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第十一章 无穷级数

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1 第十一章 无穷级数

一、选择题

1、无穷级数1nnu的部分和数列}{nS有极限S，是该无穷级数收敛的 条件。

A、充分，但非必要 B、必要，但非充分

C、充分且必要 D、既不充分，又非必要

2、无穷级数1nnu的一般项nu趋于零，是该级数收敛的 条件。

A、充分，但非必要 B、必要，但非充分

C、充分且必要 D、既不充分，又非必要

3、若级数1nnu发散，常数0a，则级数1nnau

A、一定收敛 B、一定发散

C、当0a收敛，当0a发散 D、当1a收敛，当1a发散。

4、若正项级数1nnu收敛，则下列级数必定收敛的是

A、1100nnu B、1)100(nnu C、1)100(nnu D、1)100(nnu

5、若级数1nna收敛，1nnb发散，为正常数，则级数1)(nnnba

A、一定收敛 B、一定发散

C、收敛性与有关 D、无法断定其敛散性

6、设级数1nnu的部分和为nS，则该级数收敛的充分条件是

A、0limnnu B、1lim1ruunnn

C、21nun D、nnSlim存在

7、设qk、为非零常数，则级数11nnqk收敛的充分条件是

A、1q B、1q C、1q D、1q

8、级数111npn发散的充分条件是

A、0p B、1p C、0p D、1p

9、级数1nna收敛，是级数1nna绝对收敛的 条件

A、充分，但非必要 B、必要，但非充分

C、充分必要 D、既不充分，又非必要

10、交错级数111)1(npnn绝对收敛的充分条件是

A、0p B、0p C、1p D、1p

11、设常数0k，则级数12)1(nnnnk

A、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、敛散性与k有关 2 12、设常数0a，则级数12sinnna

A、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、敛散性与a有关

13、级数12!nnn与11)1(nnn的敛散性依次是

A、收敛，收敛 B、发散，发散 C、收敛，发散 D、发散，收敛

14、下列级数中，为收敛级数的是

A、131nn B、111nn C、121nnn D、112nnn

15、下列级数中，为发散级数的是

A、1!2nnn B、12!nnn C、121nnn D、12)1(nnn

16、下列级数中，为绝对收敛级数的是

A、111nn B、11)1(nnn C、1212)1(nnnn D、12)1(nnn

17、下列级数中，为条件收敛级数的是

A、121)1(nnnn B、11)1(nnnn C、121)1(nnnn D、12!)1(nnnn

18、幂级数12)1(nnnnx的收敛区间是

A、[-2，2] B、2,2 C、(-2,2) D、2,2

19、幂级数111)1(nnnnx的收敛域是

A、(-1,1) B、[-1，1] C、1,1 D、1,1

20、幂级数111)1()1(nnnnx的收敛域是

A、[-2，0] B、（-2，0） C、0,2 D、0,2

二、填空题

21、当参数满足条件 时，级数111nnnn收敛。

22、当参数p满足条件 时，级数111)1(npnn条件收敛。

23、若级数0nnnxa的收敛半径为R，则级数02nnnxa的收敛半径为

24、若级数0nnnxa的收敛半径为R，则级数nnnnxa012的收敛半径为

25、级数01!)1(nnnxn的和函数为

26、级数021)!12()1(nnnxn的和函数为

27、设)(xf在),(内有定义的周期函数，周期为2，且)(xf在,的表达式为：xxxxxf0,10,1)(22，则)(xf在x处的付立叶级收敛于 3 28、设)(xf在),(内有定义的周期函数周期为2，且10,01,2)(3xxxxf，则)(xf在3x处的付立叶级数收敛于

29、设)(xf在),(内有定义的周期函数，周期2T，且)()(2xxxxf，其付立叶级数为10)sincos(2nnnnxbnxaa，则系数3b

30、设函数)10(,)(2xxxf，其付立叶级数为0sin)(nnxnbxS，其中系数10sin).(2xdxnxfbn，则)21(S

三、计算题

1、判别级数nnnn1133的敛散性。

2、判断级数1576nnnn的敛散性。

3、判断级数1!.3nnnnn的敛散性。

4、求幂级数15)1(nnnnx的收敛域。

5、求幂级数13)1(nnnnx的收敛域。

6、求幂级数112)3(2nnnnxn的收敛区间（不讨论端点处的敛散性）。

7、求级数11nnnx的和函数。

8、求级数112nnxn的和函数。

9、求级数01212)1(nnnnx的和函数。

10、将函数321)(2xxxf展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间。

11、证明：若正项级数0nna与0nnb均收敛，则级数0nnnba与0nnna也收敛。

12、证明：若0limaann，则级数11nnnaa与nnaa111同敛散性。

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十无穷数常数项数的概念与性质

十无穷数常数项数的概念与性质

第十一章 无穷级数

第一节 常数项级数的概念与性质

教学目标：

1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念.

2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数收敛和发散的条件.

课时安排：2课时

重点：1、 掌握级数收敛的充要和必要条件；

2、 掌握收敛级数的性质；

难点：级数概念及其敛散性

教学法：讲授法

一、问题的引出：

1、用正多边形的面积逼近园的面积；

①.S≈6A

②.S≈＋612AA

S≈＋61224....AAA++

S≈ 1621liminniA-=å

二、常数项无穷级数定义

1、定义: 设1u，2u，. . . 是常数列, 算式 简称为级数 。记为1nNu，称为一般项或通项。

2、部分和与部分数列.

① 部分和：前几项的和

②部分和数列：( )

③ 1nnnuss-=-

④ nnnn1ulimS¥==å

3、敛散定义（充要条件） ①设1nNu若limnnS ，称1nNu收敛，否则称发散。（判别敛散的方法）。

②若收敛，如何求和。（收敛，求和的方法）（求数列的极限）

1limnnnnSSu¥==å@

4、例子.

nnn1n1unSn1¥=+å=例 . 设 前项部分的和为

问：①.收敛否？ ………………………………………………（收敛）

②.若收敛，和为多少？ ……………………………（ 1 ）

③.写出（求出）该级数.

()()n1nnn1nn1n1n11SuSSnnn+11unn1--ゥ==-=\=-=\=+邋

例 2. 判别 ()n11nn1¥=+å 是否收敛，若收敛，求和。(用定义)。

()n111 1 S...1223nn1=+++创+解：）.

()()()111111...223nn1=-+-++-+

(完整版)无穷级数期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

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第十一章 无穷级数参考答案

- 1 - 第十一章 无穷级数

一、选择题

1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）

（A）1121nn (B) 2311nnn

(C) nn3111 (D) nnnn111

2. 02!1nnnnx在-∞

（A）ex2 (B) ex2

(C) ex2 (D) ex2

3.下列级数中收敛的是（ B ）

（A）11nnn (B) 111nnn

(C) 1121nn (D) 12111nn

4. 0limunn是级数1nnu收敛的（ B ）

（A）充分条件 (B) 必要条件

(C) 充要条件 (D) 无关条件

5.级数1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）

（A）0limunn (B) 1lim1ruunnn

(C) snnlim存在（sn=u1+u2+…+un） (D) nun21

6.下列级数中，发散的级数是（ B ）

（A）121nn (B) 11cosnn

(C) 131nn (D) 1132nn 第十一章 无穷级数参考答案

- 2 - 7.级数nxnnn51111的收敛区间是（ B ）

（A）（0，2） (B) 2,0

无穷级数主要内容重点难点

无穷级数主要内容重点难点

第十一章 无穷级数主要内容 重点难点

主要内容：

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

教学重点 ：

1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；

3、交错级数的莱布尼茨判别法；

4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

5、,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式；

6、傅里叶级数。

教学难点：

1、比较判别法的极限形式；

2、莱布尼茨判别法；

3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；

4、函数项级数的收敛域及和函数；

5、泰勒级数；

6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

无穷级数 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)

无穷级数 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)

第十一章 无穷级数参考答案

- 1 - 第十一章 无穷级数

一、选择题

1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）

（A）1121nn (B) 2311nnn

(C) nn3111 (D) nnnn111

2. 02!1nnnnx在-∞

（A）ex2 (B) ex2

(C) ex2 (D) ex2

3.下列级数中收敛的是（ B ）

（A）11nnn (B) 111nnn

(C) 1121nn (D) 12111nn

4. 0limunn是级数1nnu收敛的（ B ）

（A）充分条件 (B) 必要条件

(C) 充要条件 (D) 无关条件

5.级数1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）

（A）0limunn (B) 1lim1ruunnn

(C) snnlim存在（sn=u1+u2+…+un） (D) nun21

6.下列级数中，发散的级数是（ B ）

（A）121nn (B) 11cosnn

(C) 131nn (D) 1132nn 第十一章 无穷级数参考答案

- 2 - 7.级数nxnnn51111的收敛区间是（ B ）

（A）（0，2） (B) 2,0