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第13讲：对数函数一、课程标准1、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念。
2、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。
3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
4、知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，a≠1)。
二、基础知识回顾1、对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质2、反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的图象与底数大小的比较3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．三、自主热身、归纳总结1、函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为(B ) A . ⎝⎛⎭⎫－∞，32 B . ⎝⎛⎦⎤－∞，32C . ⎝⎛⎭⎫32，＋∞D . ⎣⎡⎭⎫32，＋∞【答案】B【解析】 由题意可得－x 2＋22>0，即－x 2＋22∈(0，22]，得所求函数值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32.故选B .2、若log a 2＜log b 2＜0，则下列结论正确的是(B ) A . 0＜a ＜b ＜1 B . 0＜b ＜a ＜1 C . a ＞b ＞1 D . b ＞a ＞1 【答案】B【解析】(方法1)由log a 2＜log b 2＜0，得 0＜a 、b ＜1，且1log 2a <1log 2b ，即log 2b －log 2a log 2a·log 2b <0. 又log 2a ＜0，log 2b ＜0，得log 2a·log 2b ＞0， 从而log 2b －log 2a ＜0，即log 2b ＜log 2a. 又函数y ＝log 2x 是增函数，从而b ＜a.故选B .(方法2)在同一直角坐标系xOy 中作出满足条件的函数 y ＝log a x 与y ＝log b x 的图像，如图所示．B 正确，故选B .3、函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ）A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【答案】A【解析】函数()()22log 34f x x x =--,所以 2340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-，所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，234y x x =--当3(,)2-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数()()22log 34f x x x =--的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。
§2.7对数函数1．对数函数的定义形如y＝log a x(a>0，a≠1)的函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数3.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．概念方法微思考如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．提示 0<c <d <1<a <b .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (2)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(3)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )(4)若a m >a n (a >0，a ≠1)，则m >n .( × ) 题组二 教材改编 2．已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1. ∴c >a >b .3．函数y 23log 21x (-)的定义域是________．答案 ⎝⎛⎦⎤12，1解析 由23log (21)x -≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数y 23log 21x (-)⎝⎛⎦⎤12，1.题组三 易错自纠4．函数f (x )＝log 2(3－a x )在(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (1,3]解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3－a ≥0，解得1<a ≤3.5．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为________． 答案 (0，＋∞)解析 3x >0⇒3x ＋1>1⇒log 2(3x ＋1)>log 21＝0. 故f (x )的值域为(0，＋∞)．6．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).对数函数的图象及应用例1 (1)(2020·南京模拟)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1答案 D解析 由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，∴0<c <1.(2)方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析 若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22.4x <log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫22，1解析 当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.把点⎝⎛⎭⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.思维升华 对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练1 (1)(2019·常州质检)函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析 由函数值域为R ，可以排除C ，D ，当x >1时，f (x )＝lg(x －1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A ，选B.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (1，＋∞)解析 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．(3)若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫116，1解析 只需f 1(x )＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象恒在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可． 当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立， 只需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12，所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a12，解得a ≥116， 所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.对数函数的性质及应用命题点1 解对数方程、不等式例2 (1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．答案 x ＝ 5解析 原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5.(2)设f (x )＝212log ,0,log ,0,x x x x >⎧⎪⎨(-)<⎪⎩则方程f (a )＝f (－a )的解集为________．答案 {－1,1}解析 当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝121log a ⎛⎫⎪⎝⎭＝f (－a )＝12log a ，得a ＝1； 当a <0时，由f (a )＝12log ()a －＝log 2⎝⎛⎭⎫－1a ＝f (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1. ∴方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}．本例(2)中，f (a )>f (－a )的解集为________．答案 (－1,0)∪(1，＋∞)解析 由题意，得2120,log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或1220,log ()log (),a a a >>⎧⎪⎨⎪⎩－－解得a >1或－1<a <0.命题点2 对数函数性质的综合应用 例3 已知函数f (x )＝212log (23).x ax +－(1)若f (－1)＝－3，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解 (1)由f (－1)＝－3，得12log (4+2)a ＝－3.所以4＋2a ＝8，所以a ＝2. 则f (x )＝212log (43),x x +－由x 2－4x ＋3>0，得x >3或x <1.故函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 令μ＝x 2－4x ＋3，则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增． 又y ＝12log μ在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．(2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，7－4a ≥0，a 无解．所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数．思维升华 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2 (1)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)． (2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0， 解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83.比较指数式、对数式的大小例4 (1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b答案 D 解析 c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2， ∴a <c <b .(2)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0， b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.(3)已知函数f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为________． 答案 f (c )>f (a )>f (b )解析 由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)， 又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |，所以f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)， 即f (c )>f (a )>f (b )．(4)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 c <a <b解析 易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)，所以c <a <b .思维升华 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.跟踪训练3 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a <b <c D ．a >b >c答案 B解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .(2)已知函数f (x )＝|x |，且a ＝f ⎝⎛⎭⎫ln 32，b ＝f ⎝⎛⎭⎫log 213，c ＝f (2－1)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．c <a <b D ．b <a <c答案 A解析 ln 32<ln e ＝12，log 23>12，∴log 23>12>ln 32.又f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫ln 32<f ⎝⎛⎭⎫12<f (log 23)＝f ⎝⎛⎭⎫log 213， ∴a <c <b .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．a <c <b答案 C解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得 1log 2a <1log 2b <1log 2c <0， 即log 2c <log 2b <log 2a <0， 可得c <b <a <1.故选C.1．(2019·扬州中学期中)函数y ＝12log (21)x -的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．[1，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤12，1 D ．(－∞，1)答案 A解析 要使函数y ＝12log (21)x -有意义，则2x －1>0，解得x >12，即函数的定义域为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 2．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0 D ．(b －1)(b －a )>0答案 D解析 由a ，b >0且a ≠1，b ≠1，及log a b >1＝log a a 可得，当a >1时，b >a >1，当0<a <1时，0<b <a <1，代入验证只有D 满足题意． 3．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，所以选A.4．(2020·南京质检)若0<a <1，则不等式1log a x >1的解是( ) A ．x >a B ．a <x <1 C ．x >1 D ．0<x <a答案 B解析 易得0<log a x <1，∴a <x <1.5．函数f (x )＝212log (4)x －的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案 D 解析 函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝12log t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝12log t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(0，＋∞)答案 A解析 作出函数y ＝f (x )的图象(如图)，欲使y ＝f (x )和直线y ＝a 有两个交点，则0<a ≤1.7．(多选)关于函数f (x )＝ln 1－x 1＋x，下列说法中正确的有( ) A ．f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在定义域上是增函数D ．对任意x 1，x 2∈(－1,1)，都有f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2 答案 BD解析 函数f (x )＝ln 1－x 1＋x＝ln ⎝⎛⎭⎫21＋x －1， 其定义域满足(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，∴定义域为{x |－1<x <1}．∴A 不对．由f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，是奇函数，∴B 对． 函数y ＝21＋x－1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减， ∴f (x )在定义域内是减函数，C 不对．f (x 1)＋f (x 2)＝ln1－x 11＋x 1＋ln 1－x 21＋x 2 ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1×1－x 21＋x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2.∴D 对． 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________． 答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1. 综上可知x ≥0.9．(2019·南通模拟)设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点(如图)，∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0， 即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1， 化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，所以0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．是否存在实数a ，使得f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解 设t ＝ax 2－x ＝a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2－14a. 若f (x )在[2,4]上是增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12a ≥4，16a －4>0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，12a ≤2，4a －2>0，解得a >1. ∴存在实数a 满足题意，即当a ∈(1，＋∞)时，f (x )在[2,4]上是增函数．13．已知函数f (x )＝lne x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 021＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 021＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 020e 2 021＝1 010(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫e 2 021＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 021＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 020e 2 021＝2 020， ∴1 010(a ＋b )＝2 020，∴a ＋b ＝2.∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2， 当且仅当a ＝b ＝1时取等号．14．(2019·无锡模拟)若函数f (x )＝log a (x 2－x ＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a ＝________.答案 2解析 令u (x )＝x 2－x ＋2，则u (x )在[0,2]上的最大值u (x )max ＝4，最小值u (x )min ＝74. 当a >1时，y ＝log a u 是增函数，f (x )max ＝log a 4＝2，得a ＝2；当0<a <1时，y ＝log a u 是减函数，f (x )max ＝log a 74＝2，得a ＝72(舍去)．故a ＝2.15．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎣⎡⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎣⎡⎭⎫23，1答案 A解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.16．已知函数f (x )＝lg x －1x ＋1. (1)计算：f (2 020)＋f (－2 020)；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lg m (x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1. ∴函数f (x )的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x －11＋x ·－x －11－x ＝0， ∴f (x )为奇函数．∴f (2 020)＋f (－2 020)＝0.(2)当x ∈[2,6]时，f (x )<lg m (x ＋1)(7－x )恒成立可化为x －11＋x <m (x ＋1)(7－x )恒成立． 即m >(x －1)(7－x )在[2,6]上恒成立．又当x ∈[2,6]时，(x －1)(7－x )＝－x 2＋8x －7＝－(x －4)2＋9.∴当x ＝4时，[(x －1)(7－x )]max ＝9，∴m >9.即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．。
第五节ꢀ对数与对数函数内容索引【教材·知识梳理】1.对数的概念x=log N 如果a x =N(a>0且a≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作______a _.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么log M+log N ①log (MN)=___________；aa a log M-log N ②log =___________；a a a nlog M ③log M n =______ (n∈R)；④=log a M.a a(2)对数的性质N N①=__；②log a N=__(a>0且a≠1).a(3)换底公式：logN=(a，b均大于零且不等于1).b3.对数函数的定义、图象与性质【常用结论】1.换底公式的两个重要结论(1)log b=；(2)log m b n=log b.a a a其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y=1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若MN>0,则log(MN)=logM+logN.(ꢀꢀ)a a a(2)对数函数y=logx(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.(ꢀꢀ)a(3)函数y=logx2与函数y=2logx是相等函数.(ꢀꢀ)a a(4)若M>N>0,则logM>logN.(ꢀꢀ)a ax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(5)对数函数y=loga(ꢀꢀ)提示:(1)×.只有M>0,N>0时,log M与log N才有意义.a ax在(0,+∞)上是增函数.(2)×.当a>1时,y=loga(3)×.y=log x2的定义域为{x|x≠0},y=2log x的定义域为{x|x>0},定义域不同,a a故不是相等函数.(4)×.只有当a>1时,M>N>0,则log M>log N才成立.a a(5)√.由对数函数的图象和性质知正确.【易错点索引】序号易错警示典题索引1对数式整理变形出错2数形结合不熟练考点一、T2,3考点二、T33多种函数联合交汇考点三、角度1考点三、角度2 4对数函数的底数取值范围的讨论【教材·基础自测】c=则(ꢀꢀ)ꢀꢀꢀ1.(必修1P104 练习A T3改编)已知a=b=log2A.a>b>cB.a>c>bꢀC.c>b>aꢀD.c>a>b【解析】选D.因为0<a<1,b<0,c==log3>1.所以c>a>b.22.(必修1P99 例5改编)计算:=______.ꢀ【解析】原式=答案:的定义域为________.ꢀ3.(必修1P104 练习AT2改编)函数y=【解析】要使函数有意义,则需满足解得<x≤1.答案:考点一ꢀ对数式的化简与求值【题组练透】1.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m-m=,其中星等为m的星的亮度为E(k=1,2).21k k已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为(ꢀꢀ)ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀA.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.12.(2020·深圳模拟)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=(ꢀꢀ)A.-1B.1C.2D.43.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(ꢀꢀ)世纪金榜导学号A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z4.计算log3·log8+=________.ꢀ23【解析】1.选A.令m=-26.7,m=-1.45,12则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg=10.1,=1010.1.2.选C.设(x,y)是函数y=f(x)的图象上任意一点,它关于直线y=-x对称的点为(-y,-x),由已知知(-y,-x)在函数y=2x+a的图象上,(-x)+a,所以-x=2-y+a,解得y=-log2即f(x)=-log(-x)+a,所以f(-2)+f(-4)=-log2+a-log4+a=1,解得a=2,故选C.2223.选D.令2x=3y=5z=m,分别可求得2x=分别对分母乘以30可得,故而可得4.原式=答案:5⇒log310>log215>log56⇒3y<2x<5z.m m m【规律方法】对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.(2)将同底对数的和、差、倍合并.N(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算(3)a b=N⇔b=loga中应注意互化.(4)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式.考点二ꢀ对数函数的图象及其应用ꢀ【典例】1.已知函数y=log(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图,则a下列结论成立的是(ꢀꢀ)A.a>1,c>1ꢀꢀꢀꢀB.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1ꢀꢀꢀꢀD.0<a<1,0<c<12.在同一直角坐标系中,函数y=(a>0,且a≠1)的图象可能是(ꢀꢀ)3.已知函数f(x)=数为________.ꢀg(x)=log2x,则f(x)与g(x)两函数图象的交点个【解题导思】【解析】1.选D.由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<a<1.又当x=0时c>0,所以0<c<1.,y>0,即loga2.选D.当0<a<1时,函数y=a x的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=loga的图象过定点且单调递减,D选项符合;当a>1时,函数y=a x的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=loga的图象过定点且单调递增,各选项均不符合.3.如图,函数g(x)的图象与函数f(x)的图象交于两点,且均在函数y=8x-8(x≤1)的图象上.答案:2【规律方法】1.应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.2.对数函数图象的规律在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.【变式训练】(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系1.已知函数f(x)=loga是(ꢀꢀ)A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<1【解析】选A.由函数图象可知,f(x)在R上单调递增,又y=2x+b-1在R上单调递增,故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,log b),由函数图象可知-1<log b<0,即a alog a-1<log b<log1,所以a-1<b<1.综上有0<a-1<b<1.a a a2.(2020·北京模拟)已知函数f(x)=2x(x<0)与g(x)=l n(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则a的取值范围是(ꢀꢀ)A.(-∞,2) C.(2,e)B.(-∞,e) D.(e,+∞)【解析】选B.在同一直角坐标系中作出函数f(x)=2x(x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象,当y=ln x向左平移a(a>0)个单位长度,恰好过(0,1)时,函数f(x)与g(x)就不存在关于y轴对称的点,所以0<a<e,当y=ln x向右平移|a|(a<0)个单位长度,函数f(x)与g(x)总存在关于y轴对称的点,当a=0时,显然满足题意,综上:a<e.考点三对数函数的性质及其应用考什么:(1)求对数函数的单调性,利用对数函数的单调性比较大小、求命值或解不等式、求参数值等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑题推理等核心素养.精怎么考:对数函数奇偶性、单调性,函数的周期性以及对称性等知识单解独或交汇考查,也可能以分段函数的形式呈现.读新趋势:对数函数的图象与对称性、交点个数、不等式交汇考查.1.比较对数式的大小的方法(1)能化成同底数的先化成同底对数值,再利用单调性比较大小.学(2)不能化成同底数的,一般引入“1”“0”“-1”等中间量比较大小.霸(3)在研究对数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定好时,要分类讨论.方 2.对数函数单调性的判断法(1)求单调区间必须先求定义域.(2)根据对数的底数a进行判断,0<a<1时为减函数,a>1时为增函数.(3)对数型函数的单调性根据复合函数“同增异减”进行判断.命题角度1 比较大小问题【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<c C.c<a<bB.a<c<b D.b<c<a【解析】选B.a=log0.2<log1=0,b=20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则0<c<1,所以22a<c<b.【解后反思】如何比较指数式与对数式的大小?提示:数形结合或找中间量(如1,0,-1等),再结合函数单调性比较大小.命题角度2 与对数函数有关的不等式问题x,则a的取值范围是()【典例】当0<x≤时,4x<loga【解析】选B.由题意知0<a<1,x的大致图象如图,则函数y=4x与y=loga>2,则只需满足loga解得a>,所以<a<1.【解后反思】一边为指数式,另一边为对数的不等式如何求解?提示:将两边分别看成一个函数,画出两个函数的图象,结合图象的交点求解.命题角度3 对数函数性质的综合应用【典例】已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()世纪金榜导学号A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减C.f(x)的图象关于直线x=1对称D.f(x)的图象关于点(1,0)对称【解析】选C.由题意知,f(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,C正确,D错误;又f′(x)=(0<x<2),在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,A,B错误.【一题多解】解决本题还可以采用以下方法:选C.由题意知,f(x)=ln x+ln(2-x)的定义域为(0,2), f′(x)=由由得0<x<1;得1<x<2,所以函数f(x)=ln x+ln(2-x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以排除A,B;所以所以排除D.【解后反思】如何求解对数函数性质的综合问题?提示:认真联想对数函数的各个性质的定义及其作用,在其交汇点处寻找突破口.【题组过关】【变式巩固·练】|x|在(0,+∞)上单调递增,则f(-2)________f(a+1).(填1.已知函数f(x)=loga“<”“=”或“>”)【解析】因为f(x)=log|x|在(0,+∞)上单调递增,所以a>1,所以a+1>2.因为af(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2)<f(a+1).答案:<2.(2019·潍坊模拟)已知函数f(x)=若f(2-a)=1,则f(a)=______________.【解析】当2-a<2,即a>0时,f(2-a)=-log(1+a)=1.解得a=-,不合题意.2当2-a≥2,即a≤0时,f(2-a)=2-a-1=1,即2-a=2,解得a=-1,所以f(a)=f(-1)=-log4=-2.2答案:-2【综合创新·练】1.(2019·绵阳模拟)若x,y,z∈R+,且3x=4y=12z,∈(n,n+1),n∈N,则n的值是()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.设3x=4y=12z=t(t>1),则x=log t,y=log t,z=log t,3412所以=log12+log1234=2+log4+log3.34因为1<log4<2,0<log3<1,34所以1<log4+log3<3;34又log4+log3>34所以4<2+log4+log3<5,34即∈(4,5).所以n=4.。
专题七 对数与对数函数一、题型全归纳题型一 对数式的化简与求值【题型要点】解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.【例1】计算下列各式：(1)2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＋(lg 2)2；(2)log 225·log 322·log 59；【解析】(1)2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋lg 2(2lg 2＋2lg 5)＝2lg 5＋2lg 2＝2.(2)log 225·log 322·log 59＝log 252·log 3232·log 532＝6log 25·log 32·log 53＝6.【例2】如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，那么PQ 的值为( )A.14B ．4C ．1D ．4或1【解析】：由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，得log a (P －2Q )2＝log a (PQ )．由对数运算性质得(P －2Q )2＝PQ ，即P 2－5PQ ＋4Q 2＝0，所以P ＝Q (舍去)或P ＝4Q ，解得PQ ＝4.故选B.【例3】．若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．1 B ．0或18 C.18D ．log 23【解析】：由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)，2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23，选D.题型二 对数函数的图象及应用【题型要点】1．对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)2.指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．3.对数函数图象的特点(1)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a ，函数只在第一、四象限． (3)在直线x ＝1的右侧：当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．【例1】函数f (x )＝lg 1|x ＋1|的大致图象是( )【解析】 f (x )＝lg1|x ＋1|＝－lg|x ＋1|的图象可由偶函数y ＝－lg|x |的图象左移1个单位得到．由y ＝－lg|x |的图象可知D 项正确．【例2】下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )【解析】 易知y ＝ln x 与y ＝ln(－x )的图象关于y 轴对称，将y ＝ln(－x )的图象向右平移2个单位所得图象y ＝ln[－(x －2)]＝ln(2－x )即与y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称．【例3】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是__________．【解析】问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.题型三 对数函数的性质及应用命题角度一 比较对数值的大小【题型要点】比较对数值的大小的方法【例1】(2019·高考天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b【解析】因为a ＝log 27>log 24＝2，b ＝log 38<log 39＝2，且b ＝log 38>1，c ＝0.30.2<0.30＝1，所以c <b <a .故选A.【例2】已知a ＝log 372，b ＝3141⎪⎭⎫⎝⎛，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b因为c ＝51log 31＝log 35>log 372>log 33＝1，所以c >a ，又b ＝3141⎪⎭⎫⎝⎛<1，所以b <a <c .故选D.命题角度二 解简单的对数不等式或方程【题型要点】解对数不等式的函数及方法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．【例3】已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)满足⎪⎭⎫⎝⎛a f 2<⎪⎭⎫⎝⎛a f 3，则f ()2x －1>0的解集为( ) A ．(0，1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)【解析】解法一：因为函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a <3a且⎪⎭⎫ ⎝⎛a f 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛a f 3，所以f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，结合对数函数的图象与性质可得f (2x －1)>0⇒2x －1>1，所以x >1.解法二：由⎪⎭⎫⎝⎛a f 2<⎪⎭⎫⎝⎛a f 3知log a 2a >log a 3a ，所以log a 2－1<log a 3－1，所以log a 2<log a 3， 所以a >1，由f (2x －1)>0得log a (2x －1)>0，所以2x －1>1，即x >1.命题角度三 对数型函数的综合问题【题型要点】解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 【例4】已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最小值为0，求a 的值．【解析】 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1，所以f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3. 则g (x )在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)． (2)若f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故实数a 的值为12.【例5】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)【解析】：当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.题型四 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质【题型要点】在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a 的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想【例1】已知函数f (x )＝log a (2x －a )(a >0且a ≠1)在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．[13，1)C ．(23，1)D ．[23，1)【解析】当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)．【例2】已知函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)，当x ≥0时，求函数的值域． 【解析】：y ＝a 2x ＋2a x －1，令t ＝a x ，则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ≥0，所以t ≥1，所以当a >1时，y ≥2.当0<a <1时，因为x ≥0，所以0<t ≤1.因为g (0)＝－1，g (1)＝2，所以当0<a <1时，－1<y ≤2.综上所述，当a >1时，函数的值域是[2，＋∞)； 当0<a <1时，函数的值域是(－1，2]．二、高效训练突破 一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8【解析】：.因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.2.(2020·武汉二中月考)已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，且a ≠1，b ＞0，且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )【解析】因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a ，故g (x )＝－log b x ＝－log 1a x ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知B 项正确．故选B.3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【解析】由已知得lg M N ＝lg M －lg N ＝361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与MN最接近的是1093.4.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．x 21logD ．2x －2【解析】：由题意知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，因为f (2)＝1，所以log a 2＝1，所以a ＝2.所以f (x )＝log 2x .故选A.5．(2020·东北三省四市一模)若a ＝log 225，b ＝0.48，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b <c <a【解析】：a ＝log 225<log 21＝0，即a <0，b ＝0.48<0.4<12，又0.48>0，所以0<b <12，c ＝ln 2＝ln 4>ln e ＝12，即c >12，所以a <b <c .故选B. 6．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1)<f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定【解析】：.由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．7．(2020·河南平顶山模拟)函数f (x )＝log a |x ＋1|(a >0，a ≠1)，当x ∈(－1，0)时，恒有f (x )>0，则( ) A ．f (x )在(－∞，0)上是减函数 B ．f (x )在(－∞，－1)上是减函数 C ．f (x )在(0，＋∞)上是增函数 D ．f (x )在(－∞，－1)上是增函数 【答案】D.【解析】：由题意，函数f (x )＝log a |x ＋1|(a >0且a ≠1)，则说明函数f (x )关于直线x ＝－1对称，当x ∈(－1，0)时，恒有f (x )>0，即|x ＋1|∈(0，1)，f (x )>0，则0<a <1.又u ＝|x ＋1|在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f (x )在(－∞，－1)上是增函数，选D.8.(2020·河南新乡二模)已知函数f (x )＝log 3(9x ＋1)＋mx 是偶函数，则不等式f (x )＋4x <log 32的解集为( ) A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，1)【解析】：.由f (x )＝log 3(9x ＋1)＋mx 是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即log 3(9－x ＋1)＋m (－x )＝log 3(9x ＋1)＋mx ，变形可得m ＝－1，即f (x )＝log 3(9x ＋1)－x ，设g (x )＝f (x )＋4x ＝log 3(9x ＋1)＋3x ，易得g (x )在R 上为增函数，且g (0)＝log 3(90＋1)＝log 32，则f (x )＋4x <log 32⇒g (x )<g (0)，则有x <0，即不等式的解集为(－∞，0)．故选C. 9．已知函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，1)C.⎪⎭⎫ ⎝⎛310，D ．(3，＋∞)【解析】：由于a ＞0，且a ≠1，所以u ＝ax －3为增函数，所以若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，所以a ＞1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正， 所以a －3＞0，即a ＞3.10.(2020届惠州市高三调研)函数f (x )＝1x －ln x －1的图象大致是( )【解析】：解法一：函数f (x )的定义域为x ∈(0，1)∪(1，＋∞)，故排除A ；f (100)＝1100－ln 100－1>0，排除C ；⎪⎭⎫⎝⎛1001f ＝11100＋ln 100－1>0，排除D.故选B. 解法二：设g (x )＝x －ln x －1，则g (1)＝0，g ′(x )＝1－1x ，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．所以当x ∈(0，1)∪(1，＋∞)时，g (x )>g (1)＝0.所以f (x )＝1x －ln x －1的定义域为x ∈(0，1)∪(1，＋∞)，且f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x )>0，故选B. 解法三：f (x )＝1x －ln x －1的定义域为x ∈(0，1)∪(1，＋∞)，故排除A ；当x →0时，(x －ln x －1)→＋∞，f (x )→0，排除D ；当x →＋∞时，x －ln x －1>0，所以f (x )＝1x －ln x －1>0，排除C.故选B.二、填空题1.设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝ ．【解析】：因为2a ＝5b ＝m >0，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10.2.(2020届陕西宝鸡中学月考)已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为 ．【解析】：由2x ＝3，log 483＝y ，得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.3.已知函数y ＝log a (x －1)(a ＞0，a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，则f (log 23)＝________．【解析】：由题意得A (2，0)，因此f (2)＝4＋b ＝0，b ＝－4，所以f (x )＝2x －4，从而f (log 23)＝3－4＝－1. 4．若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为________． 【解析】：因为0＜a ＜1，所以函数f (x )是定义域上的减函数，所以f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min ＝log a (2a )，所以1＝3log a 2a ⇒a ＝(2a )3，所以8a 2＝1，所以a ＝24. 5.已知函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是 ．【解析】：由于a >0，且a ≠1，所以u ＝ax －3为增函数，所以若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，所以a >1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正， 所以a －3>0，即a >3.6.设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是 ． 【解析】：由题意知，在(0，10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，所以|lg a |＝|lg b |，又因为y ＝lg x 在(0，＋∞)上单调递增，且a <b <10，所以lg a ＝－lg b ，所以lg a ＋lg b ＝0，所以ab ＝1，0<c <lg 10＝1，所以abc 的取值范围是(0，1)．7．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是 ．【解析】：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.8.(2020·洛阳市第一次统考)若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝ ． 【解析】：解法一(定义法)：因为函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 即ln(e －x＋1)－ax ＝ln(e x ＋1)＋ax ，所以2ax ＝ln(e －x ＋1)－ln(e x＋1)＝ln e －x ＋1e x ＋1＝ln 1e x ＝－x ，所以2a ＝－1，解得a ＝－12.解法二(取特殊值)：由题意知函数f (x )的定义域为R ，由f (x )为偶函数得f (－1)＝f (1)，所以ln(e －1＋1)－a ＝ln(e 1＋1)＋a ，所以2a ＝ln(e －1＋1)－ln(e 1＋1)＝ln e －1＋1e ＋1＝ln 1e ＝－1，所以a ＝－12.三、解答题1.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上的最大值． 【解析】：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3，所以函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 2.已知函数f (x )＝lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2lg x a x ，其中x >0，a >0. (1)求函数f (x )的定义域；(2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．【解析】：(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0.因为x >0，所以x 2－2x ＋a >0. 当a >1时，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；当0<a <1时，定义域为(0，1－1－a )∪(1＋1－a ，＋∞)．(2)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立， 即a >－x 2＋3x 对x ∈[2，＋∞)恒成立，记h (x )＝－x 2＋3x ，x ∈[2，＋∞)，则只需a >h (x )max .而h (x )＝－x 2＋3x ＝－223⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，故a >2.。
『高考复习|学与练』『汇总归纳·备战高考』第13讲：对数函数1、课程标准1、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念。
2、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。
3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
4、知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a ≠1)。
2、基础知识回顾1、对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质底数a >10<a <1图象定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1，0)，即恒有log a 1＝0当x >1时，恒有y >0；当0<x <1时，恒有y <0当x >1时，恒有y <0；当0<x <1时，恒有y >0性质在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a 的大小不确定时，需分a >1和0<a <1两种情况进行讨论2、反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．对数函数的图象与底数大小的比较3、如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．3、自主热身、归纳总结1、函数f(x)＝log 2(－x 2＋2)的值域为(B )2A . B . (－∞，32)(－∞，32]C .D . (32，＋∞)[32，＋∞)2、若log a 2＜log b 2＜0，则下列结论正确的是(B )A . 0＜a ＜b ＜1B . 0＜b ＜a ＜1C . a ＞b ＞1D . b ＞a ＞13、函数的单调减区间为（ ）22()log (34)f x x x =--A ．B ．C ．D ．(,1)-∞-3(,)2-∞-3(,)2+∞(4,)+∞4、（2019秋•菏泽期末）已知函数，，，则 ()log (1)a f x x =+()log (1)(0a g x x a =->1)a ≠()A ．函数的定义域为()()f x g x +(1,1)-B ．函数的图象关于轴对称()()f x g x +y C ．函数在定义域上有最小值0()()f x g x +D ．函数在区间上是减函数()()f x g x -(0,1)5、(2018苏州期末）已知4a ＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________．6、(2018盐城三模）．函数的定义域为 ▲ ．()ln(1f x =-4、例题选讲考点一对数函数的性质及其应用例1、（1）函数的定义域为（ ）A．B．C．D ．（2）已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log ，则a ，b ，c 的大小关系为( )1213A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b（3）设函数f (x )＝若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( ){log2x ，x ＞0，log12（－x ），x ＜0.)A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)变式1、(1)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为 ；(2)已知函数f (x )＝则不等式f (x )>1的解集为 ；{3x ＋1，x ≤0，log 13x ，x >0，)(3)若函数f (x )＝(ax ＋4)在[－1，1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 ．2(3)log a 变式2、已知是偶函数，则（ ）A．B．C．D ．方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解．。
2025北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）第7节 对数函数课标解读1.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.2.知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).1 强基础 固本增分知识梳理1.对数函数的概念函数y=log a x(a>0,且a≠1)称为对数函数,其中x是自变量,定义域是 (0,+∞) .微点拨对数函数解析式y=log a x的三个特征:(1)底数a>0,且a≠1;(2)真数是自变量x且x>0;(3)系数为1.2.对数函数的图象与性质图象和性质a>10<a<1图象性质(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:R(3)过定点(1,0),即当x=1时,y=0(4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0(4)当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0(5)在定义域(0,+∞)上是增函数当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大(5)在定义域(0,+∞)上是减函数当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大微点拨1.对数值的符号规律:log a x>0⇔(a-1)(x-1)>0,log a x<0⇔(a-1)(x-1)<0 (其中a>0,a≠1,x>0).2.在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴;当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴.也就是说,在第一象限内,不同底数的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.微拓展函数y =log a|x|与y =|log a x |(a >0,a ≠1)的性质函数y =log a |x |y =|log a x |a >10<a <1a >10<a <1定义域(-∞,0)∪(0,+∞)(0,+∞)值域R [0,+∞)奇偶性偶函数非奇非偶函数单调性在区间(0,+∞)上单调递增;在区间(-∞,0)上单调递减在区间(-∞,0)上单调递增;在区间(0,+∞)上单调递减在区间(0,1)上单调递减;在区间(1,+∞)上单调递增图象微思考如何确定对数型函数y=klog a(m x+n)+b(a>0,且a≠1,m≠0)图象所过的定点?3.反函数一般地,指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)互为 ,它们的定义域与值域正好互换.反函数微点拨1.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.2.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.常用结论2.对于函数f(x)=|log a x|(a>0,且a≠1),若f(m)=f(n)(m≠n),则必有m n=1.3.函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象与(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称,函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象与y=log a(-x)(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.自主诊断× × √ × 题组一基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).(1)函数f (x )=log 3(x -1)是对数函数.( )(2)若log a x >1,则x >a .( )(3)函数f (x )=log a (a x -1)(a >0,且a ≠1)在其定义域上单调递增.( )(4)函数y =| |的单调递减区间是(1,+∞).( )2.函数y= 的定义域为 .3.已知0<m<n,且m≠1,n≠1,则log m7与log n7的大小关系是当1<m<n或0<m<n<1时,log m7>log n7;当0<m<1<n时,log m7<log n7 . 解析当n>m>1时,函数y=log m x和y=log n x的图象如图①所示,当x=7时,数形结合可得log m7>log n7.当0<m<n<1时,函数y=log m x和y=log n x的图象如图②所示,当x=7时,数形结合知log m7>log n7.当0<m<1<n时,函数y=log m x与y=log n x的图象如图③所示,当x=7时,显然,log n7>log m7.①②③题组二连线高考4.(2021·新高考Ⅱ,7)已知a=log52,b=log83,c= ,则下列判断正确的是( )C A.c<b<a B.b<a<cC.a<c<bD.a<b <cB 解析(方法一)∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).不妨令x=1,则有f(-1)=f(1),2 研考点 精准突破考点一考点二考点三考点一 对数函数的图象及其应用例1(1)(2024·浙江嘉兴模拟)若函数f (x )=log 2|a +x |的图象不经过第四象限,则实数a 的取值范围为 . [1,+∞) 解析 函数f (x )=log 2|a+x|的图象关于直线x=-a 对称,其定义域为{x|x ≠-a },作出函数f (x )=log 2|a+x|的大致图象(如图所示),由图象可知,要使函数f (x )=log 2|a+x|的图象不经过第四象限,则 解得a ≥1,所以实数a 的取值范围为[1,+∞).(1,3) (2)(2024·北京海淀模拟)不等式2log3x-(x-1)(x-2)>0的解集为 .[对点训练1](1)(2024·浙江杭州模拟)函数f(x)=log n(x+m)恒过定点(-2,0),则m 的值为( )CA.5B.4C.3D.2解析由函数f(x)=log n(x+m)恒过定点(-2,0),可得log n(-2+m)=0,所以-2+m=1,解得m=3,故选C.C(2)(2024·天津模拟)函数f(x)=x l n(x2+1)的图象大致为( )解析由题可知,函数f(x)的定义域为R,又f(-x)=-x ln[(-x)2+1]=-x ln(x2+1) =-f(x),故函数f(x)为奇函数,排除A,B,又f(1)=ln 2>0,因此排除D,故选C.考点二 对数函数的单调性及其应用(多考向探究预测)考向1求单调区间或参数取值范围例2(1)(2024·河北唐山模拟)函数f(x)=lg(x+1)+lg(3-x)的单调递增区间是 . (-1,1)解析由得-1<x<3,则函数f(x)的定义域为(-1,3),又f(x)=lg(x+1)+lg(3-x)=lg(x+1)(3-x)=lg(-x2+2x+3),令u=-x2+2x+3,则u(x)在区间(-1,1)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减,又因为y=lg u在定义域上是增函数,所以f(x)的单调递增区间是(-1,1).变式探究1lg 4 (变结论)本例(1)中,若函数解析式不变,则函数f(x)的最大值为 . 解析由于f(x)的定义域为(-1,3),又f(x)=lg(-x2+2x+3),令u=-x2+2x+3,易知,u 有最大值4,因此函数f(x)的最大值为lg 4.变式探究2(变条件)本例(2)中,若函数解析式不变,则当函数的值域(-∞,-4]∪[0,+∞) 为R时,实数a的取值范围是 .解析当函数的值域为R时,u(x)=x2-ax-a应能取到所有正实数,所以Δ=a2+4a≥0,解得a≥0或a≤-4,故实数a的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞).[对点训练2]若函数在(-2,+∞)单调递减,则实数a的取值范围是 (-∞,-6] .考向2比较对数值大小例3(1)(2024·湖南益阳模拟)已知 ,则a,b,c的大小关B系正确的是( )A.c>b>aB.c>a >bC.b >a>cD.a>c>b(2)设a=log26,b=log312,c=log515,则( )BA.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b解析a=log26=1+log23,b=log312=1+log34,c=log515=1+log53.因为log23>log22=1,log34>log33=1,0<log53<log55=1,所以a>c,b>c.又因为2log23=log29>log28=3,2log34=log316<log327=3,所以2log23>2log34,即log23>log34,a>b.所以a>b>c.规律方法比较对数值大小的方法若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论若底数不同,真数相同可以先用换底公式化为同底后,再进行比较若底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较考向3解对数型不等式例4(1)(2024·广东河源模拟)定义在R上的偶函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递D(2,+∞)规律方法求解对数不等式的两种类型及方法类型方法log a x>log a b借助y=log a x的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论log a x>b需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=log a x的单调性求解考点三 与对数函数有关的综合问题例5(多选题)(2024·安徽蚌埠模拟)已知函数 ,则下列说法BD中正确的是( )A.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)的图象关于y轴对称C.函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减D.函数f(x)的值域为[ ,+∞)[对点训练3](2024·云南昆明模拟)已知函数f(x)=l n|x-1|-l n|x+1|,若存在两个B不同的实数x1,x2,使f(x1)=f(x2),则有( )A.x1x2=-1B.x1x2=1C.x1+x2<-2D.x1+x2>2递减,且y>1.所以当x∈(-∞,-1)时,函数f(x)单调递增,且f(x)>0;当x∈(-1,0)时,函数f(x)单调递减,且f(x)>0.作函数f(x)的图象知,由f(x1)=f(x2),则本 课 结 束。
