湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期开学摸底测试理数试题 Word版含解析
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2017-2018学年
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合2{|230}Axxx，{|ln(2)}Bxyx，则AB（ ）
A．(1,3) B．(1,3] C． [1,2)
D．(1,2)
【答案】C
考点：集合交集.
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.
2.已知20161()2iz（i是虚数单位），则z等于（ ）
A．-1 B．1 C．0
D．i
【答案】B
【解析】
试题分析：221(),12iii，即5042016411()()122ii.
考点：复数概念及运算.
3.设变量,xy满足约束条件22022010xyxyxy，则1yxsx的取值范围是（ ）
A．3[1,]4 B．1[,1]2 C．1[,2]2
D．1[,1]2
【答案】D
【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，分别将,,ABC三点坐标代入1yxsx，可得最小值为12，最大值为1.
考点：线性规划.
4.等比数列{}na中，182,4aa，函数128()()()()fxxxaxaxa，则'(0)f（ ）
A．62 B．92 C．122
D．152
【答案】C
考点：等比数列的基本概念.
5.已知函数()sin()(0,||)2fxx的最小正周期为，且其图像向左平移3个
单位后得到函数()cosgxx的图象，则函数()fx的图象（ ）
A．关于直线12x对称 B．关于直线512x对称
C．关于点(,0)12对称 D．关于点5(,0)12对称
【答案】C
【解析】
考点：三角函数图象与性质.
6. 已知边长为23的菱形ABCD中，60BAD，沿对角线BD折成二面角ABDC为120的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．25 B．26 C．27
D．28
【答案】D
【解析】
试题分析：如图所示，设两三角形外心分别为23,OO,球心为O，1120AOC,故132,3OOOO，球的半径为22237OC，故球的表面积为28.
O1BCDAOO3O2
考点：几何体外接球.
7.执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）
A．11?12S B．3?4S C．25?24S
D．137?120S
【答案】A
考点：算法.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．1136 B．3 C．533
D．433
【答案】B
【解析】
试题分析：由三视图可知,该几何体是由正三棱柱截取一部分所得,故体积为2113223224V.
考点：三视图.
9.已知2221(4)axexdx，若2016220160122016(1)()axbbxbxbxxR，则
20161222016222bbb的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1
D．e
【答案】B
【解析】
试题分析：222222-2-211111(4)4422axexdxxdxexdx.即2016(12)x.令0x，得01b，令12x，得20161222016011222bbb.
考点：定积分.
10.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0,1,2,2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平
局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为（ ）
A．516 B．916 C．15
D．25
【答案】D
考点：1.古典概型；2.条件概型.
11.已知直线980xy与曲线32:3Cyxpxx相交于,AB，且曲线C在,AB处的切线平行，则实数p的值为（ ）
A．4 B．4或-3 C．-3或-1
D．-3
【答案】B
【解析】
试题分析：'2323yxpx，设1122,,,AxyBxy，切线平行，即斜率相等，即可令
221122323323xpxxpxm，12,xx是方程23230xpxm的两个根，则1223xxp，下证线段AB的中点在曲线C上，因为32323111222332227xpxxxpxxpp，而
3231212122322227xxxxxxppp，所以线段AB的中点在曲线C上，由1223xxp知，线段的中点为111,8393pp，所以381292727ppp，解得1,3,4p，经验证，1p时，不符合题意，故选B.
考点：导数与切线.
【思路点晴】本题考察利用导数研究曲线上某点的切线方程，求解该题的关键是利用AB中点的坐标相等，关键是证明AB中点在曲线C上.求函数切线的步骤如下：第一先求函数的导数，然后求出在该点的导数，接着求出切点，然后利用点斜式'000yfxfxxx，即可得到切线方程.读题时要注意是“在某点的切线”，还是“过某点的切线”.
12.数列{}na满足143a，*11(1)()nnnaaanN且12111nnSaaa，则nS的整数部
分的所有可能值构成的集合是（ ）
A．{0,1,2} B．{0,1,2,3} C．{1,2}
D．{0,2}
【答案】A
考点：数列.
【思路点晴】这个是递推数列求通项的问题，首先由11(1)nnnaaa两边取倒数，得111111nnnaaa，累加得1111113111nnnSaaa，然后通过列举123413133,,3981aaa，和211(1)0,nnnnnaaaaa，na为单调递增数列，判断出可以取0,1，由于11331nnSa，故不能取3，根据选项可有A正确.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.已知03sinmxdx，则二项式(23)mabc的展开式中23mabc的系数为 .
【答案】6480
考点：二项式定理.
14.已知等差数列{}na的前n项和nS满足350,5SS，数列21211{}nnaa的前2016项的和为 .
【答案】20164031
【解析】
试题分析：111330,5105,1,1,2nadadadan,2121112321nnaann
11122321nn,故201611140322016124031240314031S.
考点：裂项求和法.
15.已知AD是ABC的中线，(,)ADABACR，0120,2AABAC，则||AD的最小值是 .
【答案】1
【解析】
试题分析：cosABACbc，4bc，222211142242ADABACcbbc
1．
考点：向量运算.
【思路点晴】AD是ABC的中线，则1122ADABAC，这个公式可以作为一个常用的结论记忆下来.利用两个向量数量积的概念，可将cos1202,4ABACbcbc，要求的是||AD的最小值，要能够运算，必须先对其进行平方，化为222211424ADABACcb，然后考虑基本不等式，有221142142cbbc，最后两边开方.
16.已知函数1()3(3)lnfxmxmxx，若对任意的(4,5)m，12,[1,3]xx，恒有12(ln3)3ln3|()()|amfxfx成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】37,6
考点：函数导数.
【思路点晴】恒成立问题主要解题思路是划归与转化的思想.本题中，任意的(4,5)m，12,[1,3]xx，恒有12(ln3)3ln3|()()|amfxfx成立，等价于maxmin(ln3)3ln3amfxfx.经过划归之后，问题就转化为求函数fx的最大值和最小值问题，可以通过导数来解决.在问题的最后，还需要用分离常数的方法来计算.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知ABC中，(01)BDBC，3cos5C，2cos10ADC.
（1）若5,7ACBC，求AB的大小；
（2）若7,10ACBD，求ABC的面积.
【答案】（1）42；（2）42.
