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3.1~3.2 导数(6课时)

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高中数学新课标选修课2—2 东升高中高二备课组 授课时间: 2006年 月 日(星期 )第 节 总第 课时 教学后记： 板书设计： 第一课时 导数 的概念（一） 教学要求：理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义。通过分析实例，知道瞬时变化率就是导数，并会求导数 教学重点：导数的概念及求导 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、讲授新课： 1. 教学：

问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率；问题2：高台跳水，求平均速度

得平均变化率：2121()()fxfxfxxx

问题3：瞬时速度：0(2)(2)lim13.1ththt，当0,tv瞬时速度。瞬时速度是平均速度ts当t趋近于0时的极限 得导数的定义：函数()yfx在0xx的导数，记住0()fx或0|xxy即000()()()limxfxxfxfxx



小结：由导数定义，高度h关关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率。 二、教学例题

例1.设函数1)(2xxf，求： （1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量x；（2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量y；（3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率（4）函数在x＝1处的变化率. 例2：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第xh时，原油的温度（单位：oc）为2()715(08)fxxxx。计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。 分析：根据导数的定义来求 小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()yfxxfx；第二

步：求平均变化率0()fxxyxx；第三步：取极限得导数00()limxyfxx。 三、巩固练习： 1. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：

s）之间的函数关系为2th，求t＝4s时此球在垂直方向的瞬时速度 3. 作业：10p2、3 高中数学新课标选修课2—2 东升高中高二备课组 授课时间: 2006年 月 日(星期 )第 节 总第 课时 教学后记： 板书设计： 第二课时 1.1.1 导数 的概念（二） 教学要求：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数。 教学重点：导数的概念并会运用概念求导数，导数的几何意义的运用。 教学难点：导数的几何意义的理解 教学过程： 一、复习准备： 1、 提问：利用导数的定义求导步骤？（学生回答） 2、 提问：0()fx表示函数在0x的瞬时变化率，导数0()fx的几何意义是什么？ 二、讲授新课： 1. 教学： 1、当点,()(1,2,3,4)nnnpxyn沿着曲线向点P接近时，割线npp的变化趋势是什么？

割线npp的斜率与切线PT的斜线K有什么关系？

得：000()()()limxfxxfxkfxx此时，割线npp的斜率nPPykx无限趋近于切

线PT的斜率k，也就是说，当x趋向于0时，割线的npp斜率nPPykx的极限为k. 小结：函数()yfx在点0x的导数的几何意义就是曲线()yfx在点00(,)pxy处的切线的斜率，也就是说，曲线()yfx在点00(,)pxy处的切线斜率是0()fx，切线的方程为

000()()yyfxxx 二、例题分析 例1：.求函数12xy在－1,0，1处导数。 分析：先求导，然后再代数值。

例2、已知曲线313yx上一点P（2，38），求点P处的切线的斜率及切线方程？ 分析：先求导，然后再代数值得切线的斜率，再利用点斜式求切线方程。 例3.曲线223xy上哪一点的切线与直线13xy平行 例4、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2()4.96.510httt的图形。根据图象，请描述、比较曲线h(t)在012,,ttt附近的变化情况。 分析： 三、巩固练习： 1. 练习：教材 112p

2. 若)(lim0xfx存在，则/0)](lim[xfx＝＿＿＿＿＿

若2)(xxf，则1)1()(lim1xfxfx＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3. 作业：113p 高中数学新课标选修课2—2 东升高中高二备课组 授课时间: 2006年 月 日(星期 )第 节 总第 课时 教学后记： 板书设计： 第三课时 几种常见函数的导数 教学要求：熟练掌握常见函数的导数公式，并能灵活运用 教学重点：公式的灵活运用 教学难点：公式的推导及公式的运用 教学过程： 一、 复习准备 1、求函数导数的步骤： 二、讲授新课： 1. 教学：

1、 求函数y=c(常数)的导数。得：0c

2、求函数y=x的导数。得：1x 3、求函数 2yx 的导数。得：2()2yxx 4、求函数1yx 的导数。得：211()yxx 5、求函数yx 的导数。得：1()2yxx 得基本初等函数的导数公式： 10,(),(sin)cos,(cos)sin,()lnnnxxcxnxxxxxaaa()xxee

11(),(ln)lnlogaxxxax

二、例题分析： 例1、求下列函数的导数

（1）5yx （2）sinyx

（3）31yx （4）5yx 例2、求下列函数的导数 （1）cosyx （2）5xy （3）3logxy （4）lnyx 例3、假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为0.05。物价P（单位：元）与时间T（单位：年有如下函数关系0()(10.05)tptP，其中0p这T=0时的物价。假定某种商品的01p，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0。01）？ 分析：利用基本初等函数的导数公式求 三、巩固练习： 1. 练习：教材 18p1、

2、若2)(xxf，则1)1()(lim1xfxfx＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3. 作业：10p2 高中数学新课标选修课2—2 东升高中高二备课组 授课时间: 2006年 月 日(星期 )第 节 总第 课时 教学后记： 板书设计： 第四课时 导数的四则运算 教学要求：熟练运用导数的四则运算法则，并能灵活运用 教学重点：熟练运用导数的四则运算法则 教学难点：商的导数的运用 教学过程： 一、复习准备： 1、根据导数的定义求导数的步骤 2、基本初等函数的导数公式 二、 授新课： 1、和（差）的导数：///[()()]()()fxgxfxgx

积的导数：()()()()()()fxgxfxgxfxgx 推论：()()cfxcfx（C为常数）

商的导数：2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx 三、题分析 例1、 求下列函数的导数

（1）23212xxy （2）15314123xxxy （3）)4(23xxy （4）)23()12(2xxy （5）2tanyxx （6）23(21)xyx （7）2lnxyx （8）5cosxyx 例2、 已知曲线313yx上一点P（2，38），求点P处的切线的斜率及切线方程？ 例3、 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将功1吨水净化到纯净度为%x时所需费用（单位：元）为 5284()(80100)100cxxx

 。求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化

率； （1）90%；（2）98 分析：要求瞬时变化率实际上就是求函数的导数，这就要用到商的导数公式，然后再代数值，问题就得到解决了。 三、巩固练习： 1. 练习：教材 181p

2. 已知函数22)(xxxf，求)0(/f，)41(/f

3、一个距地心距离为R，质量为M的人造卫星，与地球之间的万有引力F由公式2GMmFr给出，其中M为地球质量，G为常量。求F对于r的瞬时变化率。 3. 作业：184,5p 高中数学新课标选修课2—2 东升高中高二备课组 授课时间: 2006年 月 日(星期 )第 节 总第 课时 教学后记： 板书设计： 第五课时 复合函数的导数 （理科） 教学要求： 掌握复合函数的求导 教学重点：掌握复合函数的求导 教学难点：复合函数的分解，求复合函数的导数 教学过程： 一、复习准备 1、导数的四则运算法则 2、求)4(23xxy的导数 3、 求函数2(23)yx的导数 练习，再提问：展开再求导，可不可以直接求导？ 一、讲授新课： 1. 2(23)yx可以看成2,23yuux两次复合而成。 得：复合函数的定义：(),()yfuugx记作：(())yfgx。即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数. 2、复合函数的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘中

间变量对自变量的导数。即：xuxyyu。问题2(23)yx的求导可直接得：2()(23)222(23)2812xuxyyuuxuxx

三、例题分析 例1：求下列函数的导数 （1）、3(32)yx （2）、51xye（3）cos(1)yx （4）、3sin(23)yx

（5）1yx （6）41(13)yx（7）、51xyx （8）2ln(231)yxx 小结：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。复合函数的求导不仅可以推广到三重，还可推广到四重、五重 例2、在吹气球的过程中，随着气球内空气容量的增加，气球的半径也逐渐增加，现已知

气球半径r（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的函数关系式为33()4VrV，求当V＝0.6，1.2时，气球的瞬时膨胀率，并解释随着气球内空气容量的增加，气球的膨胀状态. 分析：先求出'Vr，然后分别将V＝0.6，1.2代入即可. 而函数33()4VrV可以看成函数1334V

ruu和的复合函数，直接根据复合函数的求导法则就行了.

三、巩固练习： 1、练习184p 2、作业： 732p

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第6课时 常见函数的导数

第6课时 常见函数的导数

第6课时 常见函数的导数教学目的：1.能根据定义求几个简单函数的导数,加深对导数概念的理解,同时体会算法的思想并熟悉具体的操作步骤;2.能利用导数公式表求一些函数的导数.教学重点：用定义求几个简单函数的导数公式．教学难点：公式的记忆与运用.教学过程：一.问题情境：1.导数的定义,2. 导数的几何意义,3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y=＝)(0/x f . 所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作(0/x f 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值.4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导5. 求函数)(x f y =的导数的流程图.(参见课本)二.建构数学1. 0'=C (C 为常数)说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数C y =的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0. 2.()kx b k '+= (k,b 为常数)3.我们再来求下面几个函数的导数:（1）2y x = ,（2）3y x = , (3)1-=x y ,(4) y (过程参见课本)以上求导公式可以归纳如下:(1) ()kx b k '+= (k,b 为常数) ;(2) 0)(='C (C 为常数);(3) ()1x '= ;(4) 2()2x x '=;(5) 32()3x x '=; (6)211()x x '=-;(7) '=. 问题：由⑶~⑹你能发现什么规律?对于基本初等函数,有下面的求导公式：⑻ 1()x xααα-'= （α为常数）;⑼ ()l n (01x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且;⑾ x x e )(e ='; ⑿ x1)(l n x ='; ⒀ c o s x )(s i n x ='; ⒁ s i n x )(c o s x －='.从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数，指、对数函数，正、余弦函数的求导就可以了.三.数学运用例1.求下列函数导数:（1）5-=x y , （2）x y 4=, （3）x x x y =,（4）x y 3log =, （5）y=sin(2π+x) , (6) y=sin 3π , （7）y=cos(2π－x) . 例2.质点运动方程是51ts =, 求质点在2=t 时的速度． 解：∵ 51t s =，∴ 6555)()1(---='='='t t ts , ∴ 6452562-=⨯-='-=t s ． 答：质点在2=t 时的速度是645-． 例3.求曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程． 解：∵ x y sin = ∴ x x y cos )(sin ='=', ∴ 236cos 6=='=ππx y ∴ 所求切线的斜率23=k , ∴ 所求切线的方程为 )6(2321π-=-x y ， 即 0361236=-+-πy x答：曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程为0361236=-+-πy x ． 例4.若直线y x b =-+为函数1y x =图象的切线,求b 的值和切点坐标. 答案: b 2,=±切点(1,1),(-1,-1).变式1.求曲线y=x 2在点(1,1)处的切线方程.总结切线问题：找切点-----求导数------得斜率.变式2:求曲线y=x 2过点(0,-1)的切线方程.变式3:求曲线y=x 3过点(1,1)的切线方程.变式4:已知直线1y x =-,点P 为y=x 2上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短.四.回顾小结（1）基本初等函数公式的求导公式;（2）公式的应用.五.导数及其应用作业6答案: 1 若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为____ . 答案: '2000()33,1f x x x ===±. 2 曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为______________. 答案: ''1111,|,1(),x e y k y y x e y x x e e e====-=-=. 3. 过原点作曲线x e y =的切线，则切线的方程为 ． ex y =4.若函数3)(x x f =，则/)]2([-f ＝_______.解：8)2()2(3-=-=-f ，所以-8的导数，即常数的导数为0.故/)]2([-f =0.5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 .430x y --=6.过曲线y =cos x 上的点（21,6π）且与过这点的切线垂直的直线方程为 . 7．在曲线sin y x =(0)x π<<上取一点M ，使过M 点的切线方程与直线y =23x 平行，则M 点的坐标是点 ． 1(,)62π 8.设010211()sin ,()(),()(),,()(),,n n f x x f x f x f x f x f x f x n N +'''====∈ 则2005()f x = .cos x9.曲线*()n y x n N =∈在2x =处的导数为12,则n = . 310.求证:曲线1xy =上任一点处切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值. 定值为2导数及其应用作业6班级 姓名 1 若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为____ . 2 曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为______________.3. 过原点作曲线x e y =的切线，则切线的方程为 ．4.若函数3)(x x f =，则/)]2([-f ＝_______.5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 .6.过曲线y =cos x 上的点（21,6π）且与过这点的切线垂直的直线方程为 . 7．在曲线sin y x =(0)x π<<上取一点M ，使过M 点的切线方程与直线y =23x 平行，则M 点的坐标是点 ．8.设010211()sin ,()(),()(),,()(),,n n f x x f x f x f x f x f x f x n N +'''====∈ 则2005()f x = .9.曲线*()n y x n N =∈在2x =处的导数为12,则n = .10.求证:曲线1xy =上任一点处切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值.。

高等数学(理工科)课件第3章导数的应用

高等数学(理工科)课件第3章导数的应用


0
0
极
f (x) ↗ 大
值
极大值 f (1) 10,
极
↘
小
↗
值
极小值 f (3) 22.
高等数学应用教程 3.2.1 函数的极值及其求法
解法2 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) f (x) 6x 6 6(x 1)
令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 由于 f (1) 12 0， 则 f (1) 10为极大值 由于 f (3) 12 0， 则 f (3) 22为极小值
1、求出函数 f（x）所有的临界点（驻点和不可导点）；
2、计算各临界点的函数值和区间端点的函数值；
3、比较各函数值的大小，其中最大的就是函数 f(x)在区 间[a, b]上的最大值，最小的就是函数 f(x)在区间[a, b] 的最小值.
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值 例3
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值
2
arctan
1 n
n
( n 为正整数)?
高等数学应用教程
二、 型未定式
定理3.3.2 如果函数 f (x)和g (x)满足：
2)
f
( x)、g ( x)
，在
o
U(x0 )
内可导，且
f (x)
3) lim
A
xx0 g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A
xx0 g(x) xx0 g(x)
高等数学应用教程
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以 研究解决，为此先介绍拉格朗日中值定理
高中数学 3.2 导数的计算课件 新人教A版选修11

高中数学 3.2 导数的计算课件 新人教A版选修11

f(x)=ln x f'(x)=������
1
3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]'=f'(x)± g'(x); (2)[cf(x)]'=cf'(x)(c 为常数); (3)[f(x)· g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
������(������) ������'(������)������(������)-������(������)������'(������) (4) '= (g(x)≠0). 2 ������(������) [������(������)]
又∵(1,-1)在切线上, ∴将②式和(1,-1)代入①式, 3 2 得-1-(������0 -2x0)=(3������0 -2)(1-x0), 解得 x0=1 或 x0=-2. 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0.
1
故所求的切线方程为 y+1=x-1 或 y+1=-4(x-1),
5
(1)根据导数的几何意义及导数的物理意义可知,函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率,即 k=f'(x0);瞬时速度是位移函数 s(t)对时间 t 的导数,即 v=s'|������ =������ . (2)注意区别“在 P 处”求切线和“过 P”求切线的不同,后者点 P 不一定是切点,要先设出切点再求切线.
������0 斜率,又直线 l 过原点,故 k=������ ,联立解出 x0 即可. 0
思路分析:求出函数在(x0,y0)处的导数即为曲线在(x0,y0)处的
3.1导数的概念及运算-高考数学人教A版理科一轮复习课件

3.1导数的概念及运算-高考数学人教A版理科一轮复习课件

2
(4)y=ln√1 +
2
1
'=1- cos
2
=
x,
x.
1
ln(1+x2),
2
1
1
1
1

2
∴y'= · 2 (1+x )'= · 2 ·
2x= 2 .
2 1+
2 1+
1+
思考函数求导应遵循怎样的原则?
解题心得 函数求导应遵循的原则:
(1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这
有导数,导数值记为f'(x),则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的 导函数
通常也简称为导数.
,
4.基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)=c(c为常数)
f(x)=xα(α∈Q,α≠0)
f(x)=sin x
f(x)=cos x
f(x)=ax(a>0,且a≠1)
f(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0 或 y+2=0.
解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切
线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的
切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.
u-u,导数为g'(u)=

-1.
当u>1时,g(u)单调递减,当0<u<1时,g(u)单调递增,可得当u=1时,取得最大