下载文档原格式
导数计算的教案教案标题：导数计算的教案教学目标：1. 理解导数的概念及其在数学和实际问题中的应用。
2. 掌握导数的计算方法，包括基本函数的导数、求导法则和链式法则。
3. 运用导数计算解决相关问题，并能正确解释结果的意义。
教学准备：1. 教师准备：掌握导数计算的基本知识和方法，准备相关教学资源和实例。
2. 学生准备：提前复习相关的基本函数和求导法则。
教学过程：引入导数概念（5分钟）1. 引导学生回顾函数的概念，并解释函数的变化率。
2. 引入导数的概念，解释导数是函数变化率的极限。
基本函数的导数计算（15分钟）1. 介绍基本函数的导数定义和常用导数表格。
2. 通过示例演示如何计算基本函数的导数，例如常数函数、幂函数和指数函数。
3. 引导学生自主计算其他基本函数的导数，并进行讲解和讨论。
求导法则的应用（20分钟）1. 介绍求导法则，包括常数倍法则、和差法则和乘积法则。
2. 通过示例演示如何应用求导法则计算复合函数的导数。
3. 引导学生自主应用求导法则计算其他复合函数的导数，并进行讲解和讨论。
链式法则的应用（20分钟）1. 介绍链式法则的概念和应用场景。
2. 通过示例演示如何应用链式法则计算复合函数的导数。
3. 引导学生自主应用链式法则计算其他复合函数的导数，并进行讲解和讨论。
综合应用与解释（15分钟）1. 提供一些实际问题，引导学生利用导数计算解决问题。
2. 引导学生解释计算结果的意义和实际应用价值。
总结和拓展（5分钟）1. 总结导数计算的基本方法和应用技巧。
2. 鼓励学生继续拓展导数的应用领域，并提供相关参考资料。
教学评估：1. 在课堂上布置练习题，检查学生对导数计算的掌握情况。
2. 收集学生的解答和解释，评估他们对导数计算的理解和应用能力。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步研究导数的应用领域，如物理学、经济学等。
2. 提供更多复杂的导数计算题目，挑战学生的思维和解题能力。
教学反思：1. 教师应根据学生的理解情况和反馈及时调整教学进度和方法。
一、教学目标1. 知识与技能：掌握导数的定义、性质、计算方法及应用。
2. 过程与方法：通过观察、实验、分析、归纳等方法，培养学生的数学思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养严谨的学术态度。
二、教学重点1. 导数的定义2. 导数的性质3. 导数的计算方法4. 导数的应用三、教学难点1. 导数的定义的理解2. 导数的计算方法的应用3. 导数的应用在解决实际问题中的应用四、教学过程（一）导入1. 提问：同学们，我们之前学习了函数，那么什么是函数的瞬时变化率呢？2. 引入导数的概念，说明导数在数学和实际生活中的应用。
（二）新课讲授1. 导数的定义- 通过实例，让学生理解导数的定义，即函数在某一点处的瞬时变化率。
- 讲解导数的几何意义，即函数在某一点处的切线斜率。
- 举例说明导数的物理意义，如速度、加速度等。
2. 导数的性质- 介绍导数的四则运算法则，如和的导数、差的导数、积的导数、商的导数等。
- 讲解导数的复合函数求导法则，如链式法则、乘积法则等。
3. 导数的计算方法- 介绍导数的计算方法，如直接求导法、求导公式法、求导表格法等。
- 通过实例，让学生掌握导数的计算方法。
4. 导数的应用- 讲解导数在几何、物理、经济学等领域的应用。
- 通过实例，让学生理解导数在解决实际问题中的应用。
（三）课堂练习1. 让学生完成课后习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视课堂，解答学生提出的问题。
（四）总结1. 回顾本节课所学内容，强调导数的定义、性质、计算方法及应用。
2. 引导学生思考导数在实际生活中的应用，激发学生对数学的兴趣。
五、教学反思1. 关注学生的学习情况，及时调整教学策略。
2. 注重培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
3. 结合实际，让学生体会导数在各个领域的应用，激发学生的学习兴趣。
导数的计算教案教案：导数的计算方法1. 理解导数的概念导数表示函数在某一点的变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
导数可以帮助我们研究函数在不同点的性质和变化趋势。
2. 基本函数的导数计算2.1. 常数函数的导数为0，即对于常数c，有d/dx(c) = 0。
2.2. 幂函数的导数计算：对于函数f(x) = x^n，其中n是任意实数，其导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
2.3. 指数函数的导数计算：对于函数f(x) = a^x，其中a是正实数，其导数为d/dx(a^x) = a^x * ln(a)。
3. 基本运算法则3.1. 常数乘以函数的导数：若K是常数且f(x)是可导函数，则Kf(x)的导数为d/dx(Kf(x)) = K * (d/dx)f(x)。
3.2. 函数之和的导数：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x) + g(x))的导数为d/dx(f(x) + g(x)) = (d/dx)f(x) + (d/dx)g(x)。
3.3. 函数之差的导数：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x) - g(x))的导数为d/dx(f(x) - g(x)) = (d/dx)f(x) - (d/dx)g(x)。
3.4. 函数乘积的导数：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x) * g(x))的导数为d/dx(f(x) * g(x)) = f(x) * (d/dx)g(x) + g(x) * (d/dx)f(x)。
3.5. 函数商的导数：若f(x)和g(x)是可导函数且g(x)不为0，则(f(x) / g(x))的导数为d/dx(f(x) / g(x)) = ((d/dx)f(x) * g(x) - f(x) * (d/dx)g(x)) / (g(x))^2。
4. 复合函数的导数若y = f(g(x))是由两个可导函数复合而成的函数，则y' =(d/dx)f(g(x)) * (d/dx)g(x)。
一、教学目标1. 知识目标：使学生掌握导数的定义，了解导数的几何意义和物理意义，理解导数的运算规则。
2. 能力目标：培养学生运用导数解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的严谨求实、勇于探索的精神。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义和物理意义3. 导数的运算规则4. 导数的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：导数的定义，导数的几何意义和物理意义，导数的运算规则。
2. 教学难点：导数的定义的理解和应用，导数的运算规则的掌握。
四、教学过程（一）导入1. 提问：什么是函数？函数的图像有什么特点？2. 回答：函数是数学中的一个基本概念，它是两个集合之间的对应关系。
函数的图像通常是一条曲线，反映了函数的变化规律。
（二）新课讲授1. 导数的定义（1）引导学生回顾极限的概念，引出导数的定义。
（2）通过实例讲解导数的定义，使学生理解导数的含义。
2. 导数的几何意义和物理意义（1）讲解导数的几何意义，即导数表示函数在某一点处的切线斜率。
（2）讲解导数的物理意义，即导数表示函数在某一点处的瞬时变化率。
3. 导数的运算规则（1）讲解导数的四则运算规则，使学生掌握导数的运算方法。
（2）通过实例讲解导数的运算，使学生能够熟练运用导数的运算规则。
4. 导数的应用（1）引导学生思考导数在实际生活中的应用，如速度、加速度等。
（2）通过实例讲解导数在物理、工程等领域的应用，提高学生的实际应用能力。
（三）课堂练习1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 针对难点问题进行讲解和练习。
（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调导数的定义、几何意义、物理意义和运算规则。
2. 鼓励学生在课后继续学习，提高自己的数学素养。
五、教学反思1. 本节课通过实例讲解导数的定义、几何意义、物理意义和运算规则，使学生掌握了导数的基本概念和应用。
2. 在课堂练习环节，关注学生的掌握情况，及时解答学生的疑问。
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解导数的概念，掌握导数的定义和求导法则；（2）熟练运用导数的四则运算法则，解决实际问题；（3）掌握求导公式和求导技巧，提高导数计算能力。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析和讨论，引导学生掌握导数的概念和求导法则；（2）通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力；（3）通过实际应用，提高学生的实际问题解决能力。
3. 情感、态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生对导数的认识；（2）培养学生严谨的数学思维和科学态度；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）导数的定义和求导法则；（2）导数的四则运算法则；（3）求导公式和求导技巧。
2. 教学难点：（1）导数的概念理解；（2）导数的四则运算法则的运用；（3）求导技巧的掌握。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾函数、极限等基础知识；（2）提出导数的概念，引导学生思考导数的意义。
2. 新课讲授（1）导数的定义：给出导数的定义，通过实例讲解导数的几何意义；（2）导数的求导法则：介绍导数的四则运算法则，通过实例讲解法则的运用；（3）求导公式：介绍常见的求导公式，通过实例讲解公式的运用；（4）求导技巧：讲解求导过程中的常见技巧，如换元法、复合函数求导法等。
3. 小组合作（1）将学生分成小组，每组选择一个实际问题进行讨论；（2）要求学生在规定时间内完成导数的计算，并给出计算过程和结果；（3）各小组汇报讨论结果，教师点评并总结。
4. 实际应用（1）给出一个实际问题，要求学生运用所学知识进行求解；（2）学生独立完成，教师点评并总结。
5. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，强调重点和难点；（2）布置课后作业，巩固所学知识。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、发言情况等；2. 作业完成情况：检查学生课后作业的质量和完成情况；3. 实际应用：评估学生在实际问题解决过程中的能力。
课时：2课时教学目标：1. 让学生理解导数的概念，掌握导数的定义和计算方法。
2. 使学生能够熟练运用导数公式和导数的运算法则求解简单函数的导数。
3. 培养学生运用导数解决实际问题的能力。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法。
2. 常用函数的导数公式和导数的运算法则。
教学难点：1. 导数的定义和计算方法的理解。
2. 导数公式的记忆和应用。
教学准备：1. 多媒体课件2. 导数公式和导数运算法则的表格3. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习极限的概念，引入导数的概念。
2. 举例说明导数在物理学、经济学等领域的应用。
二、新课讲授1. 导数的定义：介绍导数的定义，让学生理解导数的概念。
2. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括导数的定义法和导数的公式法。
3. 常用函数的导数公式：介绍常用函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
三、例题讲解1. 利用导数的定义法求导数的例题。
2. 利用导数公式法求导数的例题。
3. 利用导数的运算法则求导数的例题。
四、课堂练习1. 让学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。
第二课时一、复习1. 回顾导数的定义和计算方法。
2. 回顾常用函数的导数公式和导数的运算法则。
二、新课讲授1. 导数的几何意义：讲解导数的几何意义，让学生理解导数与函数图像的关系。
2. 导数的物理意义：讲解导数的物理意义，让学生理解导数在物理学中的应用。
三、例题讲解1. 利用导数的几何意义和物理意义求解例题。
2. 利用导数求解实际问题。
四、课堂练习1. 让学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。
五、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 鼓励学生在课后复习，加强巩固。
教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，了解学生对导数的掌握程度。
2. 通过课堂提问和课堂讨论，评估学生对导数的理解和应用能力。
教学反思：1. 根据学生的反馈，调整教学方法和教学内容。
2. 注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
导数运算的教案教案标题：导数运算的教案教学目标：1. 理解导数的概念和意义。
2. 掌握导数运算的基本规则和方法。
3. 能够应用导数运算解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法。
2. 导数运算的基本规则。
3. 应用导数运算解决实际问题。
教学难点：1. 理解导数的概念和意义。
2. 掌握导数运算的基本规则和方法。
3. 运用导数解决实际问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：课件、教材、黑板、白板、书写工具等。
2. 学生准备：教材、笔记本、铅笔、计算器等。
教学过程：Step 1: 导入导数的概念（15分钟）1. 教师向学生介绍导数的概念，解释导数在数学中的重要性和应用领域。
2. 通过具体例子引导学生思考导数的意义，并与实际问题联系起来。
Step 2: 导数的定义和计算方法（30分钟）1. 教师介绍导数的定义，即函数在某一点的切线斜率。
2. 通过图示和实例演示导数的计算方法，包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数的两种方法。
3. 强调导数的符号表示和几何意义。
Step 3: 导数运算的基本规则（30分钟）1. 教师向学生介绍导数运算的基本规则，包括常数倍规则、和差规则、乘积规则和商规则。
2. 通过具体例子演示每个规则的应用和计算步骤。
3. 强调规则的正确使用和注意事项。
Step 4: 应用导数运算解决实际问题（30分钟）1. 教师提供一些实际问题，如最值问题、曲线的切线问题等，引导学生运用导数运算解决问题。
2. 学生进行个人或小组练习，并在黑板上展示解题过程和答案。
3. 教师进行点评和总结，强调导数运算在解决实际问题中的应用。
Step 5: 总结与拓展（15分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调导数运算的重要性和应用。
2. 提供一些拓展问题，让学生继续巩固和拓展所学内容。
3. 鼓励学生积极参与讨论和思考，激发他们对数学的兴趣和求知欲。
教学评估：1. 教师通过课堂练习和黑板展示学生的解题过程和答案，对学生的掌握情况进行评估。
导数的计算教案(二)教学目标:1. 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数的导数3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数. 重点:1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则.2.掌握几种常见函数的导数公式.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算. 难点: 能够运用导数公式和求导法则进行求导运算 教学过程创设情景、引入课题 问题1：复习导数定义 新课:1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率Δx Δy＝为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝Δx Δy＝.(2).函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(3)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(4).曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.(5)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝为f (x )的导函数．(6)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0.2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1) f ′(x )＝xln a 1f (x )＝ln xf ′(x )＝x 13.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．熟记以下结论：(1)x 1′＝－x21；(2)(ln|x |)′＝x 1； (3)(f (x )≠0)；(4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．例1.求下列函数的导数：(1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x 2；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2；(3)y ＝cos x ln x ； (4)y ＝xex . 解: (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋sin x 2cos x 2′＝(x －2)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝－2x －3＋12cos x ＝－2x 3＋12cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′＝3x 2－3x －6.(3)y ′＝(cos x ln x )′＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′＝－sin x ln x ＋cos xx .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝x ′e x －x e x ′e x2＝e x －x e x e 2x＝1－xe x.练习:课本小结: 于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错.故可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量回避利用积与商的求导公式. 作业:蓝本。
高中数学选修1-1《导数的计算》教案教学目标：1. 理解导数的定义和计算方法；2. 掌握基本初等函数的导数计算；3. 能够应用导数计算求解相关问题。
教学重点：1. 导数的基本定义；2. 基本初等函数的导数计算。
教学难点：1. 复合函数求导；2. 隐函数求导。
教学过程：一、导入新课引入导数概念，让学生尝试计算一些基本函数的斜率，引出导数的概念。
二、讲授新课1. 导数的定义（1）导数的概念：导数可以理解为函数的瞬时变化率，也就是函数在某一点的斜率，记为$f'(x)$。
（2）导数的计算公式：$$ f'(x)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$2. 导数的几何意义让学生进行画图模拟，引导学生理解导数的几何意义。
3. 导数的运算法则（1）和差法则：$(f\pm g)'=f'\pm g'$（2）积法则：$(fg)'=f'g+f g'$（3）商法则：$\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ （4）复合函数求导法则：若$y=f(u)$,$u=g(x)$，则$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(u)\cdotg'(x) $$4. 基本初等函数的导数计算（1）常数函数：$(k)'=0$（2）幂函数：$(x^n)'=nx^{n-1}$（$n$为正整数）（3）指数函数：$(e^x)'=e^x$（4）对数函数：$(\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a}$5. 隐函数求导（1）隐函数的定义如果$x,y$是一个关系式$F(x,y)=0$的解，且在此点的某个邻域内，$y$对应$x$的函数$y=f(x)$可以解出，那么函数$f(x)$就是由隐函数$F(x,y)=0$所确定的。
导数的计算教学设计教案一、教学目标：1.理解导数的概念和意义，知道导数的几何意义和实际应用。
2.掌握导数的计算方法，熟练运用求导法则。
3.能够根据函数的公式，准确计算函数的导数，并应用导数求解相关问题。
二、教学内容：1.导数的概念与几何意义。
2.导数的计算方法和性质。
3.求解函数的导数，包括常用函数和复合函数的求导法则。
4.导数在实际应用中的意义。
三、教学过程：1.导入（10分钟）教师通过问一些问题，引导学生思考：a.什么是函数？b.函数有哪些特性？c.函数在不同区间上有什么变化？2.概念与几何意义（20分钟）a.导数的概念：引导学生观察曲线上两点之间的斜率变化，并引导学生得出切线斜率极限的概念。
b.导数的几何意义：导数就是函数在其中一点处的切线斜率。
3.导数的计算方法和性质（30分钟）a.基本求导法则：常数法则、幂次法则、和差法则、乘积法则、商法则、复合函数求导。
b.导数的性质：导数与函数的和、差、积、商的关系。
4.求解函数的导数（40分钟）a.常用函数的导数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
b.复合函数的导数：应用链式法则进行求解。
c.基于导数求函数的极值、最大最小值。
5.导数在实际应用中的意义（20分钟）a.导数表示函数的变化率：如速度、斜率、增长率等。
b.导数与函数图像的关系。
c.应用导数解决实际问题，如极值问题、最优化问题等。
四、课堂练习（15分钟）1.给定一些函数的公式，让学生计算其导数。
2.给定一些实际问题，让学生应用导数进行求解。
五、总结与作业布置（10分钟）1.总结导数的定义、计算方法和几何意义。
2.布置作业：完成课堂练习和课后习题。
六、教学反思：导数作为微积分中的重要概念，对学生来说可能较为抽象和难以理解。
通过引导学生观察函数曲线、引入几何意义和实际应用等方式，可以帮助学生理解导数的概念和意义。
在计算导数时，通过引入基本求导法则和性质，以及复合函数求导的方法，可以帮助学生掌握导数的计算技巧。
导数的四则运算教案
一、教学目标
1. 理解导数的四则运算，掌握导数的加、减、乘、除运算规则。
2. 能够运用导数的四则运算规则解决一些简单的实际问题。
3. 培养学生的数学逻辑思维和运算能力。
二、教学内容
1. 导数的加法运算规则
2. 导数的减法运算规则
3. 导数的乘法运算规则
4. 导数的除法运算规则
三、教学难点与重点
难点：理解导数的四则运算规则，掌握其应用方法。
重点：导数的加、减、乘、除运算规则。
四、教具和多媒体资源
1. 黑板
2. 投影仪
3. 教学软件：几何画板
五、教学方法
1. 激活学生的前知：回顾导数的定义和性质，为学习导数的四则运算做准备。
2. 教学策略：通过讲解、示范、小组讨论等方式进行教学。
3. 学生活动：进行导数的四则运算练习，解决实际问题。
六、教学过程
1. 导入：通过实际问题导入，例如：速度的变化与加速度的关系，曲线的切线斜率等。
2. 讲授新课：讲解导数的四则运算规则，并举例说明。
3. 巩固练习：给出几个实际问题，让学生运用导数的四则运算规则求解。
4. 归纳小结：总结导数的四则运算规则，强调在实际问题中的应用。
七、评价与反馈
1. 设计评价策略：通过课堂小测验或小组报告的方式评价学生的学习效果。
2. 为学生提供反馈：根据学生的测验或报告结果，为学生提供学习建议和指导。
八、作业布置
1. 完成教材上的相关练习题。
2. 自行寻找一些实际问题，运用导数的四则运算规则求解。
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝xx --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。
教学对象：大学本科生教学目标：1. 理解导数的概念，掌握导数的定义及求导方法。
2. 掌握导数的四则运算法则，包括导数的加法、减法、乘法和除法法则。
3. 学会运用导数的四则运算法则求解复合函数的导数。
4. 通过实例分析，培养学生运用导数解决实际问题的能力。
教学重点：1. 导数的四则运算法则。
2. 复合函数的导数求解。
教学难点：1. 导数的四则运算法则的推导和应用。
2. 复合函数导数的求解。
教学准备：1. 教学课件2. 练习题教学过程：一、导入1. 复习导数的定义和求导方法。
2. 引入导数的四则运算法则，提出教学目标。
二、新知讲解1. 导数的四则运算法则（1）导数的加法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，则它们的和的导数为f'(x) + g'(x)。
（2）导数的减法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，则它们的差的导数为f'(x) - g'(x)。
（3）导数的乘法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，则它们的积的导数为f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
（4）导数的除法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，且g'(x)≠0，则它们的商的导数为(f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2。
2. 复合函数的导数求解（1）内函数和外函数的导数存在。
（2）根据链式法则，复合函数的导数为外函数导数乘以内函数导数。
三、例题分析1. 举例说明导数的四则运算法则的应用。
2. 举例说明复合函数导数的求解。
四、练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师解答学生疑问。
五、总结1. 回顾本节课所学内容，强调导数的四则运算法则和复合函数导数的求解。
2. 强调导数在实际问题中的应用。
六、课后作业1. 完成课后练习题，加深对导数的四则运算法则和复合函数导数的理解。
2. 预习下一节课内容。
教学反思：1. 本节课通过讲解导数的四则运算法则和复合函数导数的求解，帮助学生掌握了导数的运算方法。
初中求导教案教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 学会使用导数的基本公式；3. 能够运用导数解决一些实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和意义；2. 导数的基本公式；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的计算；2. 导数在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备PPT或者黑板，展示导数的定义和基本公式；2. 准备一些实际问题，用于引导学生运用导数解决。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾函数的概念，让学生思考函数在某一点的切线斜率；2. 引出导数的定义和意义。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率，用符号f'(x)表示；2. 讲解导数的基本公式：导数的基本公式有常数的导数为0，幂函数的导数，指数函数的导数等；3. 讲解导数的计算方法：导数的计算方法有求导法则，如和差法则、积法则、商法则等。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生自主完成一些导数的计算题目，巩固导数的计算方法；2. 让学生自主解决一些实际问题，运用导数的概念和计算方法。
四、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课的重点内容，让学生明确导数的定义、意义和计算方法；2. 拓展导数的应用，引导学生思考导数在其他领域的应用，如物理学、经济学等。
教学反思：本节课通过讲解导数的定义和意义，让学生理解导数的概念，通过讲解导数的基本公式和计算方法，让学生学会计算导数，并通过课堂练习和实际问题的解决，让学生巩固导数的计算方法和应用。
在教学过程中，要注意引导学生主动思考和探索，提高学生的数学思维能力。
课时安排：2课时教学目标：1. 让学生掌握导数的定义、导数的计算方法以及导数的运算法则。
2. 培养学生运用导数解决实际问题的能力。
3. 提高学生的数学思维能力。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法。
2. 导数的运算法则。
教学难点：1. 导数的计算方法。
2. 导数的运算法则的应用。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 导数相关习题。
教学过程：第一课时一、导入新课1. 复习函数的极限、导数的定义等基础知识。
2. 提问：如何求函数在某一点处的导数？引入导数的计算方法。
二、新课讲解1. 导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于0时的极限。
2. 导数的计算方法：（1）定义法：利用导数的定义求解导数。
（2）导数公式：掌握基本初等函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等。
（3）求导法则：掌握导数的运算法则，如和差、积、商的求导法则。
3. 导数的运算法则：（1）和差法则：两个函数的导数的和等于这两个函数导数的和。
（2）积法则：两个函数的导数的积等于第一个函数的导数与第二个函数的导数的乘积，再加上第一个函数与第二个函数导数的乘积。
（3）商法则：两个函数的导数的商等于第一个函数的导数与第二个函数的导数的商，减去第二个函数的导数与第一个函数导数的乘积。
三、课堂练习1. 学生独立完成多媒体课件中的导数计算题目。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、小结1. 回顾本节课所学内容，强调导数的定义、计算方法和运算法则。
2. 提醒学生注意导数的应用，提高数学思维能力。
第二课时一、复习导入1. 复习上一节课所学的导数知识。
2. 提问：如何运用导数解决实际问题？二、新课讲解1. 导数的应用：（1）求函数的极值：利用导数求函数的极值点，分析函数的单调性。
（2）求函数的拐点：利用导数求函数的拐点，分析函数的凹凸性。
（3）求函数的渐近线：利用导数求函数的水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
2. 案例分析：结合实际案例，讲解导数的应用。
课题：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目的：1. 记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解决实际问题.2. 能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数; 教学重点：会使用导数公式求函数的导数教学难点：会使用导数公式求函数的导数教学过程：一、讲解新课：1、基本初等函数的导数公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x af x x f x x-'=='=∈='=='==-'=='=='=='==若则若则若则若则若则若则若则若则 2、讲解例题 P83 例1 练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5 (2) y= x 4 (3) y= x -2 (4)y= 2 x (5) y=log3x3、导数运算法则4、讲解例题 例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数323y x x =-+的导数.解: 332(23)()(2)(3) 3 2.y x x x x x '''''=-+=-+=-Q32233 2.y x x y x '∴=-+=-函数的导数是[][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦练习： 求下列函数的导数（1）x x x y -+=23sin （2）)23)(12(++=x x y （3）x y tan =（4）x e y x ln =（5）1+=x x y 例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为).10080(1005284)(<<-=x xx c 求净化到下列纯度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）%90；（2）%98.例4 已知函数.ln x x y =（1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点1=x 处的切线方程.二、小结 ：1、基本初等函数的导数公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x a f x x f x x-'=='=∈='=='==-'=='=='=='==若则若则若则若则若则若则若则若则 2、导数运算法则三、课后作业：[][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。
一、教学目标1. 知识目标：使学生掌握导数的定义、导数的计算法则、求导公式以及导数的几何意义。
2. 能力目标：培养学生运用导数的运算解决实际问题的能力。
3. 情感目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨的数学思维。
二、教学重难点1. 教学重点：导数的定义、导数的计算法则、求导公式以及导数的几何意义。
2. 教学难点：导数的计算法则在实际问题中的应用。
三、教学过程（一）导入新课1. 复习函数的极限知识，引导学生回顾导数的概念。
2. 提出问题：如何求函数在某一点的导数？引导学生思考导数的计算方法。
（二）讲授新课1. 导数的定义：介绍导数的定义，通过实例讲解导数的计算方法。
2. 导数的计算法则：讲解导数的四则运算法则，包括和、差、积、商的导数运算。
3. 求导公式：介绍基本初等函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
4. 导数的几何意义：讲解导数的几何意义，即函数在某一点的切线斜率。
（三）课堂练习1. 练习导数的计算，包括简单函数的导数、复合函数的导数等。
2. 练习导数的几何意义，如求函数在某一点的切线方程、求函数在某一点的最值等。
（四）讲解习题1. 讲解典型习题，如求函数在某一点的导数、求函数在某一点的最值、求函数的拐点等。
2. 分析习题的解题思路，总结解题方法。
（五）课堂小结1. 总结导数的运算方法，强调导数的计算法则和求导公式的重要性。
2. 强调导数的几何意义在实际问题中的应用。
（六）布置作业1. 布置与导数的运算相关的习题，巩固所学知识。
2. 布置与导数相关的实际问题，提高学生运用导数解决实际问题的能力。
四、教学反思1. 在教学过程中，注重引导学生积极参与课堂讨论，培养学生的合作学习意识。
2. 注重对导数的运算方法的讲解，让学生掌握导数的计算技巧。
3. 通过实际问题，提高学生运用导数解决实际问题的能力。
4. 在课后，关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高教学质量。
课程名称：高等数学授课对象：大学本科生课时安排：2课时教学目标：1. 理解导数的四则运算法则，掌握其应用。
2. 通过实例练习，提高运用导数四则运算法则解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
教学重点：1. 导数的四则运算法则。
2. 运用导数四则运算法则解决实际问题。
教学难点：1. 理解导数四则运算法则的推导过程。
2. 正确运用导数四则运算法则解决实际问题。
教学准备：1. 多媒体课件2. 导数四则运算法则的相关资料3. 实例练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习导数的定义和求导方法。
2. 引入导数的四则运算法则，提出本节课的学习目标。
二、新课内容1. 导数的四则运算法则：（1）导数的加法法则：若f(x)和g(x)在x处可导，则[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)。
（2）导数的减法法则：若f(x)和g(x)在x处可导，则[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)。
（3）导数的乘法法则：若f(x)和g(x)在x处可导，则[f(x)g(x)]' =f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
（4）导数的除法法则：若f(x)和g(x)在x处可导，且g(x) ≠ 0，则[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。
2. 导数四则运算法则的推导过程。
3. 运用导数四则运算法则解决实际问题。
三、实例练习1. 给出几个函数，让学生运用导数四则运算法则求出它们的导数。
2. 给出几个实际问题，让学生运用导数四则运算法则解决。
四、总结1. 总结本节课所学内容，强调导数四则运算法则的重要性。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
第二课时一、复习1. 复习上节课所学的导数四则运算法则。
2. 提出本节课的学习目标。
二、新课内容1. 深入探讨导数四则运算法则的应用。
课时安排：2课时教学目标：1. 理解导数的概念，掌握导数的定义和求导方法。
2. 熟练运用导数的四则运算法则，解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
教学重点：1. 导数的定义和求导方法。
2. 导数的四则运算法则。
教学难点：1. 导数的概念理解。
2. 导数的四则运算法则的应用。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习函数的基本概念，如函数的定义、函数的图像等。
2. 提问：如何研究函数在某一点处的性质？引入导数的概念。
二、新知讲解1. 导数的定义：- 给出导数的定义，解释导数的几何意义和物理意义。
- 通过举例说明导数的计算方法。
2. 求导方法：- 讲解求导的基本方法，如直接求导、复合函数求导、隐函数求导等。
- 通过具体例子演示求导过程。
三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 求函数f(x) = x^2在x=1处的导数。
- 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1的导数。
- 求函数f(x) = sin(x)在x=π/2处的导数。
四、课堂小结1. 总结导数的定义和求导方法。
2. 强调导数在研究函数性质中的应用。
第二课时一、导入1. 复习上节课的内容，回顾导数的定义和求导方法。
2. 提问：如何利用导数解决实际问题？引入导数的四则运算法则。
二、新知讲解1. 导数的四则运算法则：- 讲解导数的四则运算法则，包括和、差、积、商的求导法则。
- 通过具体例子演示四则运算法则的应用。
2. 导数的应用：- 讲解导数在研究函数性质中的应用，如函数的单调性、极值、最值等。
- 通过具体例子说明如何利用导数解决实际问题。
三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 求函数f(x) = x^2 + 3x - 2在x=1处的导数。
- 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1的导数，并求其在x=0处的导数值。
- 利用导数研究函数f(x) = sin(x)的单调性。
四、课堂小结1. 总结导数的四则运算法则。
导数的计算一、考点热点回顾教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式； 教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式．几个常见函数的导数探究1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．探究2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x ∆+∆-+∆-===∆所以00lim lim11x x yy x ∆→∆→∆'===1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．探究3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00limlim(2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．探究4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆探究5．函数()y f x ==的导数因为()()y f x x f x x x x ∆+∆-==∆∆∆==所以0limlim x x y y x ∆→∆→∆'===∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=二、典型例题1．下列各式正确的是( )A. (sin α)′＝cos α(α为常数)B. (cos x )′＝sin xC. (sin x )′＝cos xD. (x －5)′＝－15x －6【答案】C【解析】由导数运算法则易得，注意A 选项中的α为常数，所以(sin α)′＝0. 选C 2．下列求导运算正确的是（ ） A. '1(2)=2x x x -⋅ B. 2'211()2x x x x-=-C. '(3)3x xe e = D. ()'2cos sin ()cos cos x x x xx x -= 【答案】C【解析】由题意结合导函数的运算法则和导数计算公式可得：()2'2ln2x x =⨯， 2211'2x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ()3'3x x e e =， ()2cos sin 'cos cos x x x x x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.3．已知()3ln3xf x =+，则()f x '等于( )A. 3xB. 13ln33x +C. 33ln3x x +D. 3ln3x 【答案】D【解析】由题意结合导数的运算法则有：()()()'3'ln3'3ln303ln3x x x f x =+=+=.本题选择D 选项.4．函数()()21f x x =+的导函数为（ ）A. ()1f x x '=+B. ()21f x x '=+C. ()2f x x '=+D. ()22f x x '=+ 【答案】D【解析】因为()()22121f x x x x =+=++，所以()22f x x '=+，应选答案D 。
5．已知函数()()36,1xf x xg x e =-=-，则这两个函数的导函数分别为 ( )A. ()()263,xf x xg x e ''=-= B. ()()23,1xf x xg x e '=='--C. ()()23,xf x xg x e ''=-= D. ()()263,1xf x xg x e '=='--【答案】C【解析】由导函数的运算法则可得若函数()()36,1xf x xg x e =-=-，则这两个函数的导函数分别为()()23,xf x xg x e ''=-= .本题选择C 选项.6．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有2条． 7．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD.1e解析：选A 由条件得y ′＝e x ，根据导数的几何意义，可得k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1. 8．已知f (x )＝－3x 53，则f ′(22)＝( ) A ．10 B ．－5x 23C ．5D ．－10解析：选D ∵f ′(x )＝－5x 53，∴f ′(22)＝－5×223×23＝－10，故选D.9．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3解析：选A 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ， ∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A. 10. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C.π4D.5π4解析：选C ∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.11．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x ；(3)y ＝log 3x ； (4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2. 解：(1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－1＝8x 7. (2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4. (3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.(4)y ′＝(cos x )′＝－sin x . (5)y ′＝(e 2)′＝0.三、课堂练习1．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1e .∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0.答案：1ex －e y ＝02．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________. 解析：因为f ′(x )＝0，g ′(x )＝1x ，所以2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝2x －1x ＝1.解得x ＝1或x ＝－12，因为x ＞0，所以x ＝1.答案：13．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：显然点(a ，a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点，∵y ′＝2x ，∴直线l 的方程为y －a 2＝2a (x －a )． 令x ＝0，得y ＝－a 2，∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0，－a 2)． 答案：(0，－a 2)4．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点， (1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程． (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2， 过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4，过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为： y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523B.110523C.25523D.110523 解析：选B ∵s ′＝15t －45.∴当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.6．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.7．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)解析：选D 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，因为切线的倾斜角为34π，所以切线斜率为－1，即f ′(x )＝－1x 2＝－1，所以x ＝±1，则当x ＝1时，f (1)＝1；当x ＝－1时，f (1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．8．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A. 1nB.1n ＋1C.n n ＋1D ．1解析：选B 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n . 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1， 故选B.9．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2， 又∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴1x ＝2，解得x ＝12.∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－ln 2. 故切线方程为y ＋ln 2＝2⎝⎛⎭⎫x －12. 即2x －y －1－ln 2＝0. 答案：2x －y －1－ln 2＝010．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________________．解析：∵y ′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a2，令y ＝0，得x ＝－a ，由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.答案：411．已知曲线方程为y ＝f (x )＝x 2，求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程． 解：设切点P 的坐标为(x 0，x 20)． ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴k ＝f ′(x 0)＝2x 0， ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B (3,5)代入上式，得5－x 20＝2x 0(3－x 0)， 即x 20－6x 0＋5＝0，∴(x 0－1)(x 0－5)＝0， ∴x 0＝1或x 0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.12．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P (x 0，y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点． ∵y ′＝⎝⎛⎭⎫a 2x ′＝－a2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a 2x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝2a 2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.导数的运算法则（一）导数的加减法运算法则：1．[]='±)()(x g x f 2．[]='+c x f )( 3、导数的加法与减法法则1．导数的加法与减法法则的推导 令)()()(x v x u x f y ±==，[][])()()()(x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆[][])()()()(x v x x v x u x x u -∆+±-∆+=vu ∆+∆=xv x u x y ∆∆±∆∆=∆∆∴， 所以xyx ∆∆→∆0lim 0lim→∆=x （xvx u ∆∆±∆∆） 0lim→∆=x x v x u x ∆∆±∆∆→∆0lim)()(x v x u '±'=即v u v u y '±'='±=')(说明：对推导方法有兴趣的同学来说，了解足够了，不要求掌握。
