北京市朝阳区高三一模数学(理)试题及答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学测试题（理工类） 2011.4

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

注意事项：

1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上.考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回.

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．若集合2{|, }MyyxxR，{|2, }NyyxxR，则MNI等于

（A）0, （B）(,) （C） （D）{(2, 4)，(1, 1)}

2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是

（A）8，8 （B）10，6

（C）9，7 （D）12，4

3．极坐标方程4cos化为直角坐标方程是

（A）22(2)4xy （B）224xy

（C）22(2)4xy （D）22(1)(1)4xy

4．已知{}na是由正数组成的等比数列，nS表示{}na的前n项的和．若13a，24144aa，则10S的值是

（A）511 （B） 1023 （C）1533 （D）3069

5．函数)2(cos2xy的单调增区间是

（A）π(π, π)2kk kZ （B）π(π, ππ)2kk kZ

（C）(2π, π2π)kkkZ （D）(2ππ, 2π2π)kkkZ

6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三

角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，

则此三棱锥的体积等于

（A）612 （B）33

（C）64 （D）233

7．如图，双曲线的中心在坐标原点O，, AC

分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则BDF的余弦值是

（A）77 （B）577

（C） 714 （D）5714

8．定义区间(, )ab，[, )ab，(, ]ab，[, ]ab的长度均为dba，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)U的长度(21)(53)3d. 用[]x表示不超过x的最大整数，记{}[]xxx，其中xR. 设()[]{}fxxx，()1gxx，若用123,,ddd分别表示不等式()()fxgx，方程()()fxgx，不等式()()fxgx解集区间的长度，则当02011x≤≤时，有

（A）1231, 2, 2008ddd （B）1231, 1, 2009ddd

（C）1233, 5, 2003ddd （D）1232, 3, 2006ddd 侧视图 正视图 1

俯视图

x y

O

C B A

F

D

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.

9．复数13iz，21iz，则12zz等于

.

10．在二项式6(2)x的展开式中，第四项的系数是 .

11．如右图，在三角形ABC中，D，E分别为BC，AC的中

点，F为AB上的点，且B4AAFuuuruuur. 若ADxAFyAEuuuruuuruuur

，则实数x ，实数y .

12．执行右图所示的程序框图，若输入5.2x，

则输出y的值为 ．

13．如下图，在圆内接四边形ABCD中, 对角线, ACBD相交于

点E．已知23BCCD，2AEEC，30CBDo，

则CAB ，AC的长是 ．

A B C

D E ·

·

F

开始

输入x

是 ?i≥5

输出y

结束 xy |2|yx

否 0, 0yi

1ii 14．对于各数互不相等的整数数组),,,,(321niiii (n是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}pqnL，当qp时有qpii，则称pi，qi是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组123(,,,,)niiiiL中的逆序数为n，则数组11(,,,)nniiiL中的逆序数为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15．（本小题满分13分）

在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知3cos24C.

（Ⅰ）求sinC；

（Ⅱ）当2ca，且37b时，求a.

16．（本小题满分13分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且//ADBC，90ABCPAD，侧面PAD底面ABCD. 若12PAABBCAD.

（Ⅰ）求证：CD平面PAC；

（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得//BE平面PCD？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角APDC的余弦值.

17．（本小题满分13分）

在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23．

（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；

（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；

（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？

A

B P

C D

18．（本小题满分13分）

已知函数2()ln20)fxaxax (.

（Ⅰ）若曲线()yfx在点(1,(1))Pf处的切线与直线2yx垂直，求函数()yfx的单调区间；

（Ⅱ）若对于(0,)x都有()2(1)fxa成立，试求a的取值范围；

（Ⅲ）记()()()gxfxxbbR .当1a时，函数()gx在区间1[, ]ee上有两个零点，求实数b的取值范围.

19．（本小题满分14分）

已知(2, 0)A，(2, 0)B为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且APB面积的最大值为23．

（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；

（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD

为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

20．（本小题满分14分）

有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为mka(,1,2,3,,, 3)mknnL≥，公差为md，并且123,,,,nnnnnaaaaL成等差数列．

（Ⅰ）证明1122mdpdpd （3mn≤≤，12,pp是m的多项式），并求12pp的值；

（Ⅱ）当121, 3dd时，将数列{}md分组如下：

123456789(), (,,), (,,,,),dddddddddL(每组数的个数构成等差数列)．

设前m组中所有数之和为4()(0)mmcc，求数列{2}mcmd的前n项和nS．

（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当nN时，对于（Ⅱ）中的nS，求使得不等式

1(6)50nnSd成立的所有N的值．

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学测试题答案（理工类）

2011.4

一、选择题:

题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）

答案 A C A D A B C B

二、填空题:

题号 （9） （10） （11）

（12） （13） （14）

答案 1+2i 160 2 1 0.8 30o 6 4 232nn

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知可得2312sin4C.所以27sin8C.

因为在ABC中，sin0C，

所以14sin4C. ……………………………………6分

（Ⅱ）因为2ca，所以114sinsin28AC.

因为ABC是锐角三角形，所以2cos4C，52cos8A.

所以sinsin()BACsincoscossinACAC

14252148484378.

由正弦定理可得：37sinsinaBA，所以14a. …………………………13分

16．（本小题满分13分）

解法一：

（Ⅰ）因为 90PAD，所以PAAD.

又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PADI底面ABCDAD，