空间向量解决立体几何

纵观立体几何考题感悟向量方法解题

在高中数学学习中，立体几何一直是学生们非常头疼的一个部分。立体几何的主要难点是空间的复杂性，加上几何思维本来就不易理解，许多学生解题困难。但是，通过向量方法解题是一种很好的解决立体几何问题的方法。本文将通过纵观立体几何考题，分享一些关于向量方法解题的经验与感悟。

一、向量的基本概念及运算

向量的表示法是用箭头表示。箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。一个向量可以被表示为一个由有序数对$(x,y)$所确定的点A和另一个由有序数对$(x',y')$所确定的点B之间的向量$\vec{AB}$。向量也可以表示为箭头的坐标，即$\vec{AB}=\begin{pmatrix}x'-x\\y'-y\end{pmatrix}$。向量的大小表示为$|\vec{AB}|=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}$。

向量的运算有向量加法和向量数乘。向量加法的定义是：$\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{pmatrix}$。其中，$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$。向量数乘的定义是：$\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$。其中，$\lambda$是一个实数。

二、应用向量方法求解空间几何问题

1.立体几何基本概念

首先，我们需要掌握一些立体几何的基本概念，比如平面、线段、角等。此外，还需要了解空间中的直线、平面、空间角、平行线等概念。了解这些概念是建立解题基础的必要条件。

2.向量表达式的转化

在解题中，我们可以通过向量的基本运算将问题转化为向量的加、减、数乘问题。因此，我们需要能够将向量从一个表达式转化为另一个表达式，并灵活地运用向量的加、减、数乘运算法则来求解问题。

立体几何点到直线的距离公式空间向量

在我们学习立体几何的时候，那个点到直线的距离公式和空间向量可真是让人又爱又恨。就像在一个神秘的三维世界里探险，充满了未知和挑战。

记得我当年上高中的时候，立体几何这一块可把我折磨得够呛。特别是那个点到直线的距离公式，每次做题都感觉像是在走迷宫，一不小心就迷路了。有一次数学考试，最后一道大题就是关于点到直线距离的。我看着题目，心里那叫一个慌啊！题目说在一个空间坐标系里，有一个点 P(x₁, y₁, z₁)，还有一条直线，用向量的形式表示出来是 (a,

b, c) ，并且直线上有一个点 Q(x₂, y₂, z₂) ，让求点 P 到这条直线的距离。

我当时就想，这可咋整啊？我先试着按照老师讲的方法，设出直线上一点 M(x, y, z) ，然后表示出向量 PM ，再让它和直线的方向向量垂直，列出方程。可是算着算着，我就发现自己越来越乱，式子越来越复杂，脑袋都快炸了！到最后，考试时间快结束了，我还是没算出来，那个着急啊，手心都出汗了。

等试卷发下来，看着那道题的大红叉，心里别提多难受了。从那以后，我就下定决心，一定要把这个点到直线的距离公式给搞明白。

咱们先来说说这个点到直线的距离公式到底是啥。简单来说，如果在空间直角坐标系中，点 P(x₁, y₁, z₁) ，直线 L 的方向向量为 s = (m, n, p) ，直线上一点 Q(x₂, y₂, z₂) ，那么点 P 到直线 L 的距离 d 就可以表示为：

\[d = \frac{\vert \overrightarrow{PQ} \times s \vert}{\vert s \vert}\]

这里的“×”表示向量的叉乘。这个公式看起来有点复杂，但是只要咱们理解了其中的原理，用起来还是挺顺手的。

再来说说空间向量。空间向量就像是我们在三维世界里的导航仪，能帮助我们解决很多立体几何的问题。比如说，通过空间向量可以很方便地求两条直线的夹角、两个平面的夹角等等。

空间向量在立体几何中的应用

教学目标

1、知识与技能

(1) 进一步理解向量垂直的充要条件；

(2)利用向量法证明线线、线面垂直；

(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法；

2、过程与方法

通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。

3、情感态度与价值观

通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感，

从而激发学数学、用数学的热情。

教学重点

建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。

教学难点、关键

建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。

教学方法

启发式教学、讲练结合

教学媒体

ppt课件

学法指导

交流指导，渗透指导.

课型

新授课

教学过程

一、知识的复习与引人

自主学习

1.若OP=xi+yj+zk，那么（x，y，z）叫做向量OP的坐标，也叫点P的坐标.

2. 如图，已知长方体的边长为AB=2,AD=2,

1AA．以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及AC中点G的坐标．

3.设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），那么

ba=（x1±x2，y1±y2， ）， a⊥b⇔ ba=x1x2+y1y2+ =0.

4.设M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2），则 12MM（2121,xxyy， ）

[探究]

1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个．

2．空间位置关系的向量表示

[合作探究]

二、新授课：利用空间向量证明线线垂直、线面垂直

例1、如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB1的中点．

试卷第1页，总14页 专题5：理科高考中的线面角问题（解析版）

求直线和平面所成的角

求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为， 则为的余角或的补角

的余角.即有：coss.inauau

1．如图,在三棱锥ABCD中,ABC是等边三角形,90BADBCD,点P是AC 的中点,连接,BPDP．

（1）证明:平面ACD平面BDP;

（2）若6BD,且二面角ABDC为120,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析（2）22

【分析】

（1）由ABC是等边三角形,90BADBCD,得ADCD．再证明PDAC,PBAC,从而和证明AC平面PBD,故平面ACD平面BDP得证．

（2）作CEBD,垂足为E连接AE．由RtRtABDCBD,证得,AEBD,AECE结合二面角ABDC为120,可得2AB,233AE,63ED.建立空间直角坐标系,求出点的坐标则60,,03D,3,0,13A,向量36,,133AD,即平面BCD的一个法向量(0,0,1)m,运用公式cos,mADmADmAD和sincos,mAD,即可得出直线AD与平面BCD所成角的正弦值． 试卷第2页，总14页 【详解】

解:（1）证明:因为ABC是等边三角形,90BADBCD,

所以RtRtABDCBD,可得ADCD．

因为点P是AC的中点,则PDAC,PBAC,

因为PDPBP,PD平面PBD,PB平面PBD,

所以AC平面PBD,因为AC平面ACD,

所以平面ACD平面BDP．

（2）如图,作CEBD,垂足为E连接AE．

因为RtRtABDCBD,

所以,AEBD,AECEAEC为二面角A-BD-C的平面角．