高二数学下期末

北大附中焦作校区高二数学（理科）期末模拟试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 计算2)1(i

A. 2i B. -2i C. 2+2i D. 1+2i

2. 若质点M按规律2ts运动，则t=2时的瞬时速度为

A. 1 B. 2 C. 4 D. 6

3. 计算102dxx

A. 2 B. 1 C. 21 D. 31

4. 若iaaaaz)23(222为纯虚数，则实数a的值为

A. 1 B. 2 C. -2 D. 1或-2

5. 甲有三本不同的书，乙去借阅，且至少借1本，则不同借法的总数为

A. 9 B. 7 C. 6 D. 3

6. 已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且6826.0)42(XP，则)4(XP

A. B. 0.1587 C. D.

7. 533)1()21(xx的展开式中x的系数是

A. -4 B. 4 C. -2 D. 2

8. 已知定义在R上的函数)(xf的图象关于点)0,43(对称，且满足)23()(xfxf，1)1(f，2)0(f，则)2011()3()2()1(ffff

A. 1 B. 0 C. -1 D. -2

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 请把答案填在题中横线上.

9. 已知复数iz43，则||z ▲ .

10. 某位母亲通过记录她儿子3到9岁的身高，建立了身高y(cm)与年龄x(岁)的回归方程45.6020.7ˆxy，她用这个模型预测儿子10岁时的身高大约是

▲ cm.

11. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则至多有1名女生参加演讲比赛的概率为 ▲ .

12. 在极坐标系（?，?）（20）中，曲线sin2与1cos的交点的极坐标为 ▲ .

13. 已知⊙O的方程为sin22cos22yx（?为参数），则⊙O上的点到直线tytx11（t为参数）的距离的最大值为 ▲ .

14．观察下列式子：232112，353121122，474131211222，…，根据以上式子可以猜想：2222011131211 ▲ .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15．（本小题满分12分）已知函数xxxfsin)(.

（1）求函数)(xf的导数；（2）求曲线)(xfy在点M（?，0）处的切线方程.

16．（本小题满分12分） 为了了解某市创建文明城市过程中，学生对创建工作的满意情况，相关部门对某中学的100名学生进行调查，得到如下的统计表：

满意 不满意 合计

男生 50

女生 15

合计 100

已知在全部100名学生中随机抽取1人对创建工作表示满意的概率为54.

（1）利用概率估计统计表中的空白处相应的数据，并请填在统计表中；

（2）能否有%的把握认为该中学的学生对创建工作的满意情况与性别有关

附：

)(2kKP

k

))()()(()(22dbcadcbabcadnK.

17．（本小题满分14分）

已知数列}{na的第1项11a，且)(1*1Nnaaannn.

（1）计算2a，3a，4a；

（2）猜想na的表达式，并用数学归纳法进行证明.

18．（本小题满分14分）

圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与底面半径应怎样选择，才能使所用材料最省

19．（本小题满分14分）

袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球.

（1）若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率；

（2）若无放回地取3次，每次取1个球，

①求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率；

②求取出的红球数X的分布列和数学期望.

20．（本小题满分14分）

已知函数)1(12)(axxaxfx.

（1）讨论函数)(xf的单调性；

（2）函数)(xf是否有负零点，若有，请求出负零点；若没有，请予以证明.

高二数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题

题号 1 2 3 4

5 6 7 8

答案 A C D C B B D A

二、填空题9. 5 10. 11. 5412. )4,2( 13. 23 14. 20114021

三、解答题15．（本小题满分12分） 解：（1）22sincos1sincos)(xxxxxxxxxf. （4分）

（2）由（1）得在点M（?，0）处的切线的斜率1sincos)(2fk，（8分）

所以在点M（?，0）处的切线方程为)(10xy，即1xy. （12分）

16．（本小题满分12分）

解：（1）填统计表如下： （6分）

满意 不满意 合计

男生 50 5 55

女生 30 15 45

合计 80 20 100

（2）091.945552080)3051550(100))()()(()(222dcbadbcabcadnK. （10分）

因为879.7091.92K，所以有%的把握认为该中学的学生对创建工作的满意情况与性别有关.

（12分）

17．（本小题满分14分）解：（1）由题意，当n=1时，11a；

当n=2时，211111112aaa； （1分） 当n=3时，31211211223aaa； （2分）

当n=4时，41311311334aaa. （3分）

（2）猜想)(1*Nnnan. （6分）

①当n=1时，猜想显然成立； （8分）

②假设当n=k（*Nk）时猜想成立，即kak1， （9分）

那么，1111111kkkaaakkk， （11分）

所以，当n=k+1时猜想也成立. （12分）

根据①和②，可知猜想对任何*Nn都成立. （14分）

18．（本小题满分14分）

解：如图，设圆柱的高为h，底面半径为R，

则表面积RhRS222. （2分）

由圆柱的体积hRV2，得2RVh， （4分）

因此RVRRVRRRS2222)(222•（R>0）. （6分）

224)(RVRRS， （8分）

令024)(2RVRRS，解得32VR. （9分） 因为，当)2,0(3VR时，0)(RS；当),2(3VR时，0)(RS； （11分）

所以，32VR是函数)(RS的极小值点，也是最小值点，此时，RVRVh22232.

（13分）

故当罐高是底面半径的2倍时，所用材料最省. （14分）

19．（本小题满分14分）解：（1）记“取出1个红球2个黑球”为事件A，根据题意有

343144)74(73)(213CAP.

答：取出1个红球2个黑球的概率是343144. （4分）

（2）①方法一：记“在前2次都取出红球”为事件B，“第3次取出黑球”为事件C，则716723)(BP，354567423)(BCP，所以5471354)()()|(BPBCPBCP.

方法二：54523423)()()|(BnBCnBCP.

答：在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率是54. （8分）

②随机变量X的所有取值为0，1，2，3. hR 354)0(373334AACXP，3518)1(37331324AACCXP，

3512)2(37332314AACCXP，351)3(373333AACXP.

随机变量X的分布列如下：

所以79351335122351813540EX. （14分）

20． 解：（1）函数)(xf的定义域为),1()1,(. （1分）

2)1(3ln)(xaaxfx， （3分）

因为1a，所以0xa，0lna；又1x，0)1(32x.

所以，当)1,(x时，0)(xf；当),1(x时，0)(xf. （4分）

故函数)(xf在（-?，-1）和（-1，+?）上是单调递增的. （5分）

（2）函数)(xf没有负零点. （7分）

方法一：

11312)(xaxxaxfxx （8分）

当1x时，因为0xa，013x，所以1)(xf （9分）

故函数)(xf在（-?，-1）上没有零点； （10分）

当01x时，

因为函数)(xf在（-1，+?）上是单调递增的，

所以，当01x时，)0()(fxf，又11103)0(0af，（11分）

所以1)(xf， （12分）

故函数)(xf在（-1，0）上没有零点. （13分） 综上可知，函数)(xf没有负零点. （14分）