第2课时 导数与函数的极值、最值
一、教材概念·结论·性质重现
1．函数的极值与导数
条件 f ′(x0)＝0
x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0 x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0
图象
形如山峰
形如山谷
极值 f (x0)为极大值
f (x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
(1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定．
(2)对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
2．函数的最值与导数
(1)函数f (x)在[a，b]上有最值的条件
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
(1)求函数的最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．
(2)若函数f (x)在区间[a，b]内是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值；若函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
(3)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数的极大值不一定比极小值大． (√)
(2)对可导函数f (x)，f ′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件． (×)
(3)函数的极大值一定是函数的最大值． (×)
(4)开区间上的单调连续函数无最值． (√)
1
函数与导数
----------函数极值与最值
姓名：
1.已知函数)0)(1()(2kkxxexfkx.
（1）求)(xf的单调区间；
（2）是否存在实数k，使得函数)(xf的极大值为23e？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
2. 已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；
（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间(,1]上的最大值．
2
3.已知函数.ln)(xaxxf
（1）当a<0时，求)(xf得单调区间；
（2）若函数)(xf在[1,e]上的最小值是23，求a的值.
4. (2013年北京卷) 设l为曲线lnxCyx：在点（1，0）处的切线.
（1）求l的方程；（2）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方.
1 第二节 导数在研究函数中的应用
第1课时 系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值
知识点一 利用导数研究函数的单调性
1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增．
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减．
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间上是常数．
2．利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求f′(x)．
(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间．
[提醒] (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．
(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．
[重温经典]
1.(多选·教材改编题)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(2,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝2时，f(x)取到极大值
答案：BCD
2．(教材改编题)函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为( )
A．(－∞，－1)和(0,1) B．[－1,0]和[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
答案：A
3．(易错题)若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A.13，＋∞ B．－∞，13 2 C.13，＋∞ D．－∞，13
导数题的解题技巧
【命题趋向】导数命题趋势：
导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用．
【考点透视】
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.
例1．（2006年辽宁卷）与方程221(0)xxyeex的曲线关于直线yx对称的曲线的方程为
A.ln(1)yx B.ln(1)yx C. ln(1)yx D. ln(1)yx
[考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力
[解答过程]2221(0)(1)xxxyeexey，0,1xxe，
即：1ln(1)xeyxy，所以1()ln(1)fxx.
故选A.
例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1xafxx,集合M={|()0}xfx,P='{|()0}xfx,若MP,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由0,,1;,1.1xaxaaxx当a>1时当a<1时
//2211,0.11111.xxaxaxaayyxxxxa
