第六章方差分析(3)

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第六章 方差分析

第一节 方差分析的基本原理

上章介绍了1个或两个样本平均数的假设测验方法。本章将介绍k(k≥3)个样本平均数的假设测验方法，即方差分析(analysis of variance)。方差分析就是将总变异剖分为各个变异来源的相应部分，从而发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一种统计分析方法。其中，扣除了各种试验原因所引起的变异后的剩余变异提供了试验误差的无偏估计，作为假设测验的依据。因而，方差分析象上章的t测验一样也是通过将试验处理的表面效应与其误差的比较来进行统计推断的，只不过这里采用均方来度量试验处理产生的变异和误差引起的变异而已。方差分析是科学的试验设计和分析中的一个十分重要的工具。本章将在介绍方差分析基本原理和方法的基础上进一步介绍数学模型和基本假定。

一、自由度和平方和的分解

方差是平方和除以自由度的商。要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先必须将总自由度和总平方和分解为各个变异来源的相应部分。因此，自由度和平方和的分解是方差分析的第一步。下面先从简单的类型说起。设有k组数据，每组皆具n个观察值，则该资料共有nk个观察值，其数据分组如表。

表 每组具n个观察值的k组数据的符号表

组别 观察值(ijy，i=1，2，…，k；j=1，2，…，n) 总和 平均 均方

1 11y 12y … jy1 … ny1 1T 1y 21s

2 21y 22y … jy2 … ny2 2T 2y 22s

   …  …    

i 1iy 2iy … ijy … iny iT iy 2is

2    …  …    

k 1ky 2ky … kjy … kny kT ky 2ks

yyTij y

在表中，总变异是nk个观察值的变异，故其自由度1nk，而其平方和TSS则为：

nknkijijTCyyySS1122)(

心理与教育统计学

卢春明北京师范大学认知神经科学与学习研究所chmlubnu@ 第六章方差分析总体11总体22

样本11X样本22X总体33

样本33X总体11样本1样本21X2X处理样本33X处理为什么需要方差分析？多重t检验的问题多个样本平均数之间的两两比较称为多重比较。如果仍然采用前面两个样本平均数比较的t检验进行多重比较的话，将会增加犯错误的概率。例如，有4个样本，两两组合则是=6，如果用它检验6次，且每一次的=0.05，那么，每一次检验不犯错误的概率为（1-0.05），6次都不犯错误的概率为（1-0.05）6，这时总的检验水平变成了1-（1-0.05）6=0.26，比0.05

大多了。42C方差分析与t检验的比较：相同：方差分析和t检验都可以用于检验总体平均数的问题二者都是基于样本的数据来检验关于总体的假设不同：t检验只能用于两个以下的样本的情况；方差分析可以用于两个或两个以上的样本的情况，而且可以检验不同变量之间的交互作用因此，具有更大的灵活性方差分析利用了方差，而不是平均数之间的差异。即将”平均数之间是否存在差异“的检验转化为”是否存在变异“的检验。为什么用方差？

时间

治疗方法治疗前治疗后（立即）治疗后（6个月）组1M11= 20M12 = 30M13 = 35组2M21 = 28M22 = 30M23 = 31

用样本平均数如何描述三个处理之间的差异？可以用方差来描述平均数之间的离散程度（S21=58.33；S21=2.33）所以，方差分析用方差来比较样本之间的差异。异偶然误差引起的期望差样本平均数之间的差异t

偶然引起的期望方差样本间的方差(差异）F如何使用方差（方差分析的基本思想）？被试A被试B141528273939411410512512AXBX

8.8AX7.92AS6.8BX3.72BS被试教学方法一被试教学方法二16112272143103154114175135194.9

第六章，第三、四次课 多重比较和第二节单因素方差分析

在试验中所考虑的因素只有一个时，称为单因素实验。

单因素方差分析是最简单的一种，它适用于只研究一个试验因素的资料，目的在于正确判断该试验因素各处理的相对效果（各水平的优劣）.

组内观测次数相等的方差分析：是指在k组处理中，每一处理皆含有n个观测值，其方差分析方法前面已做介绍，这里以方差分析表的形式给出有关计算公式：

组内观测次数相等的方差分析

例：测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州5个地区黄鼬冬季针毛的长度，每个地区随机抽取4个样本，测定的结果如表，试比较各地区黄鼬针毛长度差异显著性。

地区 东北 内蒙古 河北 安徽 贵州 合计

1 32.0 29.2 25.2 23.3 22.3

2 32.8 27.4 26.1 25.1 22.5

3 31.2 26.3 25.8 25.1 22.9

4 30.4 26.7 26.7 25.5 23.7

和 126.4 109.6 104.1 99.0 91.4 530.5

平均 31.60 27.40 26.03 24.75 22.85 26.53 se2 k(n-1) SSe 误差或处理内

nk-1 SST 总和 st2 k-1 SSt 处理间 F 均方 自由度 平方和 变异来源

F＝ st2

se2

X2和 3997.44 3007.99 2709.98 2453.16 2089.64 14258.21

1）分解平方和和自由度

＝186.7-173.71＝12.99

作方差分析

F测验

查F 值表，得F0.05 (4,15) ＝3.06， F0.01 (4,15) ＝4.89，故F >F0.01 ，P < 0.01，说明5个地区黄鼬冬季针毛长度差异极显著。

不同地区黄鼬冬季针毛长度方差分析表

变异来源 SS df s2 F F0.05 F0.01

地区间

地区内 173.71

1第6章⽅差分析

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第6章 ⽅差分析

⽅差分析是R. A. Fister 发明的，⽤于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验. 由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，⼀是不可控的随机因素，另⼀是研究中施加的对结果形成影响的可控因素. ⽅差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献⼤⼩，从⽽确定可控因素对研究结果影响⼒的⼤⼩.6.1 单因素⽅差分析

我们把在实验中或在抽样时发⽣变化的“量”称为因素或因⼦. ⽅差分析的⽬的就是分析因⼦对实验或抽样的结果有⽆显著影响. 如果在实验中变化的因素只有⼀个，这时的⽅差分析称为单因素⽅差分析；在实验中变化的因素不只⼀个时，就称多因素⽅差分析. 双因素⽅差分析是多因素⽅差分析的最简单情形.

因⼦在实验中的不同状态称作⽔平. 如果因⼦A 有r 个不同状态，就称它有r 个⽔平. 我们针对因素的不同⽔平或⽔平的组合，进⾏实验或抽取样本，以便了解因⼦的影响. 当⽅差分析的影响因⼦不唯⼀时，必要注意这些因⼦间的相互影响. 如果因⼦间存在相互影响，我们称之为“交互影响”；如果因⼦间是相互独⽴的，则称为⽆交互影响. 互影响有时也称为交互作⽤，是对实验结果产⽣作⽤的⼀个新因素，分析过程中有必要将它的影响作⽤也单独分离开来.6.1.1 单因素⽅差分析的模型假设

设某单因素A 有r 种⽔平：1A ，2A ，…，r A ，在每种⽔平下的试验结果服从正态分布2(,)i N µσ（1,2,,i r = ）. 在各⽔平下分别独⽴做了i n （1,2,,i r = ）次试验，所得数据见表，

其中ij x 表⽰表⽰第i 种⽔平下第j 个试验数据. 判断因素A 对试验结果是否有显著影响. 这⾥我们假定各种⽔平下的试验结果有相同的标准差σ. 单因素⽅差分析问题可以归结为以下的假设检验: 012:r H µµµ=== 1:H 12,,,r µµµ 不全相等 表6-1 单因⼦试验表