高三数学第二轮三角函数复习资料

高三数学第二轮三角函数复习资料 一、三角函数的概念及运算【基础自测】1.设θ为第二象限的角，则必有（A ）。

（A ）tg2θ>c tg 2θ （B ）tg 2θ<c tg 2θ （C ）sin 2θ>cos 2θ （D ）cos 2θ>sin 2θ2.设角α是第二象限的角，且2cos 2cos α-=α，试问2α是第 三 象限的角3．在半径为2米的圆中，120°的圆心角所对的弧长为34π米. 4．角α的终边上有一点P (a , a )，a ∈R ,且a ≠0, 则sin α的值是（C ）。

（A ）22 （B ）－22 （C ）＋22或－22（D ）1 5.【07江西】．若tan()34πα-=，则cot α等于（ A ）A ．2-B ．12-C ．12 D ．2 6【07江苏】．若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则=βαtan tan __21___7．若sin x ＝5m 3m +-，cos x ＝5m m 24+-, 则m 的值是（ C ）。

（A ）0 （B ）8 （C ）0或8 （D ）3<m <98．化简︒-1180sin 12的结果是（B ）。

（A ）cos100° （B ）cos80° （C ）sin80° （D ）cos20° 9．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =（ A ） A ．97-B ．31-C ．31D ．97 10、已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则)(ctg )2)(cos 2cos()2(tg )23sin()23sin(2α-πα+πα-πα-πα-ππ-α-的值 是 43±。

【题例分析】例1．化简：(1) sin(－107︒1)·sin ︒99＋sin(－︒171)·sin(－︒261)－ctg ︒1089·ctg(－︒630); (2)︒+︒+︒︒⋅⋅︒⋅︒89sin 2sin 1sin 89tg 2tg 1tg 222 ; (3) α-α++α+α-sin 1sin 1sin 1sin 1.解：(1) 原式＝sin ︒9sin ︒81－sin ︒9sin ︒81＋ctg ︒9ctg ︒270＝0;(2) ∵ tg1°tg2°·……·tg89°＝1, sin 21°＋sin 22°＋……＋sin 289°＝44＋21＝289, ∴ 原式＝892.(3)α-α++α+α-sin 1sin 1sin 1sin 1＝|cos |sin 1|cos |sin 1αα++αα-＝|cos |2α 例2．已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （I ）求sin x －cos x 的值； （Ⅱ）求xx xx x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值.思路分析：将sin x -cos x =51平方，求出sin x cos x 的值，进而求出（sin x -cos x ）2，然后由角的范围确定sin x -cos x 的符号.解法：（Ⅰ）由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得 即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π故 .57cos sin -=-x x （Ⅱ）x x x x x x xx x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力. 例3.已知11tan(),tan ,27αββ+==-且,(0,),αβπ∈求2αβ-的值. 解：4tan 2(),3αβ-=[]tan(2)tan 2() 1.αβαββ-=-+=由1tan 7β=->知5.6πβπ<<由1tan tan[()]3ααββ=-+=<知0.6πα<<32(,).2.24ππαβπαβ∴-∈--∴-=-如果要求解的角是由一些表达式给出的，则一是考虑所求解的角与已知条件中的角的关系，尽量将所求解的角用已知条件中的角表示出来；二是考虑求该角的某个三角函数值，具体哪个三角公式，一般可由条件中的函数去确定，一般已知正切函数值，选正切函数.已知正、余弦函数值时，选正、余弦函数。

若角范围是02π（，），正、余弦函数均可，若角是0π（，）时，一般选余弦函数，若是22ππ（－，）时，则一般选正弦函数。

例4、已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值.解法：由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα0cos sin 20cos 2sin 3=-=+⇔αααα或 由已知条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以.32tan ,0tan -=∴<αα于是3sin 2cos 3cos 2sin )32sin(παπαπα+=+.tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23sin cos cos sin )sin (cos 23cos sin 22222222222αααααααααααααααα+-⨯++=+-⨯++=-+= 代入上式得将32tan -=α..3265136)32(1)32(123)32(1)32()32sin(222即为所求+-=-+--⨯+-+--=+πα 【巩固训练】1．已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sinxcosx ．(Ⅰ) 求f (256π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41－2，求sin α的值．解析(Ⅰ) 25125sin ,cos 626ππ==225252525()sin cos 06666f ππππ∴=+=(Ⅱ) 1()2sin 22f x x x =，11()sin 224f ααα∴=+=011sin 4sin 162=-α-α 解得8531sin ±=α0sin ),0(>α∴π∈α 8531sin +=∴a 2.已知51sin(),tan ,(0,),(0,2),1322βαβαπβπ+==∈∈（1） 求sin ,cos .ββ (2)求cos α.解析：(1)由1tan 0,(0,2),22ββπ=>∈则0,.22βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin sin 2sin cos .22225βββββ==∴==223cos cos sin .225βββ=-=(2)由5sin()13αβ+=知12cos(),13αβ+=±由[]sin sin ()ααββ=+-()sin()cos cos sin .αββαββ=+-+在12cos()13αβ+=时，5312433sin 013513565α=⋅-⋅=-<与(0,)απ∈矛盾，舍去. 在12cos()13αβ+=-时，5312463sin 13513565α=⋅+⋅=可取.因此63sin 65α=.3、已知sin(3π－α)＝2cos(23π＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β), 且0<α<π, 0<β<π，求α, β. 解：∵sin(3π－α)＝2cos(23π＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β),∴ sin α＝2sin β,3cos α＝2cos β,两式平方和得 sin 2α＋3cos 2α＝2, ∴cos 2α＝21, cos α＝±22, ∴α＝4π或α＝43π若α＝4π，则β＝6π，若α＝43π，则sin β＝21, cos β＝－23, β＝65π. 4、已知)3tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-α及求. 由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027α-α=π-α= 即57cos sin =α-α ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722α-α-=α+αα-α=α-α=α=故51sin cos -=α+α ②由①式和②式得 54cos ,53sin -=α=α.因此，43tan -=α，由两角和的正切公式.11325483343344331433tan 313tan )4tan(-=+-=+-=α-+α=π+α 二、三角函数的图象及性质【基础自测】1．【07全国Ⅱ】2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ C ）A ．()44ππ-， B ．3()44ππ， C ．3()2ππ，D ．3(2)2ππ， 2. （08天津理）要得到y x =的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ .C ）A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ C ）A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,1）坐标代入即可.4. 函数f(x)＝sin(πx －π2)－1的奇偶性为___偶函数_____5.若函数f(x)＝cos(ωx －π6)(ω＞0)的最小正周期为π5，则ω＝_ 106已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ D ） （A ）偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 （B ）偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 （C ）奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称（D ）奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 7．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 （ D ） （A ）21- （B ）21 （C ）23-（D ）238．函数y = －x ·cosx 的部分图象是( D)9.（０８浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x xy 的图象和直线21=y 的交点个数是___2___10.【07安徽】函数()3sin(2)f x x π=-3的图象为C ， ①图象C 关于直线1112x π=对称； ②函数()f x 在区间5()1212ππ-，内是增函数；③由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中，正确论断的个数是（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3【题例分析】例1．已知函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1, x ∈R ,（I ）当函数y 取最大值时，求自变量x 的集合；（II ）该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：(I ) y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1＝41(2cos 2x －1)＋41＋43(2sin x cos x )＋1＝41cos2x ＋43sin2x ＋45＝21(cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π)＋45＝21sin(2x ＋6π)＋45.函数y 取最大值必须且只需2x ＋6π＝2k π＋2π, k ∈Z , 即x ＝k π＋6π.∴自变量x 的集合是{x | x ＝k π＋6π,k ∈Z }(II ) 把y ＝sin x 的图象依次进行如下的变换：① 把y ＝sin x 的图象向左平移6π个单位，得到函数y ＝sin(x ＋6π)的图象；② 再把图象是各点的横坐标缩小到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋6π)的图象；③ 再把图象是各点的纵坐标缩小到原来的21倍(横坐标不变)，得到函数y ＝21sin(2x ＋6π)的图象④ 最后把函数的图象向上平移45个单位，得到函数y ＝21sin(2x ＋6π)＋45的图象。