高等数学B(上)复习资料

第1页 共23页 华南理工大学网络教育学院

《高等数学（上）》辅导

一、 求函数值

例题：

1、若2()fxx，()xxe，则(())fx ．

解：22(())()xxxfxfeee

2、若(1)21fxx，则()fx ．

解：令1xt，则1xt

所以()2(1)123fttt

即 ()23fxx

二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理

常见的等价无穷小：

0~sin~tan~arcsin~arctanxxxxxx时,

~ln(1)~xxxe-1

211cos~,2xx111~2xx

第2页 共23页 无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换

例题：

1、320sin3limxxx？

解：当0sin3~3xxx，，

原式=3200(3)limlim270xxxxx

2、0sin3limxxx？

解：原式=03lim3xxx

3、201-coslimxxx？

解：当210cos~2xxx，1-

原式=220112lim2xxx

第3页 共23页 4、0ln(13)limxxx？

解：当03)~3xxx，ln(1+

原式=.03lim3xxx.

5、201limxxex？

解：当201~2xxex，

原式=.02lim2xxx.

三、 多项式之比的极限

2lim03xxxx，2211lim33xxxx，23limxxxx

四、 导数的几何意义（填空题）

0()fx：表示曲线()yfx在点00(,())Mxfx处的切线斜率

曲线..()yfx..在点00(,())Mxfx处的切线方程为：

000()()()yfxfxxx

曲线()yfx在点00(,())Mxfx处的法线方程为：

第4页 共23页 0001()()()yfxxxfx

例题：

1、曲线44xyx在点(2,3)M的切线的斜率．

解：222(4)'(4)(4)(4)(4)xxxxxxyx

2282(4)xx

2、曲线cosxxye在点(0,1)M处的切线方程．

解：200(cos)'cos()()xxxxxxexeye

20sincos1()xxxxxexee

所以曲线cosxxye在点(0,1)M处的切线方程为：

1(0)yx，即10xy

3、曲线231yx在点(1,1)M处的切线方程．

解：53112233xxyx

第5页 共23页 所以曲线231yx在点(1,1)M处的切线方程为：

21(1)3yx，即2350xy

五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分

复合函数求导的链式法则：

ddd(),()[()]:dddyyuyfuugxyfgxxux

()()().yxfugx或

微分：()dyfxdx

例题：

1、设21yx，则'y？

解：1'222211121xyxxx

2、设2sinyx，则'y？

解：''222cos2cosyxxxx

3、设sin2xy，则dy？

解：''sinsin2ln2sin2cosln2xxyxx

第6页 共23页 则dysin2cosln2xxdx

4、设sinxye，则dy？

解：''coscosxxxxyeeee

所以cosxxdyeedx

5、设2xye，则dy？（答案：22xxedx）

六、 运用导数判定单调性、求极值

例题：

1、求lnyxx的单调区间和极值．

解：定义域(0,)x

令ln10yx，求出驻点1xe

x 1(0,)e 1e 1(,)e

y - 0 +

y 单调减 极小值点 单调增

函数的单调递减区间为1(0,]e，单调递增区间为1(,)e

极小值为11()yee．

第7页 共23页 2、求xyxe的单调区间和极值．

解：定义域(,)x

令(1)0xxxyexexe，求出驻点1x

x (,1) 1 (1,)

y + 0 -

y 单调增 极大值点 单调减

函数的单调递减区间为[1,)，

单调递增区间为(,1)，

极大值为1(1)ye．

3、求函数.2()xfxe.的单调区间和极值．

解：定义域(,)x

令2()2xfxxe，得0x

x (,0) 0 (0,)

y + 0

-

y 单调增 极大值点 单调减

单调递增区间：(,0)，单调递减区间：(0,)，

极大值为(0)1f．

4、求函数31()3fxxx的极值．答案：极小值为2(1)3y，

第8页 共23页 极大值为2(1)3y

七、 隐函数求导

例题：

1、求由方程2sin0xeyxy所确定的隐函数()yyx的导数dydx．

解：方程两边关于x求导，得：

2cos(2)0xeyyyxyy

即 2cos2xyeyyxy

2、求由方程cos()yxy所确定的隐函数()yyx的导数dydx．

解：方程两边同时关于x求导，得：

sin()(1)yxyy

即

sin()1sin()xyyxy

第9页 共23页

3、求由方程sin()yxy所确定的隐函数()yyx的导数dydx． 答案： cos()1cos()dyxydxxy

4、求由方程lnln0xyxy所确定的隐函数()yyx的导数dydx． 答案： dyydxx

八、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理

例题：

1、求极限011lim1sinxxex

解：原式0sin(1)lim(1)sinxxxxeex

20sin(1)limxxxex.0sin~,1~xxxxex　当时，.

0coslim2xxxex

0sinlim2xxxe

12

第10页 共23页

2、求极限30sinlimtanxxxx00

解：原式=30sinlimxxxx0tan~xxx　当时，

201coslim3xxx

=22012lim3xxx　2101cos~2xxx　当时，

16

3、求201limxxexx00 （答案：12）

九、 原函数、不定积分的概念及其性质

知识点：

设()()Fxfx，则称()Fx是()fx的一个原函数，()FxC是()fx的全体原函数，且有：

()()fxdxFxC

例题：

第11页 共23页 1、( )是函数33xx的原函数．

A．233x B．421342xx C．42xx D．421142xx

解：因为42313342xxxx

所以421342xx是33xx的原函数．

2、( )是函数2cosxx的原函数．

A．22sinx B．22sinx C．21sin2x D．21sin2x

解：因为22211sin(cos)2cos22xxxxx

所以21sin2x是2cosxx的原函数．

3、x 是( )的原函数

A．12x B．12x C．lnx D．3x

解：因为12xx

所以x是12x的原函数．

第12页 共23页

4、( )是函数1x的原函数．

A．21x B．21x C．lnx D．ln||x

解：因为1ln||xx

所以ln||x是1x的原函数．

十、 凑微分法求不定积分（或定积分）

简单凑微分问题：2xedx，sin4xdx，cos5xdx,lnlnxdx

一般的凑微分问题：21xdxx，223xxdx，sin1cosxdxx，lnxdxx

例题：

1、21xdxx

解：注意到2(1)2xx

原式=2211121dxx12dxxCx参考公式

1221xC

第13页 共23页

2、223xxdx

解：注意到2(23)6xx

原式221=23(23)6xdx3223xdxxC参考公式

=231(2-3)9xC

3、sin1cosxdxx

解：注意到(1cos)sinxx

原式1=(1cos)1cosdxx1ln||dxxCx参考公式

=ln|1cosx|C

4、5xedx

解：原式=5(5)xedxxxedxeC参考公式

=5xeC

5、cos5xdx