江西省重点中学协作体2020届高三数学第二次联考试题 理（含解析）满分：150分时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2,,0A a a =，{}1,2B =，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. ±1【答案】A 【解析】 【分析】根据{}1A B ⋂=，得1A ∈，根据元素的互异性可知1a =- 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈， 又2a a ≠，所以0a ≠且1a ≠，所以21a =，所以1a =-(1a =已舍)，此时满足{}1A B ⋂=. 故选：A【点睛】本题考查了集合的交集的概念，考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 2. 设312iz i-=+，z 的虚部是（ ） A.75i B. 75C. 75i -D. 75-【答案】B 【解析】 【分析】 算出1755z i =-即可 【详解】因为()()()()31231717=121212555i i i i z i i i i ----===-++-所以z 的虚部是75故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算及复数的概念，较简单.3. 已知0.23a -=，3log 6b =，2log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用指数和对数的性质，判断三个数值的范围，即可得出结果.【详解】解：因为0.20-<，且函数3xy =在R 上单调递增，所以0.203103-<=<，即01a <<，因为函数3log y x =在(0,)+∞上单调递增，且322363<<， 所以322333log 3log 6log 3<<，所以33log 622<<，即322b <<， 因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，且23272<<，所以23222log 2log 7log 2<<，所以22log 73<<，所以2131log 7<22<，即231log 2<，31<2c < 所以a c b <<， 故选：B【点睛】此题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，属于基础题.4. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a 、b 、i 的值分别为6、8、0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A. 0，3B. 0，4C. 2，3D. 2，4【答案】C 【解析】 【分析】执行循环，直至a b =终止循环输出结果.【详解】执行循环，得1,2;2,4;3,2i b i a i a ======，结束循环，输出2,2a b ==，此时3i =,选C.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5. 在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为（ ）A.14B.13C.23D.16【答案】B【分析】设AC的中点为点E，则可以推得23BP BE=，故得点P为ABC的重心，即可得答案.【详解】设AC的中点为点E，则有2BA BC BE+=，又3BA BC BP+=，所以23BP BE=，则点P在线段BE上，因为D为BC的中点，所以得点P为ABC的重心，故ABP△与ABC面积之比为13.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的运算，三角形重心的性质，属于基础题.6. 某几何体的三视图如图所示（网格中的每个网格小正方形的边长为单位1），则该几何体的体积为（）A. 163B. 6C.203D.223【答案】D【解析】【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是由正方体截割去1个三棱锥所得到的几何体，由此求出几何体的体积.【详解】解：由三视图，可知该几何体是由正方体截割去1个三棱锥所得到的几何体，如图所示：因为网格中的每个网格小正方形的边长为单位1，所以三棱锥的体积为112212323V=⨯⨯⨯⨯=三棱锥，2228V=⨯⨯=正方体所以该几何体的体积为222833 V V-=-=正方体三棱锥【点睛】此题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，属于基础题. 7. 已知数列{}n a 满足11a =，1()31nn n a a n N a ++=∈+，则数列{}1n n a a +的前10项和10S =（ ） A.928B.2728C.1031D.3031【答案】C 【解析】 【分析】 先给1()31n n n a a n N a ++=∈+两边取倒数，得+1113n n a a -=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求出113(1)32n n n a =+-=-，得132n a n =-，于是可求出数列{}1n n a a +的通项，再利用裂项相消求和法可求得10S 的值. 【详解】解：因为1()31nn n a a n N a ++=∈+，所以+13111=3n n n n a a a a +=+，即+1113n na a -=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为公差，1为首项的等差数列， 所以113(1)32n n n a =+-=-，所以132n a n =-，所以11111(32)(31)33231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以101111111111101=1343473283133131S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：C【点睛】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项公式，考查了裂项相消求和法，属于基础题.8. 已知平面四边形ABCD 是菱形，3BAD π∠=，AB =ABD △沿对角线BD 翻折至A BD '的位置，且二面角A BD C '--的平面角为23π，则三棱锥A BCD '-的外接球的表面积为（ ） A. 16πB. 24πC. 28πD. 32π【答案】C 【解析】 【分析】设ACBD E =，由四边形ABCD 是菱形，可得'A EC ∠为二面角A BD C '--的平面角，故'23A EC π∠=.过三棱锥A BCD '-的外接球的球心O 作'OO ⊥面BCD ，垂足为'O ，则'O 是等边BCD 的中心. 作'A F AC ⊥，垂足为F ，可证'A F ⊥面ABCD ，故''//A F OO .作//OG AC 交'A F 于点G ，则四边形'OGFO 是矩形. 设外接球的半径为',R OO x =，则224R x =+，222522R x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出x ，即求2R ，进而求出外接球的表面积. 【详解】设ACBD E =，四边形ABCD 是菱形，',,AC BD A E BD CE BD ∴⊥∴⊥⊥，'A EC ∴∠为二面角A BD C '--的平面角，'23A EC π∴∠=. ,3BAD BCD π∠=∴是等边三角形.过三棱锥A BCD '-的外接球的球心O 作'OO ⊥面BCD ，垂足为'O ， 则'O 是等边BCD 的中心. 如图所示''32123,3,2,133BC AB EC O C EC O E EC ==∴=∴====. 设外接球的半径为',R OO x =，则2224R OC x ==+. 作'A F AC ⊥，垂足为F .'',,,A E BD CE BD A E CE E BD ⊥⊥⋂=∴⊥面'A EC ，即BD ⊥面'A FC ，'BD A F ∴⊥.又',A F AC AC BD E ⊥⋂=，'A F ∴⊥面'',//ABCD A F OO ∴.作//OG AC 交'A F 于点G ，则四边形'OGFO 是矩形，'GF OO x ∴==.''2,33A EC A EF ππ∠=∴∠=. ''3333,,2A E EC EF A F ==∴==''35331,222OG O F AG AF GF x ∴==+=∴=-=-. 222'22'253322R OA OG AG x ⎛⎫⎛⎫∴==+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又224R x =+，222533422x x ⎛⎫⎛⎫∴+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得23,7x R =∴=.∴三棱锥A BCD '-的外接球的表面积2428==ππS R .故选：C .【点睛】本题考查二面角，考查直线与平面的位置关系，考查空间几何体的外接球，属于较难的题目.9. 已知直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的两条渐近线分别交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且120x x >，若4OA OB ⋅=-，且AOB 的面积为23，则E 的离心率为（ ） A. 2 B. 3C. 2D. 5【答案】C 【解析】 【分析】作示意图，设AOx θ∠=，根据面积公式和向量数量积的运算，列出方程组，求得tan θ，即可得,a b 的等量关系，再转化为离心率即可. 【详解】作示意图如图所示，设02AOx πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，由题意可得cos24OA OB θ=-，1sin 2232OA OB θ= 所以sin 2tan 23cos 2θθθ==-，又02πθ<<，得3πθ=又因为tan 3b a θ==3b a =，则222c a b a =+=，故2ce a==.故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及向量的数量积运算，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，属综合基础题.10. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 4(0,]9B. 48[,]99C. 48(,]99D. 8(0,]9【答案】A 【解析】 【分析】由函数()cos f x x =，根据三角函数的图象变换得到()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数()cos f x x =，向右平移6π个单位长度，得cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k ππωπ-=+，所以123x k ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则需3222T πππ>-=， 所以22ππω>，所以01ω<<， 若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则123232k ππππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，当k =0时，得123232ω<<，解得4493ω<<，当k =1时，得153232ω<<，解得101093ω<<， 综上：函数()g x 在3(,)22ππ上有零点时，4493ω<<或101093ω<<， 所以函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，409ω<≤. 所以ω的取值范围是4(0,]9.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.11. 已知函数11sin(1)()x x ex f x e----=，若22(2019)(2018)(2021)2020()1f f f a b -+-++=++，,a b ∈R ．则a b -+的最大值为（ ）A. 2+B. 2+C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】 分析函数11sin(1)()x x ex f x e----=，可得()(2)2f x f x +-=，再令S =(2019)(2018)(2021)f f f -+-++，用倒序相加法可得4041S =，即化简条件为222a b +=，根据直线与圆的位置关系求-a b的范围，再求得a b -+的最大值.【详解】由题1sin(1)()1x x f x e--=-，则()(2)2f x f x +-=,令S =(2019)(2018)(2021)f f f -+-++， 则S =(2021)(2020)(2019)f f f +++-240412S =⨯，得4041S =，则222020()1a b ++4041=，则222a b +=，令u a b =-，则0a b u --=，(,)a b 是圆心为(0,0)，半径为r =0a b u --=与圆有公共点，则圆心到直线0a b u --=的距离d =，由d r ≤≤得22u -≤≤，即22a b -≤-≤，故22a b -+≤-+≤+22a b -+≤-+≤+，故a b -+的最大值为2+.故选：A【点睛】本题考查了观察和分析能力，根据()f x ，得到()(2)2f x f x +-=是解决本题的关键，再利用直线与圆的位置关系求最值,是一道综合应用能力较强的题目.12. 已知函数13()2ln ()m x f x x x m x e -=--，当x e ≥时，()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. (,4]e -∞B. (,3]e -∞C. (,2]e -∞D. 3(,]2e -∞ 【答案】B【解析】【分析】先分析0m ≤，易得()0f x ≥恒成立，再分析0m >， 将问题转化为2ln 12ln (1)xm x m xe e x -≥-，x e ≥恒成立，再构造函数()x g x xe =， 即(2ln )(1)m g x g x≥-，x e ≥恒成立，可利用()g x 的单调性， 转化为则2ln 1,m x x e x≥-≥恒成立，再转化为得2ln ,m x x x x e ≤+≥恒成立， 再构造函数()u x =2ln ,x x x x e +≥，利用导数得到min ()u x ，则m ≤min ()u x .【详解】当0m ≤，x e ≥时，()0f x ≥显然恒成立；当0m > 时，由题，则132ln ()m xx x m e x -≥-恒成立，得2ln 12ln (1)x mx m xe e x -≥-，x e ≥恒成立， 令()x g x xe =，则(2ln )(1),m g x g x e x ≥-≥恒成立， 则()(1)0x x x g x e xe x e '=+=+>，故()g x 在(1,)-+∞递增， 则2ln 11,m x x e x≥->-≥恒成立，得2ln ,m x x x x e ≤+≥恒成立， 令()u x =2ln ,x x x x e +≥，则()2ln 3u x x '=+0≥，即()u x 在[),e +∞递增，故min ()()3u x u e e ==，故03m e <≤，综合得3m e ≤.故选：B.【点睛】本题考查了分析观察能力，利用导数研究函数的性质，反复构造函数利用函数的单调性转化恒成立问题是解决问题的关键.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1326S =，则91032a a -=_________．【答案】2【解析】【分析】根据1326S =，利用等差数列的性质求得72a =，再利用通项公式求解.【详解】因为1326S =，所以()113137131322262a a a S ⨯==+=， 所以72a =，所以()()1790772323322a a a a d d a -+-+===.故答案为：2【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式，通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14. 已知实数x ，y 满足条件20220230x y x y x y +->⎧⎪--<⎨⎪+-<⎩，则22x y z xy +=的取值范围为_________． 【答案】5(2,)2【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，设1,.y t z t x t ==+再求出112t <<，最后利用导数求出函数的最值即得解. 【详解】不等式组对应的可行域如图所示，22x y y x z xy x y +==+，设1,.y t z t x t=∴=+ 联立20220x y x y +-=⎧⎨--=⎩得42(,)33A ， 联立20+230x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)C ， 所以11,1,122OA OC k k t ==∴<<. 所以11(1)2z t t t =+<<，. 因为2110z t '=-≤，所以函数1z t t =+在1(,1)2单调递减. 所以5(2,)2z ∈.所以22x y z xy +=的取值范围为5(2,)2. 故答案为：5(2,)2.【点睛】本题主要考查线性规划问题，考查斜率的应用，考查导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.15. 已知1182)n x dx π-=⎰，则(1n x -的展开式中的常数项为_________． 【答案】24【解析】【分析】根据题意，由定积分计算公式可得n 的值，进而由二项式定理分析(1n x的展开式中的常数项，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意， 11121111112)(2)()|48882n x dx dx x dx x ππππ----⎡⎤⎡⎤==-=⨯⨯-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰， 41x⎛- ⎝的通项为12441(1)2rr r r r r r xT x C x C -+⎛==-⋅⋅⋅ ⎝⋅， 当2r 时，有243424C xT ⋅==， 则1n x⎛ ⎝的展开式中的常数项为24； 故答案为：24【点睛】本题考查定积分的计算以及二项式定理的应用，关键是求出n 的值，属于基础题．16. 在平面四边形ABCD 中，60A ∠=︒，75B C ∠=∠=︒，=BC AB 的取值范围是_________．【答案】(2,3+【解析】【分析】首先将平面四边形补形为三角形，成为等腰三角形BCE ∆，在BCE ∆内平移直线AD 使之能满足条件，通过数形结合，分析两个临界点得到AB 的取值范围.【详解】如图所示，延长,BA CD 交于E ，平移AD ，当A 与点E 重合时，BA 最长(此时为临界位置，不能取)在BCE 中，75B C ∠=∠=︒，30E ∠=︒，6=BC ， 由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o 6sin 75BE =， 由()o o o 26sin 75sin 4530+=+=，解得BE =3+3， 平移AD ，当D 与点C 重合时，BA 最短，此时与BA 交于F ，在BCF △中，75,60B BFC ∠=︒∠=︒,45FCB ∠=︒，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o 6sin 45BF =， 解得2BF =(此时为临界位置，不能取)所以BA 的取值范围为()2,33+故答案为：()2,33+【点睛】本题考查求几何图形中长度计算，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，考查正弦定理解三角形，本题的关键是通过平行移动AD ，根据临界点分析出AB 的长度，属于难题.二、解答题：（本大题共6小题，共70分，17-21题每题12分，选做题10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点M 在边BC 上，已知2cos 2a C b c =+．（1）求A ；（2）若AM 是角A 的平分线，23AM =，且2CM MB =，求三角形ABC 的面积．【答案】（1）23π；（2）273． 【解析】【分析】 （1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin A C B C =+，结合三角形内角和即可求得1cos 2A =-，由此可求出答案；（2）由题意得，2AC AB=，过M 作MD//AC 交AB 于D ，易知AMD 为正三角形，由此得23AD =，再根据三角形面积公式即可求出答案．【详解】解：（1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin A C B C =+，又()B A C π=-+，∴()2sin cos 2sin sin A C A C C =++，即2cos sin sin 0A C C +=，∴1cos 2A =-， 又因为0A π<<，∴23A π=； （2）由AM 是BAC ∠的角平分线以及2CM MB =知，2AC AB =， 过M 作MD//AC 交AB 于D ，易知AMD 为正三角形，∴23AD =33AB =63=AC ∴ABC 的面积1273sin 22ABC S AB AC A =⋅=．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查角平分线定理，属于基础题．18. 如图：在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，30ACP ∠=︒，且12AC =，6AB AP ==．（1）若点D 为BP 上的一动点，求证：PC AD ⊥；（2）若2CE EP =，求二面角A EB C --的平面角的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）24-【解析】【分析】（1）在APC △中，易得AP PC ⊥，再由平面PAC ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，利用面面垂直的性质定理得到AB ⊥平面APC ，从而有AB PC ⊥，然后由线面垂直的判定定理证明.（2）根据平面PAC ⊥平面ABC ，在平面PAC 中过A 点作AC 的垂线l ，则l 垂直平面ABC ，以l 为z 轴，AB ，AC 为x ，y 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面EAB 的一个法向量(,,)m x y z =和平面EBC 一个法向量(,,)n x y z =，代入公式cos ,m nm n m n ⋅=⋅求解.【详解】（1）在APC △中由正弦定理612sin 30sin APC=︒∠， 得90APC ∠=︒，即AP PC ⊥， ∵平面PAC ⊥平面ABC ，交线为AC ，90BAC ∠=︒，故AB ⊥平面APC ，则AB PC ⊥，又APAB A =，∴PC ⊥平面ABP ，而AD ⊂平面ABP ，所以PC AD ⊥．（2）∵平面PAC ⊥平面ABC ，在平面PAC 中过A 点作AC 的垂线l ，则l 垂直平面ABC ，以l 为z 轴，AB ，AC 为x ，y 轴建立空间直角坐标系．由2CE EP =知，E 为PC 的三等分点， 易得3)E ，(0,3,33)P ，()6,0,0B ，()0,12,0C ，()0,0,0A ，设平面EAB 的一个法向量为(,,)m x y z =，由00m AE m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得300z x +==⎪⎩，令1y =-，则3z =(0,3)m =-，设平面EBC 一个法向量为(,,)n x y z =，由00n BC n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2030x y z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 令1y =，则3z =2x =，(2,1,3)n =． 则2cos ,4m nm n m n ⋅==⋅， 设二面角A EB C --的平面角为α，则2cos α=． 【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想，逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，1)P -． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:l y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且在y 轴上有一点()0,2M m ，当ABM 面积最大时，求m 的值．【答案】（1）22184x y +=．（2）m =． 【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率可得,a b 关系，据此设22,(0)21x y λλ+=>，代入点1)P -即可求解；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示出弦长，由点到直线距离求出三角形高，可得ABM S △，由基本不等式可求最值.【详解】（1）由离心率为2c e a==，可设椭圆方程为22,(0)21x y λλ+=>又椭圆C 过点1)P -，∴4λ=．②由①②解得椭圆C 的标准方程为22184x y +=． （2）直线l 的方程为y x m =+，则()0,2m 到直线l 的距离d =， 将y x m =+代入椭圆方程22184x y +=， 得2234280x mx m ++-=，由判别式221612(28)0m m ∆=-->，解得m -<设()()1122,,,A x y B x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -= 由弦长公式||AB ===，1||||2ABM S AB d m ===≤当且仅当m =取等号．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，基本不等式，属于中档题.20. 甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是23，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为n P （120n ≤≤），其中11P =，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是13，如果某位同学有机会答第n 道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由（2）①求第二轮答题中2P ，3P ；②求证12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n P （120n ≤≤）的表达式.【答案】（1）第二轮最先开始答题的是甲；详见解析（2）①213P =，359P =②证明见解析；1111223n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭（120n ≤≤）【解析】 【分析】(1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,则2~(3,)3B ξ,设甲第一轮答题的总得分为x ,则1515x ξ=-,1515Ex E ξ=-,设乙第一轮得分为y ,求出y 的分布列,得到Ey ,比较两者大小即可得出结论;(2)①依题意得11P =,213P =,再利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出3P ;②1111212(1)(2)3333n n n n P P P P n ---=⨯+-⨯=-+,从而1111()232n n P P --=--,2n ,由此能证明1{}2n P -是等比数列,并求出(120)n P n 的表达式.【详解】(1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,则23,3~B ξ⎛⎫⎪⎝⎭,设甲第一轮答题的总得分为x ,则105(3)1515x ξξξ=--=-, 所以2151515315153Ex E ξ=-=⨯⨯-=; (或法二:设甲的第一轮答题的总得分为x ,则x 的所有可能取值为30,15,0,-15,且33328(30)327P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 2231212(15)3327P x C ⎛⎫===⎪⎝⎭, 213126(0)3327P x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 30311(15)327P x C ⎛⎫=-==⎪⎝⎭, 故得分为x 的分布列为:812130151515272727Ex =⨯+⨯-⨯=;) 设乙的第一轮得分为y ,则y 的所有可能取值为30,15,0,则33351(30)10C P y C ===,2132356(15)10C C P y C ===,1232353(0)10C C P y C ===, 故y 的分布列为:故163015121010Ey =⨯+⨯=, ∵Ex Ey >,所以第二轮最先开始答题的是甲. (2)①依题意知11P =,213P =,31122533339P =⨯+⨯=, ②依题意有()111121213333n n n n P P P P ---=⨯+-⨯=-+(2n ≥), ∴1111232n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,(2n ≥), 又11122P -=, 所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项,13-为公比的等比数列,∴1111223n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭,∴1111223n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭(120n ≤≤).【点睛】本题考查概率､离散型随机变量的分布列､数学期望的求法及应用,考查等比数列,需要学生具备一定的运算求解以及分析理解能力,属于中档题.21. 已知函数()xf x e x =-，()()2()(24)h x af x f x a x =+-+-（a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数）．（1）讨论函数()y f ax =的单调性；（2）当0x ≥时，()(2)cos h x a x ≥+恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）[2,)]+∞ 【解析】 【分析】（1）由()axf ax e ax =-，求导得到()(1)axf ax a e '=-，再分0a >和0a <讨论求解.（2）由2x π=时，根据()02h π≥，得到0a >．然后令()()(o 2c s )g x h x a x =-+，求导()'g x 2e 2(2)(2)sin e x xa a a x -=+-++，分2a ≥和02a <<讨论求解.【详解】（1）易知()(1)axf ax a e '=-①若0a >，则当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<， ②若0a <，则当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减．（2）当2x π=时，22()2(2)022h ae ea ππππ-=++-≥，即222()02e a e ππππ+≥->，所以0a >．令()()(o 2c s )g x h x a x =-+2(2)c (2s )o x x ae e a x x a -=++--+，则()e 2e(2)(2)sin xxg x a a a x -'=-+-++，2e 2(2)(2)sin ex xa a a x -=+-++， 若2a ≥，则当[0,]x π∈时，()0g x '≥， 所以()g x 在[0,]π上单调递增； 当(,)x π∈+∞时，()e 2e (2)(2)sin x x g x a a a x -'=-+-++ e 2e (2)(2)x x a a a -≥-+--+224444ae e a ππ->-->--，所以当[0,)x ∈+∞时，()g x 单调递增， 所以()()00g x g ≥=．若02a <<，则()()0220g a '=-<，()e 2e (2)(2)sin x x g x a a a x -'=-+-++ e 2e (2)(2)x x a a a -≥-+--+e 2e 4x x a -=--，由240x x ae e ---=得2ln0x a+=>，所以0g '≥，所以020,ln x a ⎛+∃∈ ⎝⎦，使得()00g x '=， 且当()00,x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()00,x x ∈上单调递减，所以当()00,x x ∈时，()()00g x g <=，不合题意． 综上，a 的取值范围为2a ≥．【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立以及零点存在定理，还考查了分类讨论思想，运算求解的能力，属于难题.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第题计分. 22. 如图所示的丘比特爱神之箭是由一颗爱心与一支箭组成，象征着高尚的爱情或强烈的欲望.在极坐标系中，爱心曲线C 的极坐标方程为2(1cos sin )1ραα-⋅=，[0,2)απ∈，0ρ>箭所在的直线l 的方程为：αθ=，[0,]2πθ∈.（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．请写出爱心曲线C 的普通方程；（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求2AB 的取值范围【答案】（1）22||10x y x y +--=；（2）2843||4,3AB ⎡+∈⎢⎣⎦【解析】 【分析】（1）由cos x ρα=，sin y ρα=，222x y ρ=+代入即可求得曲线C普通方程；（2）设1,()A ρθ，2,()B ρθπ+，求得111cos sin ρθθ=-211cos sin ρθθ=+ 代入到2212||()AB ρρ=+211(cos sin )t θθ=-，利用二次函数的性质可求得答案．【详解】解：（1）由cos x ρα=，sin y ρα=，222x y ρ=+可得， 爱心曲线C 的普通方程为：22||10x y x y +--=；（2）由于,A B 在直线l 上，故可设1,()A ρθ，2,()B ρθπ+， 代入2(1|cos |sin )1(0)ρααρ-⋅=>，可得1ρ=，2ρ=∴221222||()1(cos sin )AB ρρθθ=+=+-,t t ⎡==∈⎢⎣， 则22||2()AB t t =+211222t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡∈⎢⎣⎦．【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标系下极径的应用，属于中档题．23. 已知函数()21,0f x x x a a =+--> （1）当2a =时，解不等式()8f x <；（2）若()f x 的图像与x 轴围成三角形的面积不小于6，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()12,4-；（2）[2,)+∞． 【解析】 【分析】（1）分类讨论法解不等式即可；（2）去掉绝对值化简函数()f x 的解析式，依次求出函数()f x 与x 轴的交点，根据三角形面积公式即可求出答案．【详解】解：（1）当2a =时，不等式()8f x <等价于2128x x +--<， ①当–1x ≤时，2228x x --+-<， 解得121x -<≤-，②当12x -<≤时，2228x x ++-<， 解得12x -<≤，③当2x >时，2228x x +-+<，解得24x <<，综上，不等式()8f x <的解集为()12,4-；（2）因为2,1()32,12,x a x f x x a x a x a x a ---≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪++>⎩，∴函数()f x 的图像与x 轴围成三角形的三个顶点坐标分别为()2,0A a --，()1,1B a ---，2(,0)3a C -， ∴212||||(1)623AB B CSAC y a ==+≥，得2(1)9a +≥， 解得2a ≥，或4a ≤-（舍去）， ∴实数a 的取值范围为[2,)+∞．【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式的解法，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．。
