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数值分析第五章习题

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郑州大学研究生课程（2012-2013学年上学期） 数值分析Numerical Analysis

- 1 -

第五章 习 题

1. 用高斯消去法解方程组

1

2

32340

1192

1261x

x

x⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦

2. 用LU分解，将第1题中的系数矩阵分解为L和U的乘积，L是对角线元素为1的下三角矩阵，U是上三角矩阵.

3. 用平方根法和TLDL分解为求解方程组

123

12

13325

223

34xxx

xx

xx++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩

4. 证明 （1）两个下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵. （2）下三角矩阵之逆仍为下三角矩阵. 5. 用列主元素消去法解方程组

123

123

123347

221

2320xxx

xxx

xxx−+=⎧⎪−+−=−⎨⎪−−=⎩

取4位数字计算. 6. 对四阶Hilbert矩阵为系数的方程组

1234

1234

1234

12341111234111102345111103456111104567xxxx

xxxx

xxxx

xxxx⎧+++=⎪⎪⎪+++=⎪⎨⎪+++=⎪⎪⎪+++=⎩

试求其系数方程组A的条件数()condA∞并分析方程组的性态。

7. 如果A是一个对称正定矩阵，且带宽为21m+，证明在A的三角分解TALL=中出

现的矩阵L也是带状矩阵. 8. 设有三对角方程组 郑州大学研究生课程（2012-2013学年上学期） 数值分析Numerical Analysis

- 2 -11121

2122232bxcxd

axbxcxd+=

+++=

…

121111

1nnnnnnn

nnnnnaxbxcxd

axbxd−−−−−−

−++=

+=

其系数矩阵有严格对角优势. 试写出用LU分解求其解的计算公式.

9. 画出2R中满足下列不等式的集合. （1）11x≤ （2）21x≤ （3）1x∞≤

10. 求证1I≥，11AA−≥.

11. 试证明221AAA∞≤

12. 对矩阵

2100

1210

0121

0012A−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥=⎢⎥−⎢⎥−⎣⎦ 求A∞，2A，1A和2()CondA.

13. 比较下面两个方程组的解.

123

123

1231112311102341110345xxx

xxx

xxx⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，123

123

1231.000.500.331

0.500.330.250

0.330.250.200xxx

xxx

xxx++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩

郑州大学研究生课程（2012-2013学年上学期） 数值分析Numerical Analysis

- 3 -15. 用LU 分解法求解线性方程组Ax=b，其中

0 19 9 -271

18 45 0 -45 2,9 0 126 916

27 -45 9 1358Ab⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦

16. 求解线性方程组

4412

121010

2xx

xx⎧+=⎨+=⎩

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数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

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第一章：数值分析导论

1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。

2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。

3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。

4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。

第二章：数值误差分析 1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。

2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。

3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。

4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。在实际应用中，由于误差的产生是无法避免的，因此需要确定一个合理的误差限度来判断数值计算结果的可接受性。误差限度的选择要考虑到具体的应用需求和实际情况。

数据结构第五章图习题

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.

精选文档. 05 图

【单选题】

1. 设无向图G中有五个顶点，各顶点的度分别为2、4、3、1、2，则G中边数为（C）。

Ａ、4条 Ｂ、5条 Ｃ、6条 Ｄ、无法确定

2. 含n个顶点的无向完全图有（D）条边；含n个顶点的有向图最多有（C）条弧；含n个顶点的有向强连通图最多有（C）条弧；含n个顶点的有向强连通图最少有（Ｆ）条弧；设无向图中有n个顶点，则要接通全部顶点至少需（G）条边。

A、n2 B、n(n+1) C、n(n-1) D、n(n-1)/2 E、n+1 F、n G、n-1

3. 对下图从顶点a出发进行深度优先遍历，则（A）是可能得到的遍历序列。

A、acfgdeb B、abcdefg C、acdgbef D、abefgcd

对下图从顶点a出发进行广度优先遍历，则（D）是不可能得到的遍历序列。

A、abcdefg B、acdbfge C、abdcegf D、adcbgef

4. 设图G的邻接矩阵A=010101010，则G中共有（C）个顶点；若G为有向图，则G中共有（D）条弧；若G为无向图，则G中共有（B）条边。

A、1 B、2 C、3 D、4 E、5 F、9 G、以上答案都不对

5. 含n个顶点的图，最少有（B）个连通分量，最多有（D）个连通分量。

A、0 B、1 C、n-1 D、n

6. 用邻接表存储图所用的空间大小（A）。

A、与图的顶点数和边数都有关 B、只与图的边数有关

C、只与图的顶点数有关 D、与边数的平方有关

7. n个顶点的无向图的邻接表最多有（B）个表结点。

A、n2 B、n(n-1) C、n(n+1) D、n(n-1)/2

8. 无向图G=(V,E)，其中：V={a,b,c,d,e,f}，E={(a,b),(a,e),(a,c),(b,e),(c,f),(f,d),(e,d)}，对该图进行深度优先遍历，得到的顶点序列正确的是（D）。

数值分析课程第五版课后习题答案

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课后习题一：

a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。

解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。

对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 -

2。选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。

b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。

解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。

c) 使用插值方法求解函数的近似值。

解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠

i。

课后习题二：

a) 解决数值积分问题。

解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。

b) 使用迭代方法求解线性方程组。

解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。常用的迭代方法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法。这些迭代法的基本思想都是通过不断更新近似解来逼近方程组的精确解。这些方法在迭代过程中需要选择适当的停止准则，例如，两次迭代间的近似解的差值小于某个预设的精度。

数理统计第5章部分习题解答

数理统计第5章部分习题解答

第五章习题

5.1．假设X

和Y

为随机变量，且满足E

[X

]=-2, E

[Y

]=2, Var[X

]=1, Var[Y

]=9, X

与

Y

的相关系数

,XYr

=

-0.5

0.5．试由切比雪夫不等式确定满足不等式．试由切比雪夫不等式确定满足不等式{6}PXY

+³c

£

的最小

正数c

之值之值. .

解：因为

{][][]220

[][][]2cov(,)

[][]2(,)[][]EXYEXEY

VarXYVarXVarYXY

VarXVarYrXYVarXVarY+=+=-+=

+=++

=++

192(0.5)197

=++´-´´=

.

2[]

(()[]6)

6VarXY

PXYEXY+

+-+³£由切比雪夫不等式：

,有

277

(6)=

636PXY

+³£

. 得7

36c

=

.

5.2．设

12,XX

为随机变量且0,[]1(1,2)

iiEXVarXi

===

. . 证明：证明：对任意的0,l>

有22

121

{2}PXX

l

l+³£

．

证明：不妨设

12(,)XX

为二维连续型随机变量，其密度函数为

12,XXf

.

由于

122222

12,[]()(,)

XXEXXxyfxydxdy+¥+¥

-¥-¥+=+òò，

1212

222222

22

12,,

22(2)(,)(,)

2XXXX

xyxyxy

PXXfxydxdyfxydxdy

lll

l

+³+³+

+³=£òòòò

1222

,

2222

1212

22

1122(,)

2

111

[][][]

222

11

([]([]))([]([]))

22XXxy

fxydxdy

EXXEXEX

VarXEXVarXEXl

lll

ll+¥+¥

-¥-¥+

£

=+=+

=+++òò

111

(10)(10)

22lll=+++=

.

5.3．在一枚均匀正四面体的四个面上分别画上1，2，3，4个点个点. . . 现将该四面体重复投现将该四面体重复投

掷，(1,2,)

iX

i

=为第i次投掷向下一面的点数，试求当n¥

®

时，2

11n

i

iX

n

=å依概率收敛

的极限．的极限．

解: 已知已知 (1,2,3,)