几何证明基础
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几何证明基础
第一部分：命题的四种形式
一、 命题的定义： 判断一件事情的句子叫做命题。
二、 命题的结构： 命题=条件（题设）+结论
三、 命题的基本表述方式：
四、命题的分类
五、命题的四种形式:
【注】1、“互逆”和“互否”的命题不一定同“真”或同“假” ；
2、“互为逆否”的两个命题必同“真”或同“假” 。
第二部分：证明的基本常识
一、 证明的意义 必要性（仅凭观察、猜测、度量都是不够的）
二、 证明的定义：
陈述某一判断的充足理由的思维形式，即用已知的真实的理由推出一个判断的真实性。
三、证明的结构和要求
真实性待证明的判断，又叫待证命题。 证明的依据和理由。
利用论据来证明论题的推理过程。
论据充分 层次分明 步骤完整
论题要明确
论题必须始终如一（偷换概念）
论据必须真实（虚假理由，予期理由）
论据必须能推出论题（不能推证，不能推出）
论据不能靠论题论证（循环论证）
五、证明的依据
主要有：定义、公理、定理及其推论、已知条件、己证明的结论、等量性质、等式（不等式）性质等
3. 依题意和图形，写岀“已知”，“求证”
4. 分析题意，探索证明思路和方法
5. 依思路运用数学符号和语言有条理地写岀证明的过程。
6. 检查表达过程是否正确，完善。
七、证明方法
1证明的入手方式/ 六、证明的一般步骤 1. 理解题意
2. 依题意画出正确的图形 1、“如果一一那么 2、“若__则 3、“已知一一求（证）一一”等形式。
命题 真命题
假命题 公理
*産理 （正确的命题）
（错误的命题）
1、证明 结构包括：广①论题:
2、证明的基本要求：
四、证明的规则： A.
B.
2 C. D.
y 互逆 I间接证法 r反证法 I 穷举法
I同一法（伪设法）
（重点介绍反证法）
① 直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半。
② 一个三角形中，最多只有一个直角。
③ 一个三角形中，至少有一个角大于或等于 60。（同一法简析）
例：正方形 ABCD内有一点，使 △ ADE为等腰△，且V DAE= V ADE=15 证明：△ BCE是等边三角形。
2、 证题的思路「
1. 综合法：由“已知”看“可知”，推得“未知”。即由已知的题设岀发，推导可能的结
J 论，最后得到未知的待证结论。好比“顺水泛舟”简称为“由因导果”
2. 分析法：由“未知”，看“需知”，逐步靠拢“已知”。即由待证命题岀发，找岀得到
L 这个结论的条件，逐一推到已知的题设。好比“逆水行舟，执果索因”
”枚举归纳法（不完全归纳）
3、从推理形式归纳法：由特殊到一般的一种推理形式 v普通归纳法（完全归纳法）
数字归纳法（科学归纳法）
｛演绎法：由一般到特殊的一种推理形式。 具体分三个部分：“大前提+小前提 结论”
又称“三段论”
C i.证明两线段或两角相等
八、基本几何命题 2.证明线段或角的和差倍分。
3, 证明线段或角的不等关系。
4, 证两线平行或垂直。
J 5.证线段成比例式或等积式。
）6.有关面积的计算或证明。
7. 定值问题
8. 点共线问题。
9. 线共点问题
10. 尺规作图问题。
第三部分：几何证明方法和问题归类
1、 命题证明的不同流派
在几何命题的证明研究曾出现过不同风格特点的各种流派，如：变换派，计算派，结论 派，图形派，杂派。
2、 几种常见几何命题的证明 【A】证明两线段或两角相等
•、常用的定理等依据
1. 利用相交线与平行线的有关定理
2. 利用角平分线定理及其逆定理
3. 利用三角形中角平分线逆定理
4. 利用等腰三角形的有关定理
5. 利用全等三角形的有关定理
6 利用相似三角形的有关定理
4. 圆外一点与圆心连线平分从这点向圆所引二切线所夹角
（弦心距）
二、基本方法 合同三角形法：利用两三角形全等或相似的有关定理证明 两线段或两角相等。
转借代换法： 根据适当的定理，添加若干辅助线以它们为媒介代换成待证结论。
【B】证明线段或角的和差倍分
一、常用定理
仁有关线段的定理：卜直角△斜边上中线等于斜边的一半。
b. Rt △中30°的角所对的边等于斜边一半。
c. 中位线定理。
d. 三角形的重心定理，垂心定理等。
£.比例或相似形的性质定理。
2、有关角的定理：玄.△内角和与外角定理。
-b.有关两角互余，互补，相等的定理。
c.等弧上圆周角（或弦切角）与圆心角的有关定理
二、常用的证明方法： q=a-c
1、 截长补短法；证明线段 a=b ± c可作一线段p=b ± c，然后证a= p或者作一线段，q=a+c 再证b= q
对于角的有关命题身份此可证，称为“割补法” 。
2、 加倍折半法： 若证明 线段a= 2b，可将线段b加倍，即作线段c= 2b，再证a= c，或者
1
作线段p = a，b = p （角变同理可仿证）
3、直接运用有知定理或化为三角形有关的面积问题解决。
三：练习作业
1. 平等四边形 ABCD中，自钝角 A作AF丄BC于F，BD交AF于E，DE=2AB ，证明 v ABD= v 2EBC
2. 平行四边形 ABCD中，BC=2AB, M 为AD中点，CE丄AB 于E,则V DME=3 VAEM .1弦切割定理与相交弦定理
2.弦切角定理
3圆内接四边形外角等于内对角定理 利用平行四边形的有关定理
利用圆的如下定理： 【C］证明两线段或两角的不等关系
一、常用的定理
1. △中两边之和大于第三边。
2. 两个△中，若有两组对边对应相等，而夹角不等，则夹角大的所对边也较大；反之第三边大的所对夹 角也大。
3. △中大边对大角，大角对大边。
4. △的外角定理
5. 垂线与斜线，切线与切线的比较定理。
6. 同圆或等圆中，两弧或两弦的比较定理。
7. 不等量公理。
8. 某些代数不等式。
二、常用证明方法
1.利用有关定理及不等量公理。
2.利用和等换集中分散的条件
3.利用比例，面积的计算证明
三、练习作业
1
1. 边长为1的正△内有五个点，证明：至少有两点间的距离小于 一 2
1 1
2. 在厶ABC中,AB=2AC，则最小边与三角形的周长之比界于 一与一 之间。, 6 4
3. 设M是等腰 △ ABC底边BC的中点。 P是厶ABM内部一点，则V APB > V APC
4. 三角形任一角的平分线小于两夹角边的半和。
【D］证两线垂直或平行
一、 常用定理
1. 有关垂直的定理
① 垂直的定义
② 等腰△顶角平分线（底边中线）是底边上的高。
③ 菱形（正方形）的两条对角线互相垂直
④ 半圆周角是直角
⑤ 平分弦（非直径）的直线垂直弦。
⑥ 二圆的连心线垂直平分公共弦。
2. 有关平行的定理
① 平行线的定义，及判定公理，定理
② 三角形（梯形）中位线定理
③ 平行（垂直）于同一直线 的二直线 平行
④ 关于同圆内不相交二弦间的弧相等，则二弦平行
⑤ 平行线截得比例线段定理。
二、 常用证法 1. 直接应用有关定理
2. 过渡氏换
三、练习作业
1. 自圆外一点 A引切线，切点为B,过AB中点M作割线交圆于 C,D ,连AB,AD又交圆于E F,则AB // EF
2. 点P, Q , R是厶ABC的边BC CA , AB的中点，PR中点M , AM 与PQ交于N,贝U BM // CN
3设.BE , CF是厶ABC的高，在高线 BE上截取BP=AC，在高线 CF上取CQ=AB，求证：AP丄AQ
4.0 0. Q 0'交于A,B。在。0上取点D,设DA , DB的延长线交。0'于Q,R _则OD丄QR
【E】线段成比例式或等积式的证明
一、 常用定理
1. 平行线截得比例线段定理
2. 三角形内，外角平分线定理
3，相似形对应线段成比例
4射影定理
5. 圆幕定理
二、 常用方法
1•利用相似三角形 或有关其它定理。
2•利用中间比作桥梁
3•利用比例，面积或其它计算方法证明
4•若待证等式为多项式
5•证明若干比之和（或积）等于 1或其它常 数
① 设法把各比化为分母相同的比（或等比） ，使之相加后分子等于分母（或相乘后约分为 1）
② 利用面积 比的有关性质，将这几个比化为分母相同的面积比（或相等的面积比，使之相
加（或相乘）后分子等于分母（或约分为 1）
（思考作业二）
（1） 非钝角△的外心到三边的距离之和，等于外接圆与内切圆半径之和。
（2） 不能内接圆的凸四边形中，两对角线之积小于两双对边乘积之和 ，而大于其差•
⑶0 ABC内一点，过0点作EF,QP,GH分别平行 BC,CA ,AB
(4) 0 ABC 内一点，AO,BO,CO 与 BC ,CA,AB 分别交于 D,E,F
BD CE AF , 1 DC EA FB
【F】关于面积计算的证法
、常用定理
1•等（同）底（同）高的两个厶（或平行四边形）的面积相等 2•面积公式
3•勾股定理
4•有关面积之比的定理①等咼（底）的△面积比
② 相似△面积比
③ 等（补）角△面积之比
、常用证法 求证:①HQ BC AC AB ②GH EF QP AB
BC CA =2
求证:
