第六章方差分析的基本原理

方差分析的原理
（1）方差分析的概念
方差分析的目的是推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。

当我们用多个t 检验来完成这一过程时，相当于从t 分布中随机抽取多个t 值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了Ⅰ型错误的概率。

我们可以把方差分析看作t 检验的增强版。

（2）方差的可分解性
方差分析依据的基本原理就是方差的可加性原则。

作为一种统计方法，方差分析把实验数据的总变异分解为若干个不同来源的分量。

数据的变异由两部分组成： 组内变异：由于实验中一些希望加以控制的非实验因素和一些未被有效控制的未知因素造成的变异，如个体差异、随机误差
组内变异是具体某一个处理水平之内的，因此在对总体变异进行估计的时候不涉及研究的处理效应。

组间差异：不仅包括组内变异的误差因素，还包括了是不同组所接受的实验处理不同造成的影响
如果研究数据的总变异是由处理效应造成的，那么组间变异在总变异中应该占较大比例。

B M S 表示组间方差，B B B
SS M S df =，1B df k =-，k 表示实验条件的个数 W
M S 表示组内方差，W
W W SS M S df =，()1W df k n =-，n 表示每种实验条件中的被试个数
（3）方差分析的基本假定
①样本必须来自正态分布的总体
②每次观察得到的几组数据必须彼此独立 ③各实验处理内的方差应彼此无显著差异
为了满足这一假定，我们可采用最大F 比率法2m ax m ax 2m in s F s ，求出各样本中方差最
大值与最小值的比，通过查表判断。

文章来源：博仁教育。

第六章 方差分析第一节 方差分析的基本原理上章介绍了1个或两个样本平均数的假设测验方法。

本章将介绍k (k ≥3)个样本平均数的假设测验方法，即方差分析(analysis of variance)。

方差分析就是将总变异剖分为各个变异来源的相应部分，从而发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一种统计分析方法。

其中，扣除了各种试验原因所引起的变异后的剩余变异提供了试验误差的无偏估计，作为假设测验的依据。

因而，方差分析象上章的t 测验一样也是通过将试验处理的表面效应与其误差的比较来进行统计推断的，只不过这里采用均方来度量试验处理产生的变异和误差引起的变异而已。

方差分析是科学的试验设计和分析中的一个十分重要的工具。

本章将在介绍方差分析基本原理和方法的基础上进一步介绍数学模型和基本假定。

一、自由度和平方和的分解方差是平方和除以自由度的商。

要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先必须将总自由度和总平方和分解为各个变异来源的相应部分。

因此，自由度和平方和的分解是方差分析的第一步。

下面先从简单的类型说起。

设有k 组数据，每组皆具n 个观察值，则该资料共有nk 个观察值，其数据分组如表。

表 每组具n 个观察值的k 组数据的符号表组别 观察值(ij y ，i =1，2，…，k ；j =1，2，…，n )总和平均均方 1 11y 12y … j y 1… n y 1 1T 1y 21s221y22y… j y 2… n y 22T2y22s……i1i y2i y…ij y…in yi Ti y2i s……k1k y 2k y … kj y … kn y k T k y2s∑∑==y y T ijy在表中，总变异是nk 个观察值的变异，故其自由度1-=nk ν，而其平方和T SS 则为：∑-∑=-=nknkijij T C y y y SS 1122)( （6·1） (6·1)中的C 称为矫正数：nkT nk y C 22=∑=)( (6·2) 这里，可通过总变异的恒等变换来阐明总变异的构成。

第六章方差分析第一节方差分析概述一.方差分析的定义［用途］定义:用途方差分析也称为变异数分析，是在教育与心理研究中最常用的变量分析方法，其主要功能在于分析测量或实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定测量或实验中因素对反应变量是否存在显著影响。

即用于置信度不变情况下的多组平均数之间的差异检验。

它既可以比较两个以上的样本平均数的差异检验，也可以应用于一个因素多种水平以及多个因素有多种水平的数据分析。

二.方差分析的作用方差分析主要应用于两种以上实验处理的数据分析，同时匕徽两个以上的样本平均数，推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。

在这个意义，也可以将其理解为平均数差异显著性检验的扩展。

当我们用多个t检验来完成这一过程时，相当于从t分布中随机抽取多个t值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了I型错误的概率，我们可以把方差分析看作t检验的增强版。

方差分析一次检验多组平均数的差异，降低了多次进行两组平均数检验所带来的误差。

在进行方差分析时，设定的假设是综合虚无假设，即假设样本所归属的所有总体的平均数都相等。

如果检验的结果是存在显著性差异，只能说明多组平均数之间存在显著性差异，但是无法确定究竟哪些组之间存在显著性差异，此时需要运用事后检验的方法来确定。

三.方差分析的相关概念一（一）数据的变异（1）变异:统计中的变异是普遍存在的7一般意义上的变异是指标志（包括品质标志和数量标志）在总体单位之间的不同表现。

可变标志的属性或数值表现在总体各单位之间存在的差异，统计上称之为变异,这是广义上的变异，即包括了品质标志和数量标志，有时仅指品质标志和在总体单位之间的不同表现。

注：随机性，即变异性。

（2）组间变异［组间差异］:组间变异表示处理间变异，主要指由于接受不同的实验处理（实验处理效应）而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差来表示，可将组间离差平方和记为SS AO组间差异可用组间方差来表征，用符号MS B表示。

方差分析的基本原理是什么
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个不同组之间的平均值是否存在显著差异。

其基本原理是通过对数据的方差进行分解，将总平方和分解为组内平方和和组间平方和，从而判断不同组之间的差异是否超过了由随机因素引起的差异。

具体步骤如下：
1. 假设组间和组内的观测值都来自于正态分布的总体，并且方差相等（方差齐性）。

2. 计算组内平方和（误差平方和），即每个组内观测值与该组的平均值之差的平方和。

3. 计算组间平方和（效应平方和），即每组平均值与总体均值之差的平方和乘以每组样本量。

4. 比较组间和组内的方差大小，通过计算F统计量来衡量两
者之间的差异。

5. 根据显著性水平（如α=0.05），比较计算得到的F值与临
界F值进行比较，判断差异是否显著。

6. 若差异显著，则可以得出结论：不同组之间的平均值存在显著差异。

方差分析能够帮助研究者确定实验结果的可靠性和效应的大小，以及不同因素对结果的影响程度。

它广泛应用于各个领域的实验设计和数据分析中。

方差分析的原理方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或三个以上组的均值是否相等。

它是一种用于检验组间差异是否显著的方法，通常用于实验设计和数据分析中。

方差分析的原理基于对组间差异和组内差异的分解，通过比较组间变异和组内变异的大小来判断组间均值是否有显著差异。

方差分析的原理可以通过以下步骤来解释，首先，假设我们有多个组，每个组都有一定的样本量和均值。

我们想要知道这些组的均值是否有显著差异。

方差分析的原理就是通过计算组间变异和组内变异来判断这一点。

具体来说，方差分析的原理包括以下几个步骤：1. 计算组内变异，首先，我们计算每个组内观察值与该组均值的偏差平方和。

这个偏差平方和反映了每个组内观察值与该组均值之间的差异程度。

2. 计算组间变异，然后，我们计算每个组均值与总体均值的偏差平方和。

这个偏差平方和反映了每个组均值与总体均值之间的差异程度。

3. 比较组间变异和组内变异，接下来，我们比较组间变异和组内变异的大小。

如果组间变异显著大于组内变异，说明组间均值存在显著差异；反之，如果组间变异远小于组内变异，说明组间均值之间没有显著差异。

4. 判断显著性，最后，我们通过F检验或t检验来判断组间均值是否有显著差异。

如果F值或t值大于一定的临界值，我们就可以拒绝原假设，认为组间均值存在显著差异；反之，如果F值或t值小于临界值，我们就不能拒绝原假设，认为组间均值之间没有显著差异。

方差分析的原理是基于对组间差异和组内差异的分解，通过比较组间变异和组内变异的大小来判断组间均值是否有显著差异。

它是一种常用的统计方法，可以帮助研究者判断不同组之间的差异是否显著，对于实验设计和数据分析具有重要意义。

通过深入理解方差分析的原理，我们可以更好地应用这一方法，从而更准确地进行数据分析和实验设计。

统计学中的方差分析方差分解原理统计学中的方差分析方差分解原理统计学中的方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组别之间的均值差异是否显著。

方差分析可以帮助我们确定自变量对因变量的影响力，同时也可以进行方差分解，从而解释观测数据中的差异。

一、方差分析的基本原理方差分析基于总体均值模型，假设总体均值为μ，而其中的不同组别（A、B、C等）的均值分别为μA、μB、μC等。

我们的目标是确定组别之间的均值差异是否显著，即是否存在统计上的差异。

方差分析通过计算组内方差(SSE)和组间方差(SSA)来判断差异的显著性。

组内方差反映了组别内个体差异对总体差异的贡献，而组间方差则反映了不同组别均值之间的差异。

如果组间方差显著大于组内方差，则可以认为不同组别的均值差异是显著的。

二、方差分解原理方差分解是指将总体方差(总方差)分解为不同来源的方差组成部分。

在方差分析中，总方差可以分解为组内方差和组间方差，从而揭示组别之间的差异贡献。

1. 总方差总方差(SSTotal)表示了观测数据整体的离散程度。

它是每个观测数据与总体均值之差的平方和，即SSTotal = Σ(xi - X)^2，其中xi为第i个观测数据，X为总体均值。

2. 组内方差组内方差(SSE)表示了组别内个体之间的离散程度。

它是每个观测数据与所在组别均值之差的平方和的总和，即SSE = Σ(xi - X i)^2，其中xi为第i个观测数据，X i为第i个组别的均值。

3. 组间方差组间方差(SSA)表示了不同组别之间的离散程度。

它是每个组别均值与总体均值之差的平方和的总和，即SSA = Σ(ni * (X i - X)^2)，其中ni为第i个组别的样本量，X为总体均值，X i为第i个组别的均值。

通过对总方差的分解，我们可以得到方差分析的F值，用于判断组间方差是否显著大于组内方差。

如果F值大于临界值，即说明组别之间的均值差异是显著的。

三、方差分析的假设条件在进行方差分析时，需要满足以下假设条件，以保证结果的可靠性：1. 独立性：样本间相互独立，每个样本在分析过程中不会相互影响；2. 正态性：每个组别的样本符合正态分布；3. 方差齐次性：各组别的方差相等。

方差分析的原理及依据
方差分析是一种统计学方法，用于比较两个或多个组的平均值是否有显著差异。

方差分析的原理及依据是基于正态分布的假设，即每个组的数据符合正态分布，并且组间、组内的方差相等。

方差分析的原理：
方差分析的原理是通过比较组间方差与组内方差来判断不同组别之间是否有显著差异。

其中组间方差是指各组样本均值与总均值之间的差异，而组内方差则是指各样本值与对应组样本均值之间的差异。

在正态分布假设下，这两种方差是服从F分布的，因此可以通过计算组间方差与组内方差的比值F值，来确定不同组别之间是否有显著差异。

方差分析的依据：
方差分析的依据主要是基于以下假设：
1. 各组的数据是独立的。

2. 各组的数据符合正态分布。

3. 各组的方差相等。

基于这些假设，方差分析可以推导出各组均值之间的差异是否为随机变异的结果。

如果差异不是由随机变异引起的，而是由于不同组别之间确实存在差异，那么这些差异就是有意义的，需要对其进行进一步分析。

通过方差分析，可以找出不同组别之间的差异，并确定哪些因素对组别之间的差异产生了影响。

例如，在生产过程中，通过分析不同生产批次之间的质量差异，可以找出影响质量的因素，并进一步进行改进。

在医学研究中，通过比较不同药物治疗组之间的效果，可以找出哪种药物最为有效，并为临床应用提供依据。

总之，方差分析作为一种统计学方法，在各个领域都具有重要的应用价值。

通过对不同组别之间的差异进行分析，可以为相关领域的决策和实践提供有力的支持。

SSt==-∑C nT i 7.4428.1520764378323352335356=-++++ SSe=SST-SSt=603.2-442.7=160.5 进而计算各部分方差：68.11047.4422==t s 7.10155.1602==e s二、F 分布与F 检验1．F 分布设想在一正态总体N （μ，σ2）中随机抽取样本含量为n 的样本k 个，将各样本观测值整理成表6-1的形式。

此时的各处理没有真实差异，各处理只是随机分的组。

因此，由上式算出的2t S 和2e S 都是误差方差2σ的估计量。

以2e S 为分母，2t S 为分子，求其比值。

统计学上把两个方差之比值称为F 值。

即 22/e t S S F =F 具有两个自由度：)1(,121-==-==n k df k df e t νν。

F 值所具有的概率分布称为F 分布。

F 分布密度曲线是随自由度df 1、df 2的变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着df 1、df 2的增大逐渐趋于对称，如下图所示。

F 分布的取值范围是（0，+∞），其平均值F μ=1。

用)(F f 表示F 分布的概率密度函数，则其分布函数)(αF F 为：⎰0=<=αααF dF F f F F P F F )()()(因而F 分布右尾从αF 到+∞的概率为：⎰+∞=-=≥αααFdF F f F F F F P )()(1)(附表F 值表列出的是不同1ν和2ν下，P (F ≥αF )=0.05和P (F ≥αF )=0.01时的F 值，即右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F 值，一般记作F 0.05，F 0.01。

如查F 值表，当v 1=3，v 2=18时，F 0.05=3.16，F 0.01=5.09，表示如以v 1=df t =3，v 2=df e =18在同一正态总体中连续抽样，则所得F 值大于3.16的仅为5%，而大于5.09的仅为1%。

2．F 测验F 值表是专门为检验2t S 代表的总体方差是否比2e S 代表的总体方差大而设计的。

第六章第⼀节⽅差分析基本原理教学内容及组织安排：教学内容及组织安排：回顾卡⽅检验和T检验讲授的有关知识，引进⽅差分析的概念。

第六章⽅差分析⽅差分析的定义⽅差分析(Analysis of variance，ANOV A)：⼜叫变量分析，是英国著名统计学家R . A . Fisher于20世纪提出的。

它是⽤以检验两个或多个均数间差异的假设检验⽅法。

它是⼀类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的⼀种引伸。

⽅差分析的基本功能t检验法适⽤于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验，但在⽣产和科学研究中经常会遇到⽐较多个处理优劣的问题，即需进⾏多个平均数间的差异显著性检验。

这时，若仍采⽤t检验法就不适宜了。

这是因为：1、检验过程烦琐例如，⼀试验包含5个处理，采⽤t检验法要进⾏ =10次两两平均数的差异显著性检验；若有k个处理，则要作 k(k-1)/2次类似的检验。

2、⽆统⼀的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低对同⼀试验的多个处理进⾏⽐较时，应该有⼀个统⼀的试验误差的估计值。

若⽤ t 检验法作两两⽐较，由于每次⽐较需计算⼀个，故使得各次⽐较误差的估计不统⼀，同时没有充分利⽤资料所提供的信息⽽使误差估计的精确性降低，从⽽降低检验的灵敏性。

例如，试验有5个处理，每个处理重复6次，共有30个观测值。

进⾏t检验时，每次只能利⽤两个处理共12个观测值估计试验误差，误差⾃由度为 2(6-1)=10 ；若利⽤整个试验的30个观测值估计试验误差，显然估计的精确性⾼，且误差⾃由度为5(6-1)=25。

可见，在⽤t检法进⾏检验时，由于估计误差的精确性低，误差⾃由度⼩，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。

3、推断的可靠性低，检验的 I 型错误率⼤即使利⽤资料所提供的全部信息估计了试验误差，若⽤t 检验法进⾏多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互⽐较的两个平均数的秩次问题，因⽽会增⼤犯 I型错误的概率，降低推断的可靠性。