版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第6讲对数与对数函数试题理北师大版
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1 第二章 函数概念与基本初等函数I 第6讲 对数与对数函数试题 理
北师大版
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；
当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.
答案 A
2.(2017·上饶模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＝b
解析 因为a＝log23＋log23＝log233＝32log23>1，b＝log29－log23＝log233＝a，c＝log32 答案 B 3.若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( ) 解析 由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝13x，显然图像错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图像可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图像不符；选项D中，y＝log3(－x)的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称，显然不符.故选B. 2 答案 B 4.已知函数f(x)＝log2x，x>0，3－x＋1，x≤0，则f(f(1))＋flog312的值是( ) A.5 B.3 C.－1 D.72 解析 由题意可知f(1)＝log21＝0， f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2， flog312＝3－log312＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3， 所以f(f(1))＋flog312＝5. 答案 A 5.(2016·浙江卷)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则( ) A.(a－1)(b－1)<0 B.(a－1)(a－b)>0 C.(b－1)(b－a)<0 D.(b－1)(b－a)>0 解析 ∵a>0，b>0且a≠1，b≠1. 由logab>1得logaba>0. ∴a>1，且ba>1或0 则b>a>1或0 答案 D 二、填空题 6.设f(x)＝log21－x＋a是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________. 解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1， ∴f(x)＝lg1＋x1－x，定义域为(－1，1). 由f(x)<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1 答案 (－1，0) 7.设函数f(x)满足f(x)＝1＋f12log2x，则f(2)＝________. 解析 由已知得f12＝1－f12·log22，则f12＝12，则f(x)＝1＋12·log2x，故f(2)＝1＋12·log22＝32. 3 答案 32 8.(2015·福建卷)若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x>2(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________. 解析 当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以a＞13＋loga2≥4，解1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2]. 答案 (1，2] 三、解答题 9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间0，32上的最大值. 解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)， ∴a＝2. 由1＋x>0，3－x>0，得－1＜x＜3， ∴函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1，3)时，f(x)是减函数， 故函数f(x)在0，32上的最大值是f(1)＝log24＝2. 10.(2016·榆林月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log12x. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x2－1)>－2. 解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log12(－x). 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log12(－x)， 所以函数f(x)的解析式为 4 f(x)＝log12x，x>0，0，x＝0，log12（－x），x<0. (2)因为f(4)＝log124＝－2，f(x)是偶函数， 所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4). 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x2－1|<4，解得－5 即不等式的解集为(－5，5). 能力提升题组 (建议用时：20分钟) 11.(2017·青岛质检)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a＝f(20.3)，b＝f(log124)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是( ) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 解析 函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数， ∴f(x)在[0，＋∞)为增函数， ∵b＝f(log124)＝f(－2)＝f(2)，1<20.3<2 ∴c>b>a. 答案 B 12.已知函数f(x)＝lnx1－x，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________. 解析 由题意可知lna1－a＋lnb1－b＝0， 即lna1－a×b1－b＝0，从而a1－a×b1－b＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－a－122＋14， 又0＜a＜b＜1， ∴0＜a＜12，故0＜－a－122＋14＜14. 5 答案 0，14 13.(2016·浙江卷)已知a>b>1，若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________. 解析 ∵logab＋logba＝logab＋1logab＝52， ∴logab＝2或12.∵a>b>1，∴logab ∴logab＝12，∴a＝b2.∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2， ∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4. 答案 4 2 14.设x∈[2，8]时，函数f(x)＝12loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a的值. 解 由题意知f(x)＝12(logax＋1)(logax＋2) ＝12(log2ax＋3logax＋2) ＝12logax＋322－18. 当f(x)取最小值－18时，logax＝－32. 又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1). ∵f(x)是关于logax的二次函数， ∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得. 若12loga2＋322－18＝1，则a＝2－13， 此时f(x)取得最小值时，x＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去. 若12loga8＋322－18＝1，则a＝12， 此时f(x)取得最小值时，x＝12－32＝22∈[2，8]， 符合题意，∴a＝12.
