊙OC，⊙⊙AOC=⊙B=60°，⊙OA=OC，⊙⊙OAC是等边三角形，⊙⊙BAC=60°，故答案为：60︒．⊙如图，连接BC交OD于F．⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙AB=5，AC=3，⊙由勾股定理得：4BC=．⊙AD平分⊙BAC，⊙BD CD=，⊙BD=CD，⊙OB=OC，⊙OD垂直平分线段BC，⊙CF=122BC=，⊙⊙E=⊙ODE=⊙ECF=90°,⊙四边形ECFD是矩形，⊙DE=CF=2，DE⊙BC，⊙⊙CDE=⊙DCB，⊙⊙DCB=⊙BAD，⊙EAD=⊙BAD，⊙⊙CDE=⊙EAD，⊙⊙DCE⊙⊙ADE，⊙DE CE AE DE=，即2DE CE AE=，设CE=x，则AE=AC+CE=3+x．⊙x(3+x)=4，解方程得：x=1，或x=-4（舍去），⊙CE=1．故答案为：1．【点拨】本题综合考查了圆的性质、三角形相似的判定和性质、菱形的性质；（2）中⊙的关键是得到OD垂直平分BC，从而得出四边形CFDE是矩形．25．(1)⊙CPD是直径AB的“回旋角”，理由见分析；(2)“回旋角”⊙CPD的度数为45°；(3)满足条件的AP的长为3或23．【分析】（1）由⊙CPD、⊙BPC得到⊙APD，得到⊙BPC＝⊙APD，所以⊙CPD是直径AB的“回旋角”；（2）利用CD弧长公式求出⊙COD＝45°，作CE⊙AB交⊙O于E，连接PE，利用⊙CPD 为直径AB的“回旋角”，得到⊙APD＝⊙BPC，⊙OPE＝⊙APD，得到⊙OPE+⊙CPD+⊙BPC＝180°，即点D，P，E三点共线，⊙CED＝12⊙COD＝22.5°，得到⊙OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，则⊙APD＝⊙BPC＝67.5°，所以⊙CPD＝45°；（3）分出情况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理（2）的方法得到点D，P，F在同一条直线上，得到△PCF是等边三角形，连接OC，OD，过点O作OG⊙CD于G，利用sin⊙DOG，求得CD，利用周长求得DF，过O作OH⊙DF于H，利用勾股定理求得OP，进而得到AP；在OB上时，同理OA计算方法即可解：⊙CPD是直径AB的“回旋角”，理由：⊙⊙CPD＝⊙BPC＝60°，⊙⊙APD＝180°﹣⊙CPD﹣⊙BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，⊙⊙BPC＝⊙APD，⊙⊙CPD是直径AB的“回旋角”；(2)如图1，⊙AB＝26，⊙OC＝OD＝OA＝13，设⊙COD＝n°，⊙CD的长为134π，⊙1313 1804 nππ=⊙n＝45，⊙⊙COD＝45°，作CE⊙AB交⊙O于E，连接PE，⊙⊙BPC＝⊙OPE，⊙⊙CPD为直径AB的“回旋角”，⊙⊙APD＝⊙BPC，⊙⊙OPE＝⊙APD，⊙⊙APD+⊙CPD+⊙BPC＝180°，⊙⊙OPE+⊙CPD+⊙BPC＝180°，⊙点D，P，E三点共线，⊙⊙CED＝12⊙COD＝22.5°，⊙⊙OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，⊙⊙APD＝⊙BPC＝67.5°，⊙⊙CPD＝45°，即：“回旋角”⊙CPD的度数为45°，(3)⊙当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊙AB交⊙O于F，连接PF，⊙PF＝PC，同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，⊙直径AB的“回旋角”为120°，⊙⊙APD＝⊙BPC＝30°，⊙⊙CPF＝60°，⊙⊙PCF是等边三角形，⊙⊙CFD＝60°，连接OC，OD，⊙⊙COD＝120°，过点O作OG⊙CD于G，⊙CD＝2DG，⊙DOG＝12⊙COD＝60°，⊙DG＝ODsin⊙DOG＝13×sin60°＝1332√⊙CD＝133√，⊙⊙PCD的周长为24+133√，⊙PD+PC＝24，⊙PC＝PF，⊙PD+PF＝DF＝24，过O作OH⊙DF于H，⊙DH＝12DF＝12，在Rt△OHD中，OH5在Rt△OHP中，⊙OPH＝30°，⊙OP＝10，⊙AP＝OA﹣OP＝3；⊙当点P在半径OB上时，同⊙的方法得，BP＝3，⊙AP＝AB﹣BP＝23，即：满足条件的AP的长为3或23．【点拨】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P 点的分类讨论26．四边形MANB 面积最大，为【分析】过点O 作OC⊙AB 于C ，交⊙O 于D 、E 两点，连结OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，根据圆周角定理得⊙AOB=2⊙AMB=90°，则△OAB 为等腰直角三角形，所以，由于S 四边形MANB =S △MAB +S △NAB ，而当M 点到AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，所以四边形MANB 面积的最大值=S 四边形DAEB =S △DAB +S △EAB =12AB•CD+12AB•CE=12AB（CD+CE ）=12AB•DE=12．解：过点O 作OC⊙AB 于C ，交⊙O 于D 、E 两点，连结OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，如图，⊙⊙AMB=45°，⊙⊙AOB=2⊙AMB=90°，⊙⊙OAB 为等腰直角三角形，⊙S 四边形MANB =S △MAB +S △NAB ，⊙当M 点到AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，此时四边形MANB 面积的最大值=S 四边形DAEB =S △DAB +S △EAB =12AB•CD+12AB•CE=12AB （CD+CE ）=12AB•DE=12．故答案为【点拨】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．27．（1）1；（2）⊙点A′在⊙O 上；⊙⊙0°＜α＜30°或60°≤α＜120°【分析】（1）如图，作辅助线；证明⊙AOC=60°，得到OC=1．（2）⊙证明⊙PAB=90°，得到PB 是⊙O 的直径；证明⊙PA′B=90°，即可解决问题． ⊙证明⊙A′BP=⊙ABP=60°；借助⊙APB=60°，得到△PAB 为正三角形，求出AB 的长即可解决问题．⊙直接写出α的取值范围即可解决问题．解：解：（1）如图，过点O 作OC⊙AB 于点C ；⊙OA=OB ，则⊙AOC=⊙BOC=12×120°=60°，⊙OA=2，⊙OC=1．故答案为1．（2）⊙⊙⊙AOB=120°⊙⊙APB=12⊙AOB=60°， ⊙⊙PBA=30°，⊙⊙PAB=90°，⊙PB 是⊙O 的直径，由翻折可知：⊙PA′B=90°，⊙点A′在⊙O 上．⊙由翻折可知⊙A′BP=⊙ABP ，⊙BA′与⊙O 相切，⊙⊙OBA′=90°，⊙⊙ABA′=120°，⊙⊙A′BP=⊙ABP=60°；⊙⊙APB=60°，⊙△PAB 为正三角形，⊙BP=AB ；⊙OC⊙AB ，⊙AC=BC ；而OA=2，OC=1， ⊙AC=3，⊙α的取值范围为0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．【点拨】该题主要考查了翻折变换、垂径定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换、垂径定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．28．（1）见分析；（2）见分析；（3）AE PE PB =-，理由见分析【分析】（1）连接AD ，BD ，易证ADB ∆为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得AE BE =．（2）根据圆内接四边形的性质，先CDA CDF ∠=∠，再证AFD ∆为等腰三角形，进一步证得PB PF =，从而证得结论．（3）根据ADE FDE ∠=∠，从而证明DAE DFE ∆≅∆，得出AE EF =，然后判断出PB PF =，进而求得AE PE PB =-．解：证明：（1）如图1，连接AD ，BD ，C是劣弧AB的中点，∴∠=∠，CDA CDB∵⊥，DE AB∴∠=∠=︒，AED DEB90∠+∠=︒，B CDB∴∠+∠=︒，9090A ADE∴∠=∠，A BADB∴∆为等腰三角形，⊥，CD AB∴=；AE BE（2）如图2，延长DB、AP相交于点F，再连接AD，ADBP是圆内接四边形，∴∠=∠，PBF PADC是劣弧AB的中点，∴∠=∠，CDA CDF。

人教版九年级上册数学24.1.2 垂直于弦的直径同步训练一、单选题1．如图，在⊙O 中，半径OC ⊙AB 于点E ，AE =2，则下列结论正确的是（ ）A ．2OE =B ．2EC = C ．AB 垂直平分OCD ．OC 垂直平分AB2．⊙O 的半径为5，M 是圆外一点，MO ＝6，⊙OMA ＝30°，则弦AB 的长为（ ）A ．4B ．6C ．D ．8 3．如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，6AB =，则O 的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．无法确定 4．如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，连接BC 、BD ，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AE BE =B ．AD BD =C ．OE DE =D ．AC BC = 5．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点M ，2AM =，8BM =，则CD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．16 6．如图，半圆的直径4AB =，O 为圆心，F 为OE 的中点，OF AB ⊥，//CD AB 交OE 于点F ，则弦CD 的长为（ ）A ．B C D ．7．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，//DB OC ，O 的半径为6，则弦CD 的长为（ ）A ．6B ．C ．3D ．8．已知：如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，1,5,30BE AE AEC ==∠=︒，则CD 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．4二、填空题 9．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，若10AB =，6CD =，则BE 的长为______．10．已知O 的半径为10cm ，弦//AB CD ，且12cm 16cm AB CD ==，，则弦AB 和CD 之间的距离为_______．11．如图，⊙O 的直径CD ＝20，AB 是⊙O 的弦，且AB⊙CD ，垂足为M ，若CM ＝4，则AB 的长为_____．12．如图，圆内一条弦CD 与直径AB 相交成30°角，且分直径成1cm 和5cm 两部分，则这条弦的弦心距是_____．13．已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，半径OB ＝5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，则AB 的长为_____cm ．14．已知O 的半径为2，弦BC =A 是O 上一点，且AB AC =，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为________．15．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，1）、B （0，﹣1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴于点C 、D ，则CD 的长是____．16．已知O 的半径为5，弦6AB =，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的最小值为_____．三、解答题17．如图，CD 是O 的弦，根据下列条件填空：（1）如果AB 是O 的直径，且AB CD ⊥于点E ，那么有________，________，________；（2）如果AB 是O 的直径，且CE DE =，那么有________，________，________； （3）如果AB CD ⊥，且CE DE =，那么有________，________，________．18．如图，AB ，CD 是O 的两条弦，AB CD ⊥，垂足为点M ，4AM =，6BM =，3CM =，8DM =，求O 的半径．19．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半径．20．如图．O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，225,4A OC ∠=︒=.，求CD 的长．答案第1页，共1页 参考答案：1．D2．D3．C4．C5．C6．A7．D8．A9．110．14cm 或2cm 11．1612．1cm13．14．1或3 15．16．417．（1）CE DE = BC BD = AC AD =；（2）AB CD ⊥ BC BD = AC AD =；（3）AB 是O 的直径 BC BD = AC AD = 18．O19．⊙O 的半径为6.5米 20．。

垂直于弦的直径（必做）
1. 如图，O O 直径AB 和弦CD 相交于点 E , AE=2 EB=6,/ DEB=30，求弦CD 长.
2、如图，O O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）
A 、4
B 、6
C 、7
D 、8
3、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为
水面到管道顶部距离为 10cm,则修理人员应准备 ______________ cm 内径的管道（内径指内部直径）
4、如图，在O O 中，弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm.求：O O 的半径.
60cm, D
5、如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（
A、4 3cm 、2 3cm 、 3 cm 、2cm
分层作业：（选做：从下列两题中任选一题完成）
1.一条公路的转变处是一段圆弧弧CD,点0是弧CD的圆心，其中CD=600m,E为弧CD上的一点，且OE丄CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
2•赵州桥主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ,
问：你能求岀赵州桥主桥拱的半径吗？现有一艘宽16米，船舱顶部为长方形并高岀水面 5.9米的船要
经过这里，此船能顺利通过赵州桥吗?。

专题24.4 圆的对称性-垂径定理（基础篇）（专项练习）一、单选题1．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=16，OE=6，则⊙O的直径为（ ）A．8B．10C．16D．202．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（ ）A．B．6C．D．3．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（）A．2B．4C．6D．84．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．»»AC BC =D ．»»AD BD=5．如图，点A ，B ，C ，D 在圆上，弦AB 和CD 交于点E ，则下列说法正确的是（ ）A ．若CD 平分AB ，则CD AB ^B ．若CD AB ^，则CD 平分ABC ．若CD 垂直平分AB ，则圆心在CD 上D ．若圆心在CD 上，则CD 垂直平分AB 6．如图，CD 是O e 的直径，弦AB CD ^于点E ，连接BC 、BD ，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AE BE =B ．»»AD BD =C ．OE DE =D ．»»AC BC=7．下列命题中假命题是（ ）A ．平分弦的半径垂直于弦B ．垂直平分弦的直线必经过圆心C ．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D ．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦8．如图，在⊙O 中，半径OC ⊥AB 于点E ，AE =2，则下列结论正确的是（ ）EC=A．2OE=B．2C．AB垂直平分OC D．OC垂直平分AB9．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（ ）A．1B．2C．3D．410．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA C为»AB中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形11．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)，则以A、B、C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（）A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(1,3)D ．(3,1)12．我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? "意思是： 如图，CD 是⊙O 的直径， 弦 AB ⊥CD 于P ，CP =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长是 （ ）寸A ．20B ．23C ．26D ．30二、填空题13．圆的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则AB =_______cm ．14．如图，OE ⊥AB 于E ，若⊙O 的半径为10，OE ＝6，则AB ＝_______．15．如图，O e 的半径为4，AB ，CD 是O e 的弦，且//AB CD ，4AB =，CD =则AB 和CD 之间的距离为______．16．某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与DC的距离EF为4米，且弧DC所在圆的半径为10米，则路面AB的宽度为_____米．17．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，AD=，则AB=________cm．Ð的度数为18．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心O到弦AB的距离为2，则AOC______．19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是_________．20．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．21．在进行垂径定理的证明教学中，老师设计了如下活动：先让同学们在圆中作了一条直径MN，然后任意作了一条弦（非直径）．如图1，接下来老师提出问题：在保证弦AB长度不变的情况下，如何能找到它的中点？在同学们思考作图验证后，小华说了自己的一种想法：只要将弦AB与直径MN保持垂直关系，如图2，它们的交点就是弦AB的中点，请你说出小华此想法的依据是__．22．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．23．如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是______cm．24．已知O e 的半径为2，弦BC =，A 是O e 上一点，且»»AB AC =，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为________．三、解答题25．如图，在⊙O 中，直径AB =10，弦AC =8，连接BC ．(1)尺规作图：作半径OD 交AC 于E ，使得点E 为AC 中点；(2)连接AD ，求三角形OAD 的面积．26．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（1ED =寸），锯道长1尺（AB =1尺=10寸）．问这块圆形木材的直径（AC ）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．27．已知：如图，在O e 中，AB AC 、为互相垂直的两条弦，,OD AB OE AC ^^，D 、E 为垂足．(1)若AB AC =，求证：四边形ADOE 为正方形．(2)若AB AC >，判断OD 与OE 的大小关系，并证明你的结论．28．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ^于点F ，OE AC ^于点E ，若3OE =，OB=，求OF的长．5参考答案1．D【分析】连接OC ，由垂径定理可知，点E 为CD 的中点，且OE ⊥CD ，在Rt △OEC 中，根据勾股定理，即可得出OC ，从而得出直径．解：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E∴CE=12CD=8，∵OE=6．在Rt △OEC 中，由勾股定理得：OC 2=OE 2+EC 2，即OC 2=62+82解得：OC=10∴直径AB=2OC=20．故选D ．【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握定理是解答关键.2．C【分析】连接OC ，求出∠COB =45°，根据垂径定理求出CD =2CE ，根据勾股定理求出CE 即可．解：连接OC ，则OC =12AB =12×12=6， ∵OA =OC ，∠CAB =22.5°，∴∠CAB =∠ACO =22.5°，∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，∵AB⊥CD，AB为直径，∴CD=2CE，∠CEO=90°，∴∠OCE=∠COB=45°，∴OE=CE，∵CE2+OE2=OC2，∴2CE2=62，解得：CE，即CD=2CE，故选：C．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，垂径定理等知识点，能求出CE=OE是解此题的关键．3．B【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，∵AB⊥CD，∴AM=BM=12AB=8，在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，∴MD=CD-CM=20-16=4．故选：B．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．4．B【分析】根据垂径定理即可判断．解：CD Q 是O e 的直径，弦AB CD ^于点E ，AE EB \=，»»AC BC =， »»AD BD=．故选：B ．【点拨】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．5．C【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．解：A 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；B 、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；C 、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；D 、AB 若也是直径，则原说法不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．6．C【分析】根据垂径定理判断即可；解：∵直径CD 垂直于弦AB 于点E ，则由垂径定理可得，AE BE =，»»AD BD=，»»AC BC=，故选项A ，B ，D 正确；OE DE =无法得出，故C 错误．故选C ．【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．7．A【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．解：A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．故选：A．【点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．8．D【分析】由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．解：连接OA，条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意；∵OC⊥AB于点E，∴OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意；选项C不符合题意，故选：D．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9．C【分析】根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得OC的长解：OA OBQ点C是AB的中点，=Q ⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，1,42OC AB AC BC AB \^===在Rt AOC △中3OC ==故选C【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．10．C【分析】根据弦AB 的长是半径OA C 为»AB 的中点，判定出四边形OACB 是平行四边形，再由AB OC ^，即可判定四边形OACB 是菱形.解：∵弦AB 的长是半径OA C 为»AB 的中点，OC 为半径，∴12AP AB AO AB OC ==^，，∴1122OP OA OC ===，∴12PC OC =，即OP PC =，∴四边形OACB 是平行四边形，又∵AB OC ^，∴四边形OACB 是菱形.【点拨】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定，以及垂径定理的推论，读懂题意是解题的关键．11．A【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．解：如图，作弦AB 、AC 的垂直平分线，∵点A 、B 、C 的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)，所以弦514AB =-=，弦404AC =-=，∴弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点(30)，，弦AC 的垂直平分线与y 轴相交于点(0)2，，∴两条垂直平分线的交点1O即为三角形外接圆的圆心，且1O点的坐标是(3,2)．故选：A．【点拨】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心，熟知垂径定理是解题的关键．12．C【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DP垂直AB得到点P为AB的中点，由AB=6可求出AP的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OP，根据勾股定理建立关于x 的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB=10寸，∴AP=BP=5寸，设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，∵CP=1，∴OP=x-1，在直角三角形AOP中，根据勾股定理得：x2-（x-1）2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25，即2x=26，∴CD =26（寸）．故选：C ．【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．13．6【分析】根据题意，画出图形，利用垂径定理，可得2AB AC = ，然后利用勾股定理求出3AC cm =，即可求解．解：根据题意画出如下图形，半径5OA cm = ，OC AB ^ ，则4OC cm = ，∵半径5OA cm = ，OC AB ^ ，∴2AB AC = ，在Rt AOC △ 中，由勾股定理得：3A C cm === ，∴26A B A C cm == ．故答案为：6 ．【点拨】本意主要考查了垂径定理，勾股定理，利用垂径定理，得到2AB AC =是解题的关键．14．16【分析】连接OA ，由垂径定理可得2AB AE =，在Rt AOE D 中利用勾股定理即可求得AE 的长，进而求得AB ．解：连接OA ，∵OE ⊥AB 于E ，∴2AB AE =，在Rt AOE D 中，10OA =，OE ＝6，∴8AE ==，∴216AB AE ==，故答案为：16【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．15．±【分析】作OE AB ^于E ，交CD 于F ，连结OA ，OC ，根据平行线的性质等到OF CD ^，再利用垂径定理得到1122AE AB CF CD ==，，再由勾股定理解得OE ，OF 的长，继而分类讨论解题即可．解：作OE AB ^于E ，交CD 于F ，连结OA ，OC ，如图，//AB CDQ OF CD\^11222AE BE AB CF DF CD \======，在Rt OAE △中，42OA AE ==Q ，\==OEV中，在Rt OCFQ，C F4OC==\==OF当圆心O在AB与CD之间时，=+=EF OF OE当圆心O不在AB与CD之间时，=-=-EF OF OE即AB和CD之间的距离为故答案为：【点拨】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．16【分析】先根据勾股定理CF8=米，根据垂径定理求出DF=CF=8米，然后根据四边形ABCD为矩形，得出AB=DC=16米即可．解：∵EF=4米，OC=OE=10米，∴OF=OE-EF=6米，在Rt△OEC中，CF8=米，∵OF⊥DC，DC为弦，∴DF=CF=8米，∴DC=2×8=16米，∴四边形ABCD为矩形，∴AB=DC=16米，故答案为：16．【点拨】本题考查勾股定理，垂径定理，矩形性质，掌握勾股定理，垂径定理，矩形性质是解题关键．17．【分析】根据∠D =30°，直角三角形中30°角对应的直角边等于斜边的一半计算出AH ，再根据垂直于弦的直径平分弦得到AB =2AH 计算出AB ．解：在Rt AHD V 中，∠D =30°∴2AD AH=∴AH =cm∵弦AB ⊥CD∴2==AB AH故答案为：【点拨】本题考查直角三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．18．45°【分析】先根据垂径定理可得122AC AB ==，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．解：由题意得：OC AB ^，4AB =，122AC AB \==，2OC =Q ，AC OC \=，Rt AOC \V 是等腰直角三角形，45AOC =\а，故答案为：45°．【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．19．（3，1）【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点D即为圆心，且坐标是（3，1）．故答案为：（3，1）．【点拨】此题考查了垂径定理的推论，能够准确确定一个圆的圆心．20．(1,0)．【分析】直接利用垂径定理推论得出圆心位置，进而利用A点坐标得出原点位置即可得出答案．解：如图示，∵点A的坐标为（0，3），据此建立平面直角坐标系如下图所示，连接AB，AC，作AB，AC的中垂线，交点是点D则，该圆弧所在圆的圆心坐标是：(1,0)．故答案是：(1,0)．【点拨】本题主要考查了垂径定理以及坐标与图形的性质，正确得出圆心位置是解题关键．21．等腰三角形三线合一的性质【分析】连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，依据等腰三角形的性质判断．解：连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，当MN⊥AB时，一定有MB过AB的中点，依据三线合一的性质可得．故答案是：等腰三角形三线合一的性质．【点拨】本题考查了垂径定理，正确转化为等腰三角形的性质解决问题是关键．22．48【分析】根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案：解：∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC．∵∠A=42°，∴∠ACO=∠A=42°．∵D为AC的中点，∴OD⊥AC．∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．故答案为：48．23．100【分析】由垂径定理和勾股定理计算即可．解：如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与BD垂直相交于点C．设AO=OB=r则OC=r-20，BC=140 2BD=有222 OB OC BC=+222(20)40r r =-+化简得r =50故新管道直径为100cm ．故答案为：100．【点拨】本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题．24．1或3【分析】根据垂径定理建立直角三角形，再运用勾股定理求得OD ，进而分两种情况讨论即可．解：如图，连接OB ，»»AB AC =Q ，\由垂径定理可知，OA BC ^，BD CD ==则在Rt OBD △中，1OD ==，211AD r OD \=-=-=或213AD r OD =+=+=，故答案为：1或3．【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理计算圆周上点到弦得距离，熟练掌握基本定理，准确分类讨论是解题关键．25．(1)见分析(2)10【分析】（1）过点O 作OD ⊥AC ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ；（2）由题意可得OD =5，由（1）得：OE ⊥AC ，点E 为AC 中点，继而可得118422AE AC ==´=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．(1)解：如图，点E 即为所求；(2)解：如图，连接AD ，∵⊙O 的直径是10，∴OD =5，由（1）得：OE ⊥AC ，点E 为AC 中点，∴118422AE AC ==´=，∴11541022OAD S OD AE =×=´´=V ．【点拨】本题主要考查了垂径定理、三角形的面积公式，熟练掌握垂径定理是解题的关键．26．这块圆形木材的直径（AC ）是26寸【分析】设O e 的半径为x 寸，根据题意可得AD BD =，在Rt AOD △中，OA x =，1OD x =-，勾股定理求解即可．解：设O e 的半径为x 寸，∵OE AB ^，10AB =寸，∴152AD BD AB ===寸，在Rt AOD △中，OA x =，1OD x =-，由勾股定理得()22215x x =-+，解得13x =.∴O e 的直径226AC x ==（寸）.答：这块圆形木材的直径（AC ）是26寸.【点拨】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．27．(1)见分析(2)OD ＜OE【分析】（1）先根据垂径定理，由OD ⊥AB ，OE ⊥AC 得到AD ＝12AB ，AE ＝12AC ，且∠ADO ＝∠AEO ＝90°，加上∠DAE ＝90°，则可判断四边形ADOE 是矩形，由于AB ＝AC ，所以AD ＝AE ，于是可判断四边形ADOE 是正方形；（2）由（1）得四边形ADOE 是矩形，可得OE ＝AD ＝12AB ，OD ＝AE ＝12AC ，又AB ＞AC ，即可得出OE 和OD 的大小关系．(1)证明：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴四边形ADOE 为矩形，且OD 平分AB ，OE 平分AC ，∴BD ＝AD ＝12AB ，AE ＝EC ＝12AC ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AE ，∴四边形ADOE 为正方形．(2)解：OD ＜OE ，理由如下：由（1）得四边形ADOE 是矩形，∴OE ＝AD ，OD ＝AE ，∵AD ＝12AB ，AE ＝12AC ，∴OE ＝12AB ，OD ＝12AC ，又∵AB ＞AC ，∴OD ＜OE ．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、也考查了正方形的判定．28．1.4【分析】根据垂径定理得到AE EC =，CF FD =，根据勾股定理求出AE ．设OF x =，再次根据勾股定理得到等式2222AC AF OC OF -=-，代入求值即可解答．解：连接OC ，∵AB CD ^，OE AC ^，∴AE EC =，CF FD =，∵3OE =，5OB =，∴5OB OC OA ===，∴在Rt OAE △中，4AE ===，∴4AE EC ==，∴8AC =，设OF x =，∵在Rt CAF V 中，222CF AC AF =-，在Rt OFC V 中，222CF OC OF =-，∴2222AC AF OC OF -=-，∴()2222855x x -+=-，解得： 1.4x =，即 1.4OF =．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．。