香港物理奥林匹克竞赛辅导资料--库仑定理,电场,电势场,叠加原理

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1 库仑定理，电场，电势场，叠加原理

点电荷q的电场为

3|'|)'()(rrrrkqrE,其中04/1k (1)

点电荷 q 作用于在r处的试验电荷 e 的力为

)(rEe。此乃库仑定理，由实验结果总结而来。

电势场

|'|)(rrkqrV (2).

在r处的试验电荷 e 的 势能为)(reV。

21)()(12rrldErVrV (3)

和积分路径无关.

电场，电势场叠加原理（由实验结果总结而来）

如电荷分布为 )'(r, 则在 r处的电势场

'|'|)'('''|'|)'()(dvrrrkdzdydxrrrkrV (4)

电场为

'|'|)')('('''|'|)')('()(33dvrrrrrkdzdydxrrrrrkrE (5)

唯一性定理：显然，从（4）（5）式可见，如果)'(r已给定，则V(r) 和 )(rE是唯一的。此说法反过来也成立，但光从该式子不易看到。下面会详细讲述。

2 高斯定律

高斯定律

SdEQS0 (6)

这里 E是总电场, 但 Q 是包在面 S里的总电荷。用散度定理dvESdEvS)(可得

微分形式: 0/zEyExEEzyx (6a)

例-1: 用点电荷验证(6) 式. rrr''rqOrr12我爱奥赛网

取一半径为 r 的球面，以点电荷所在位置 0'r为球心，则电场在球面任何电均于球面垂直，其值为2rkq. 球面面积为24r, 因此

02244qkqrkqrSdES 得证

高斯定律在一些具对称性的问题很有用。

例-2:

计算一无限长均匀带电导线的电场和电势。

解:

首先做对称性分析，可知电场沿径向并只和半径 r 有关.

如图取一高斯面，上下面无电场穿过，

穿过侧面的电通量为02LrLE. 由此的02rE.

同样电势V(r)也只和 r 有关. 取一积分路径沿径向从 r1 to r2, 可得

)ln(22)()(2100122121rrdrrdrErVrVrrrr 。

化简为 )ln(2)(0rrV。

ans.

3 导体

导体带有无穷的自由电荷（通常是电子加上一固定正电荷背景） 。达到稳态后导体内无电场，无电荷，整个导体为一等电势体，电荷都分布在导体表面。

处理导体这类问题的最大难处在于：我们只知道每个导体是等电势体，和其总带电量，但不知道电荷在导体表面的具体分布，从而无法利用上述的式子来得到空间的电场/势的分布。如果空间无电荷，则解决的方法是找方程0)(2rV符合所给边界条件的解。

镜像电荷

Uniqueness theorem: Given the potential on the surface of a closed space and the charge

distribution in the space, the potential (and electric field) in the space is uniquely determined.唯一性定理：在一闭合空间，如果已知在空间的电荷分布以及每个表面的电势，则电势/电场在空间的分布是唯一的。

例-3

在一维持在电势V的导体内有一小洞，里面放一点电荷q。 不管用哪个方法维持电势（接个电池，或放个电荷Q在一适当位置，等等），只要导体的电势V不变，小洞里的电场分布不会改变。

LrqQV1V2V3我爱奥赛网

同样，不管导体内部如何（拿走电荷q，小洞开大，变型，等等），只要能维持导体的电势V不变，导体外的电场分布也不变。ans.

例-4

导体表面电荷密度和压强

在离一面很近的位置，该面总可以被当作是一无穷大的平面。去一小方盒，一面在导体内，一面在导体外，用高斯定律很易证明导体外电场为0/E，并垂直于表面。

现在计算压强。考虑一小面（面积A）的受力。该力不等于 σEA, 因为E是包括了该小面上电荷的贡献的总电场。

小面产生的电场为 0/21E，指向两边。

其余的平面上的电荷应产生的电场为0/21E，指向右边。这样总电场才是 σ/ε0指向右边。

因此小面受力为AF2021， 压强为2021P。ans.

镜像电荷法: 在一闭合空间外用一电荷分布来产生和原来相同的电势边界条件，以便求出闭合空间内的电势/电场。

例-5 一点电荷q放在离 一接地无穷大平板导体d 处.

求电场。

解:

电场/势在 x < 0 为零。

在 x > 0的空间, 其边界在 x = 0，边界条件为 V(x = 0)

= 0。这一情形是由导体上的感应电荷和在x = d 的点电荷q共同引起的。

放一镜像点电荷 –q 在 x = –d 处。它处于所考虑的x > 0的空间以外，和q 一起也使V(x = 0) = 0，因此在x > 0的空间的电场和由这一对电荷所产生的一样。 ans.

注意：考虑电场/势在 x < 0时不能用点电荷 –q 在 x = –d，因为该空间原无电荷。

课余练习：完成余下的计算，求电场，板上感应电荷分布和总电荷，点电荷受板上电荷的力。

思考题：考虑电场/势在 x < 0时，其镜像电荷是什么？在何处？

4 数个导体，电容，电容器 x0q-q/0/21E0/21E021E0/21E我爱奥赛网

假设有三个导体 (1, 2, 3)，它们的电势分别为 Vi (i = 1, 2, 3) ，总带电量分别为Qi（i = 1,

2, 3），则可以证明（见补充材料《多导体问题》）

jjijiQPV31 (7),

其中 Pij = Pji ，并只和导体的形状和位置有关。 如有 n 个导体, 则 i 和 j 从 1 到 n.。注意 ：两导体之间的P12 会因为第三个导体的加入而改变（第三者效应）。

只有一个导体时, V = PQ, 令 C = 1/P ，定义为导体的电容.

如果导体-1 在导体-2内， 则 P12 不受其它导体影响 (可用唯一性定理证明)。该对导体形成一电容器。其它外部电荷对该对导体之间的电势差无影响。也就是说P1j = P2j, j >

2。 另外， P22 = P12（自己证明）。 通常令 Q1 = –Q2， 则 V2 = 0, V1 = (P11 – P12)Q1。电容器的电容为 C = 1/( P11 – P12)。

总能量: iNiiVQW121 (8).

对一电容器, 221CVW (8a).

例-6

一很小导体带电q放在离一球型导体中心d 处，球的半径为R (< d)。求球导体的电势。

解

利用 P12 = P21，可反过来求当球导体带电q，在小导体出的电势V = kq/d ans.

注意：球面上的电荷分部不会因为有小导体而变。如不是小导体则一般无法求解析解。

例-7

如图所示, 在离一半径为R的导体球球心 a

处有一半径为r，带电为 q > 0的导体细环。环面与球、环中心连线垂直。(04/1k)

(1) 球不带电时，求其电势。

(2) 球接地，求其带电量。

(3) 球的电势为V0, 求其带电量。

(4) 比较 (3) 和 (2), 求球对环的力的变化。

(5) 比较(1) 和(2), 求球对环的力的变化。

解:

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利用 P12 = P21，考虑球带电而环不带电时环的电势， 并注意到环上每点到球心的距离均为22ar。由于环所占的空间本来就是等电势的，所以将环放在那里不会使球上的电荷重新分布。（如果环面不与 球、环中心连线垂直，或者环是方的，等等，则无解析解。）因此问（1）的答案是 V=22/arkq。 (球面上会有一电荷分布 )(，其电场刚好在球内部将环上电荷产生的电场抵消。)

问(2), 将1q 放在球面上以抵消V=22/arkq，221//arkqVRq,

得221/arkRqq。1q是均匀分布在球面上的。

问(3), 2220//arkqRkqV, 得 2q。2q也均匀分布在球面上的。

问(4), 电荷差为12qq，并且均匀分布在球面上，求得力为2/32212222212)()()(arqqkaqaraarqqkqF

问 (5), 电荷差为1q,并且均匀分布在球面上，求得力2/3221)(arkaqqF。 ans.

5 电介质

外电场会极化介质的分子/原子，形成电偶极子。详细物理图象见一般教科书。

Polarization极化 P= 单位体积内的电偶极子

体束缚电荷密度Pb; 面束缚电荷密度Pnb, 其中n为面矢。

定义电位移PED0

高斯定理变成：SdDQSf；fD

注意：作用于电荷上的力仍然是)(rEe，电势和电场的关系也照旧Eq. (3)。

线性介质EP0。因此

EED00)1( (9)

ε 为介电常数。

边界条件： //2//1EE; (10a) fDD21 (10b).

广义唯一性定理：

在一闭合空间如果已知导体的位置、形状、电势/总电荷，介质的位置、形状和 介电常数， 以及空间的电荷分布，则电势场V(r)是唯一的，确定的。