梅涅劳斯定理

中学数学杂志２０１５年第９期　嚣　６　６　９　梅涅劳斯（Ｍｅｎｅｌａｕｓ）定理的十种证明　河南郑州外国语学校４５０００１　杨春波　梅涅劳斯定理是平面几何学以及射影几何学中的　一项基本定理，具有重要作用，其具体内容为：设直线ｚ　分别与ＡＡＢＣ的三边（或边的延长线）相交于点Ｄ、Ｅ、　，测有　ＡＦ・　・　＝　．　直线ｚ与三角形的三边相交，有两种情形：（１）其　中两个交点在边上，一个交点在边的延长线上，如图１；　（２）三个交点均在边的延长线上，如图２．　图１　图２　梅涅劳斯定理在处理直线形中线段长度比例的计算　时，尤为快撼值得一提的是，其逆定理也成立，可作为三点　共线、三线共点等问题的判定方法．下面给出梅涅劳斯定　理的十种精彩证明，证明中仅以图１作为示例．　证法１　平行线法　如图３，过点ｃ作ＣＧ∥ＤＦ交ＡＢ于点Ｇ，则　ＢＤ　ＢＦ　ＣＥ　ＧＦ　ＤＣ　ＦＧ’ＥＡ　ＦＡ’　．，ＡＦ　ＢＤ　ＣＥ　ＡＦ　ＢＦ　ＧＦ　ｌｌｔＶ一・一＝一・一＝ｌ　ＦＢ　ＤＣ　ＥＡ　ＦＢ　ＦＧ　ＦＡ　—　Ａ　Ａ　图３　图４　证法２　共边定理法　如图４，由共边疋挫刘　ＡＦ・　，　ＣＥ＝　ＳＡ￣ＥＯ　Ｓ￣　ｎＥＶ　．—ＳＡ—ＣＥＯ：１．　Ｓ△＾ＥＤ　证法３　共角定理法　如图１，由共角定理知　Ｓ　Ｆ　ＡＦ・ＥＦ　Ｓ／，Ｂ￣ｖ　ＢＤ・ＤＦ　ＳＡＣＤＥ　Ｓ＆８ＦＤ　ＦＢ・ＤＦ　ｓ　ｃＤＥ　ＤＣ・ＤＥ　Ｓ　ＡＥＦ　ＤＥ・ＣＥ　ＥＡ．ＥＦ’　一　＝　・　・　＝篙　・　・　ＣＥ，得证．　注　共边定理和共角定理源自于张景中院士的　面积法　，下面是定理的具体内容．　。　共边定理　若直线ＡＢ和ＰＱ相交于点Ｍ（如图５，　有４种情　财有　＝　．　△ｏＡＢ　触　Ｐ　图５　共角定理　如图６，若　／＿ＡＢＣ和／＿ＸＹＺ相等或互　贿　＝　．　ｘＹｚ　Ａｌ’ｌＺ　证法４辅助平面法　如图７，过截线　作平面　Ｏｌ，设顶点Ａ、Ｂ、Ｃ到该平面　的距离分别为ｄ　、ｄ　、ｄ。，则有　Ｍ　Ｚ　（ｙ）　Ｚ　Ｃ　图６　Ａ—Ｆ：一ｄＡ，一ＢＤ：一ｄＢ，一ＣＥ：ｄｃ，三式相乘即得证　ＦＢ　ｄ口’ＤＣ　ｄｃ’ＥＡ　ｄＡ…—……。—～　

梅涅劳斯定理 梅涅劳斯

梅涅劳斯，公元70～140年，古希腊数学家，天文学家。青年时期求学于Alexandria，后定居于Rome。他第一个认识到曲面上的测地线（geodesics）可以类比于平面上的直线。

Menelaus' theorem的发现者不详。现存最早的记录是Menelaus的著作《Spherics》，该书不仅提出了平面版本的Menelaus' theorem，而且还将之推广到球面三角形。

梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）中。

一条截线在三角形各边上确定出的六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积。这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角比关系来证明。梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。

塞瓦定理与梅涅劳斯定理

1、比尔逊原理：

比尔逊原理又称“比尔逊想象定理”，是指假定有一组有限的事件，并且这些事件之间没有重叠或互斥，那么所有可能出现的各种情况的概率之和恒定为1。比尔逊原理是事件系统中概率论的基础思想，它可以被应用于大部分的有限的实验，包括随机的事件序列，如随机选择、随机抽样、相似性和易受作用的概率。

2、泊松分布：

泊松分布是描述多个事件的发生概率的分布，它是概率论的一种基本概念，用于描述在有限的时间段内某个随机变量发生的次数，又称“先验概率分布”。在理论上，泊松分布也称为泊松分布和泊松实验，是一种特殊类型的事件/次数统计上的概率分布。简单来说，泊松分布是以次数或事件数为变量的概率分布，可用来度量一段时间内某事件可能出现的次数。

3、贝叶斯定理：

贝叶斯定理是一种基于概率的观点，它将概率视为某事件发生前后条件跳跃的函数，即“后验概率”。根据贝叶斯定理，在获得新信息后，某事件出现的概率是先验概率（不含新信息前发生概率）乘以后验概率（含新信息后发生概率）再乘以新信息发生概率的总和。是统计学方法和模型选择的根本原理。

4、高斯概率分布：

高斯概率分布（又称正态分布）是数学特殊的概率分布，它可描述连续随机变量的分布特性，可用来表达均值的基本信息。它的概率密度函数有一个平坦的顶峰，两个参数：平均值μ和标准差σ。高斯函数可以用来描述一维正太分布，在多维空间中也能被应用。一般而言，大多数服从正态分布的原始数据集被称为“正态数据”。

5、卡方分布：

卡方分布是一种常见的多元概率分布，用于估计能够预测总体参数的把握程度。在概率统计中，卡方分布是某种指定条件下的概率分布，用于表示实验中不同变量之间的关系，这些变量通常与特定的总体参数相关。卡方检验可以用来比较两个给定的比较集中水平，以及检验是否存在某种相关性。

6、塞瓦定理：

塞瓦定理也称为“互补定理”或“事件定理”，是指某一个事件A发生的概率等于一个二分事件A和B的总概率减去不发生A的概率，即P(A)=P(A+B)-P(B)。塞瓦定理的定义两个事件的概率总和为1，可能具有某种抗拒或条件性。

梅涅劳斯定理：任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条

线段之积．当直线交三角形ABC三边所在直线BC、AB、AC于D、E、F点时，则有AE×BD×CF＝EB×CD×AF

塞瓦定理：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则BD×CE×AF＝DC×EA×FB．

例题精讲考点一：梅涅劳斯定理

【例1】．如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为．

变式训练

【变式1-1】．如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面积是△ABC的面积的（）

A．B．C．D．

【变式1-2】．梅涅劳斯定理

梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：

如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有••＝1．

下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：

证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有＝．

任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；

（2）如图（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，则AE＝．

考点二：塞瓦定理

【例2】．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交

于一点M，求证：．

变式训练

【变式2-1】．请阅读下列材料，并完成相应任务

如图，塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边D，E，F于，则××＝1．

任务：（1）当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；

（2）若△ABC为等边三角形，AB＝12，AE＝4，点D是BC边的中点，求BF的长．