微专题64 利用空间向量解立体几何问题
一、基础知识
（一）刻画直线与平面方向的向量
1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =--
2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线
（2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组：
1112220
x y z x y x y z x y z z ++=??
++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量
解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y
z y =-??=?
::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=-
（二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面
,αβ的法向量）
1、判定类
（1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥ （3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类：
（1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b
θ?==
（2）线面角：cos ,sin a m a m a m θ?=
=
（3）二面角：cos cos ,m n m n m n
θ?==或cos cos ,m n m n m n
θ?=-=-
（视平面角与法向
量夹角关系而定）
（4）点到平面距离：设A 为平面α外一点，P 为平面α上任意一点，则A 到平面α的距离为A AP n d n
α-?=
，即AP 在法向量n 上投影的绝对值。
（三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧
1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标(),,x y z ，再想办法利用条件求出坐标
2、解题关键：减少变量数量——(),,x y z 可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断： （1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标 （2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标 规律：维度=所用变量个数
3、如何减少变量：
（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若,a b R λ??∈∥使得a b λ= 例：已知()()1,3,4,0,2,1A P ，那么直线AP 上的某点(),,M x y z 坐标可用一个变量表示，方法如下：()()1,3,4,1,1,3AM x y z AP =---=---——三点中取两点构成两个向量 因为M 在AP 上，所以AM AP AM AP λ?=∥ ——共线定理的应用（关键）
11334343x x y y z z λλλλλλ-=-=-????
∴-=-?=-????-=-=-??
，即()1,3,43M λλλ---——仅用一个变量λ表示 （2）平面上的点：平面向量基本定理——若,a b 不共线，则平面上任意一个向量c ，均存在
,R λβ∈，使得：c a b λβ=+
例：已知()()()1,3,4,0,2,1,2,4,0A P Q ，则平面APQ 上的某点(),,M x y z 坐标可用两个变
量表示，方法如下：()()()1,3,4,1,1,3,2,2,1AM x y z AP PQ =---=---=-，故
AM AP PQ λβ=+，即121232324343x x y y z z λβλβλβλβλβλβ-=-+=-+????
∴-=-+?=-+????-=--=--??
二、典型例题
例1：（2010 天津）在长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1,BC CC 上的点，
2CF AB CE ==，1::1:2:4AB AD AA =
（1）求异面直线1,EF A D 所成角的余弦值 （2）证明：AF ⊥平面1A ED （3）求二面角1A ED F --正弦值
解：由长方体1111ABCD A B C D -得：1,,AA AB AD 两两垂直
∴ 以1,,AA AB AD 为轴建立空间直角坐标系
（1）()()()13
1,,0,1,2,1,0,0,4,0,2,02
E F A D ?? ???
()110,,1,0,2,42EF A D ??
∴==- ???
1113cos ,5
5
EF A D EF A D EF A D
?∴=
=
=-?
3cos 5
θ∴=
（2）()1,2,1AF =，设平面1A ED 的法向量为(),,n x y z =
()110,2,4,1,,02A D DE ?
?=-=- ??
?
240
::1:2:11
02
y z x y z x y -=??∴?=?-=?? ()1,2,1n ∴= AF n ∴∥ AF ∴⊥平面1A ED
（3）设平面EDF 的法向量(),,m x y z =
()11,,0,1,0,12DE DF ?
?=-= ??
?
()10::1:2:120
x y x y z x z ?
-=?∴?=-??+=? ()1,2,1m ∴=- ()1,2,1n =42cos ,63
m
n m n m n
?∴=
=
= sin θ∴=
例2：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，若MN 分别为棱,PD PC 上的点，O 为AC 中点，且22AC OM ON == （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD
（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值 （3）求点N 到平面ACM 的距离 解：PA ⊥平面ABCD ,PA AB PA AD ∴⊥⊥
矩形ABCD AB AD ∴⊥ 故,,PA AB AD 两两垂直
以,,PA AB AD 为轴建立空间直角坐标系
()()()()()0,0,4,2,0,0,2,4,0,0,4,0,1,2,0P B C D O 22AC OM ON ==，且,OM ON 分
别
为
,AMC ANC 的中线 ,AN PC AM PD ∴⊥⊥
设点(),,M x y z ，因为,,P M D 三点共线
PM PD λ∴= 而()(),,4,0,4,4PM x y z PD =-=-
()0,4,4PD λλλ∴=- 0444x y z λ
λ=??
∴=??-=-?
()0,4,44M λλ∴- 而0AM PD AM PD ⊥??=
∴ ()11644402
λλλ--=?=
()0,2,2M ∴
同理，设点(),,N x y z ，因为,,P N C 三点共线
PN PC μ∴= 而()(),,4,2,4,4PN x y z PC =-=-
()2,4,4PD μμμμ∴=- 2444x y z μμ
μ=??
∴=??-=-?
()2,4,44N μμμ∴- 而0AN PC AN PC ⊥??=
∴ ()44+1644409
μμμμ--=?=
81620,,999N ??∴ ???
（1）设平面ABM 的法向量为()1,,n x y z = ()()2,0,0,0,2,2AB AM ==
()1200,1,1220x n y z =?∴?=-?+=?
设平面PCD 的法向量为()2,,n x y z = ()()2,4,4,2,0,0PC DC =-=
()224400,1,120
x y z n x +-=?∴?=?=? 120n n ∴?= 12n n ∴⊥
∴ 平面ABM ⊥平面PCD
（2）设平面ACM 的法向量为(),,n x y z
()()2,4,0,0,2,2AC AM == ()2402,1,1220x y n y z +=?∴?=-?+=?
而()2,0,0CD =-
∴设直线CD 与平面ACM 所成角为θ
，则sin cos ,3
2CD n CD n CD n
θ?==
=
=
??
（3）
89
N ACM
AN n d n
-??===平面 例3：已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2,1,AD AB PA ==⊥平面
ABCD ，,E F 分别是线段,AB BC 的中点
（1）求证：PF FD ⊥
（2）在线段PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ，若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由
（3）若PB 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角
A PD F --的余弦值
解：因为PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 是矩形 ∴ 以,,PA AD AB 为轴建立空间直角坐标系，设
PA h =
()()()()()10,0,,1,0,0,0,2,0,1,2,0,1,1,0,,0,02P h B D C F E ??
∴ ???
（1）()()1,1,,1,1,0PF h FD ∴=-=- 0PF FD ∴?=
PF FD ∴⊥
（2）设()0,0,G a 1
,0,2
EG a ??∴=- ???
设平面PFD 的法向量为(),,n x y z =
()()1,1,,1,1,0PF h FD =-=-
002
x h
x y zh y h x y z =?+-=??∴?=??-+=??=?
(),,2n h h ∴= EG ∥平面PFD EG n ∴⊥
1202EG n h a ∴?=-+=解得1
4
a h =
∴ 存在点G ，为AP 的四等分点（靠近A ）
（3）PA ⊥底面ABCD PB ∴在底面ABCD 的投影为BA
PBA ∴∠为PB 与平面ABCD 所成的角，即45PBA ∠= PBA ∴为等腰直角三角形 1AP AB ∴==即1h =
∴平面PFD 的法向量为()1,1,2
n =
平面APD 为yOz 平面，所以平面APD 的法向量为()0,1,0m = 设二面角A PD F --的平面角为θ，可知θ为锐角
cos cos ,6m n θ∴==
= 例
4
：
四
棱
锥
P ABCD
-中，平面
PAB ⊥平面ABCD ，
,90,3,AD BC ABC PA PB ∠===∥1,2,3,BC AB AD O ===是AB 中点
（1）求证：CD ⊥平面POC
（2）求二面角C PD O --的平面角的余弦值
（3）在侧棱PC 上是否存在点M ，使得BM ∥平面POD ，若存在，求出
CM
PC
的值；若不存在，请说明理由 解：过O 在平面ABCD 作AB 的垂线交CD 于Q
,PA PB O =为AB 中点
PO AB ∴⊥
平面PAB ⊥平面ABCD PO ∴⊥平面ABCD
,PO OB PO OQ ∴⊥⊥ OQ AB ⊥
∴以,,PO OB OQ
为轴建立空间直角坐标系
PO =
=
(()()()(),1,0,0,1,0,0,1,1,0,1,3,0P B A C D ∴--
（1）()2,2,0CD =- 设平面POC 的法向量为(),,n x y z =
()
()0,0,22,
1,1,0OP OC ==
0000OP n x y OC n ???==??∴???+=??=???
()1,1,0n ∴=- CD n ∴∥ ∴CD ⊥平面POC
（2）设平面PCD 的法向量为()1,,n x y z =
()
()1,1,22
,2,2,0PC CD =-=-
11002200PC n x y x y CD n ???=+-=??∴???-+=?
?=??
? (
)
12,n ∴=
设平面PDO 的法向量为()2,,n x y z =
()
()0,0,2
2,1,3,0OP OD ==-
2200300OP n x y OD n ???==??∴???-+=??=???
()23,1,0n ∴= 121212
4
cos ,5
n n n n n n ?∴=
=? 所以二面角C PD O --的平面角的余弦值为45
（
3）设(),,M x y z CM CP λ=
()(1,1,,1,
CM x y z CP =--=--
()
111,1
22x y M z λλλλλ
?-=-?
∴-=-?--??
=? ()
,1BM λλ∴=-- 而平面PDO 的法向量为()23,1,0n = BM ∥平面POD 20310BM n λλ∴?=?-+-=
14λ∴=
14
CM PC ∴= 例5：已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面
ABCD
120BAD ∠=，PA b =
（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC
（2）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC O PM D --的正切值是:a b 的值
建系思路一：由PA 与底面垂直，从而以PA 作为z 得取CD 中点T ，连结AT 则有AT AB ⊥系
解：取CD 中点T ，连结AT ，可得AT CD ⊥ AB AT ∴⊥ PA ⊥平面ABCD
C
∴以,,PA AB AT 为轴建立空间直角坐标系
可得：(
)()11,0,0,,
,0,,,0,0,0,2
222B a C a D a P b ????-
? ?????
（1）设平面PBD 的法向量为(),,m x y z =
(
)3,0,,,02PB a b BD a ??=-=- ???
3022x b ax bz y ax z a
=?-=???
∴?=??-+
=??=?? ()
,3,m b a ∴= 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z
=
()10,0,,,,022AP b AC a ??== ?
??
1100
22x z y ax ay z ?==???
∴?=??+
=??=?? ()
3,1,0n ∴=- 0m n ∴?= ∴ 平面PBD ⊥平面
PAC
（2
）13,0,,,04
488O a a M a ????
? ?????
设平面OPM 的法向量为()1,,n x y z =
131,,,,,044
88OP a a b
OM a ??
??=--= ? ?????
104110
08
8x ax bz y z ax ay ??=--+=???∴?=????=+=??? ()
13,1,0n ∴=- 设平面PMD 的法向量为()
2,,n x y z =137,,,,02
288PD a a
b MD a a ???
?=--=
- ? ?????
1
027708
8
x ax bz y b ax
z ??=-+-=???∴?=?
???-+==???
(
)
23,7n b b ∴
=
设二面角O PM D
--的平面角为θ，则tan θ=1
cos 5
θ=
121cos cos ,5
n n θ∴==
=
222101005227b b b a =?=+
224816279a b ∴== 4:3a b
∴= 建系思路二：由思路一可发现尽管建系思路简单，但是所涉及的点的坐标过于复杂，而导致后面的计算繁杂。所以考虑结合图形特点，建立
坐标简单的坐标系，从而简化运算：利用菱形对
角线垂直的特点，以O 为坐标原点。过O 作PA 的平行线，即可垂直底面，从而所建立的坐标系使得底面上的点均在轴上；另一方面，可考虑以OC 为单位长度，可得2a =，避免了坐标中出现过多的字母
解：过O 作OT PA ∥，PA ⊥平面ABCD
AT ∴⊥平面ABCD
因为ABCD 为菱形，所以OC OD ⊥
∴以,,OT OC OD 为轴建立空间直角坐标系，以OC 为单位长度
()(
)(
)()
()1,0,0,1,0,0,0,,,1,0,A C B D P b ∴--
（1）设平面PBD 的法向量为(),,m x y z =
()()
1,3,,0,2PB b BD =
--
=
0001x b
x bz y z =??--=??∴?=??=???
=?
(),0,1m b ∴= 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z = 因为平面PAC 即为xOz 平面 ()0,1,0n ∴=
0m n ∴?= ∴ 平面PBD ⊥平面PAC
（2）1,0,02
M ?? ???
设平面OPM 的法向量为()1,,n x y z =
()11,0,,,0,02OP b OM ??
=-= ???
011002x x bz y x z =?-+=???∴?=??=??=??
()10,1,0n ∴=
设平面PMD 的法向量为()
2,,n x y z =(
)
11,3,,2PD
b MD ??
=-=
- ??
?
0102x x bz y b
x z ?=?+-=??
∴?=?
?-+=???=? (223,n
b ∴= 设二面角O PM D --的平面角为θ，则tan θ=
1
cos 5
θ=
121cos cos ,5
n n θ∴==
=
2222795251327124
b b b b =?=+?== 3,22b a CD === 4:3a
b
∴=
例6：如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60,BAD DE AB ∠=⊥于点E ，将ADE 沿DE 折起到1A DE 的位置，使得1A D DC ⊥ （1）求证：1A E ⊥平面BCDE （2）求二面角1E A B C --的余弦值
（3）判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ，若存在，求出EP
PB
的值，若不存在，请说明理由
解：（1）
1,CD ED CD A D
⊥⊥
CD ∴⊥ 平面1A ED
1CD A E ∴⊥
1A E DE ⊥
1A E ∴⊥ 平面BCDE
（2）11,A E ED A E BE ∴⊥⊥
DE BE ⊥ 1,,A E ED BE ∴两两垂直
以1,,A E ED BE 为坐标轴建立坐标系
计算可得：2,AE DE ==
()(
)(
)()
10,0,2,2,0,0,A B D C ∴
（2）平面1EA B 的法向量为()0,1,0m 设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =
()()
1
2,23,0,4,22BC AC
==
-
{
10200
420BC n x x z AC n x z ???=+=??∴??==???=+-=???
? (
3,n ∴=
-
设二面角1E A B C --的平面角为θ
cos cos ,717
m n m n m n
θ?==
=
=-??
（3
）设(),0,0P λ
设平面1A DP 的法向量为()1,,n x y z =
()
12
A D =- ()1,0,2A P λ=-
11112020200x A D n z y x z A P n z λλ=?????=-=?
?
?∴??=???-=??=????
=??
12,,3
n λ??∴
= ??
?
平面1A DP ⊥平面1A BC
1003
n n ∴?=?+= 解得：3λ=- ()3,0,0P ∴-不在线段BE 上，故不存在该点
小炼有话说：（1）对待翻折问题要注意在翻折的过程中，哪些量和位置关系是不变的，要将平面图形的相关量与翻折后的几何体建立对应关系。 （2）在处理点的存在性问题时，求该点所在平面法向量的过程中会遇到所解方程含参的情况，此时可先从含参方程入手，算出满足方程的一组值，再代入另一方程计算会比较简便。
例7：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA
的中点，且1,AB AC AD ===
（1）证明：MN ∥平面PCD ；
（2）设直线AC 与平面PBC 所成角为α，当α在0,6π??
???
内变化时，求二面角P BC A --的取值范围． 解：
222AB AC AD += AB AC ∴⊥
PA ⊥平面ABCD ,PA AB PA AC ∴⊥⊥
以,,PA AB AC 为轴建立直角坐标系，设PA h =
()()()()111,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,,0,0,,,,0222h B C D P h N M ????
- ? ?????
（1）1
1,,222h MN ??=-- ???
，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =
()()1,0,0,0,1,CD PC h =-=-
0000CD n x y zh PC n ??=-=??∴???-=?=??? ()0,,1n h ∴=
11
022
MN n h h ∴?=-+=
MN ∴∥平面PCD
（2）设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =
()()1,1,0,1,0,BC PB h =-=-
0000
BC m x y x zh PB m ??=-+=??∴???-=?=??? (),,1m h h ∴=
D
B
()0,1,0AC =
sin cos ,AC m α==
0,
6πα??
∈ ???
1sin 0,2α??
∴
∈ ???
即102
<
<
2210,2142h h h ?∴
平面BCA 的法向量为()10,0,1n = (),,1m h h ∴=
111
cos ,2
m n m n m n h ?∴=
=
?
由2h ?
?∈ ? ???可得()2
211,2h +∈ 12cos ,2m n ??∴
∈ ? ??? 设二面角P BC A --的平面角为θ 则cos 2θ??∈
? ???
0,4πθ??∴∈ ??? 例8：在如图所示的多面体中，EA ⊥平面,ABC DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且
22AC BC BD AE ====，M 是AB 中点 （1）求证：CM EM ⊥ （2）求平面EMC 与平面BCD
（3）在棱DC 上是否存在一点N ，使得直线MN 与平面所成的角为60？若存在，指出点N 明理由
解：过A 在平面ABC 上作BC 的平行线AN AC BC ⊥ AN AC ∴⊥
EA ⊥平面ABC ,AE AN AE AC ∴⊥⊥ ,,AE AC AN ∴两两垂直 如图建系：
()()()()()2,2,0,0,2,0,2,2,2,1,1,0,0,0,1B C D M E
（1）()()1,1,0,1,1,1CM EM ∴=-=-
0CM EM ∴?= CM EM ∴⊥
CM EM ∴⊥
（2）设平面EMC 的法向量为()1,,n x y z =
()()1,1,0,1,1,1CM EM =-=- ()101,1,20
x y n x y z -=?∴?=?+-=? 设平面BCD 的法向量为()2,,n x y z =
()()0,0,2,2,0,0BD CB == ()1200,1,020
z n x =?∴?=?=? 设平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值为θ
则1212
12
cos cos ,6
n n n n n n θ?==
=
=
? （3）设(),,N x y z
N 在CD 上
CN CD λ∴= ()2,0,2CD = (),2,CN x y z =-
()2,0,2CD λλλ∴=
2220222x x y y z z λλλλ==????
∴-=?=????==??
()2,2,2N λλ∴ ()21,1,2MN λλ∴=-
111
sin cos ,6
MN n MN n
MN n θ?∴==
=
=
? 2
=
解得：12λ=
1
2
CN CD ∴=
∴ 存在点N ，当N 为CD 中点时，直线MN 与平面EMC 所成的角为60
例9：如图，在四棱锥P ABCD 中，PA 底面ABCD ，AD AB ，//AB DC ，
2AD DC AP ，1AB ，点E 为棱PC 的中点．
（1）证明：BE DC ⊥
（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值
（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值
解：PA ⊥底面ABCD ,PA AD PA AB ∴⊥⊥
,,PA AD AB ∴两两垂直，如图建系：
()()()()()0,0,2,1,0,0,0,2,0,2,2,0,1,1,1P B D C E
（1）()()0,1,1,2,0,0BE DC ==
0BE DC BE DC ∴?=?⊥
BE DC ∴⊥
（2）设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =
()()1,0,2,1,2,0PB BD =-=- ()202,1,120x z n x y -=?∴?=?-+=?
设直线BE 与平面PBD 所成角为θ
3
sin cos ,3
26
BE n BE n BE n
θ?∴==
=
=
?? （3）设(),,F x y z ()(),,2,2,2,2PF x y z PC ∴=-=-
,,P F C 三点共线 ()2,2,2PF PC λλλλ∴==-
2222x y z λλλ=??
∴=??-=-?
()2,2,22F λλλ∴- ()21,2,22BF λλλ∴=-- ()2,2,0AC =
BF AC ⊥ ()221220BF AC λλ∴?=-+?=解得：14
λ=
113,,222F ??∴ ???
设平面FAB 的法向量为(),,m x y z =
z y x
P
E D
B
A
()1131,0,0,,,222AB AF ??
== ???
()00,3,1113
0222
x m x y z =??∴?=-?++=?? 平面ABP 的法向量为()0,1,0n =
3
cos ,1010
10m n m n m n
?∴=
=
=? ∴二面角F AB P --的余弦值为
3
1010
例10：如图，在三棱柱111ABC A B C -，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1
C H ⊥平面11AA B B ，且15C H =
（1）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值 （2）求二面角111A AC B --的正弦值
（3）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长 解：连结11,A B AB ，因为H 是正方形11AA B B 的中心
11,A B AB ∴交于H ，且11HA HB ⊥ 1C H ⊥平面11AA B B
∴如图建系：()()()()()
1112,0,0,0,2,0,0,2,0,2,0,0,0,0,5A B A B C --
设(),,C x y z ()112,2,0C C A A ∴==--
2
2
50
x y z ?=-?
∴=-??
-=? ()
2,2,5C ∴-- （1）()
()112,0,5,2,2,0AC A B =-=-
112cos ,3
322
AC A B ∴=
=
?
（2）设平面11AAC 的法向量为(),,n x y z =
()()
1112,2,0,2,0,5A A AC =--=- 22025025x y x y
x z x z
--==-????∴???
-+==???? (
)
5,5,2n ∴=-
设平面111AC B 的法向量为(),,m x y z =
()()
11112,0,5,0,2,5AC B C =-=- 2502525025x z x z y z y z ??-+==??∴???-+==???? (
)
5,5,2m ∴=
42
cos ,147
m n m n m n
?∴=
==? 设二面角111A AC B --的平面角为θ，则2
cos 7
θ=
235
sin 1cos 7
θθ∴=-=
（3）50,1,
2N ??
? ???
，因为M 在底面11AA B B 上，所以设(),,0M x y 5,1,2NM x y ??
∴=-- ? ???
平面111A B C 的法向量为(
)
5,5,2m =
MN ⊥平面11A B C MN ∴∥m
52255
-
∴
==，可解得：541
4
x y ?=-???
?=-?? 51,,044M ??∴-- ??? 2
2
5110244BM ????
∴=-++-= ? ?????
三、历年好题精选
1、如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，2,1,SA AB BC AD M ====是棱SB 的中点.
（1）求证：AM ∥平面SCD
（2）求平面SCD 与平面SAB 所成的二面角的余弦值
（3）设点N 是直线CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值 2、（2015，北京）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面
EFCB ，EF ∥,4,2,60,BC BC EF a EBC FCB O ==∠=∠=为
EF 的中点
（1）求证：AO BE ⊥
（2）求二面角F AE B --的余弦值 （3）若BE ⊥平面AOC ，求a 的值
3、（2015，山东）如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点.
（1）求证：//BD 平面FGH ；
（2）若CF ⊥平面ABC ,,,45,AB BC CF DE BAC ⊥=∠=求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小.
4、（2014，北京）如图，正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为,AM MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点,G H （1）求证：AB FG ∥
（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长
5、（2014，江西）如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD （1）求证：AB PD ⊥ （2
）若90,2BPC PB PC ∠==
=，问AB 为何值时，
四棱锥P ABCD -的体积最大？并求此时平面BPC 与平面
DPC 夹角的余弦值
O F
E
C
B A
习题答案：
1、解析：（1）以点A 为坐标原点，如图建系：
则()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,1,0,0,0,0,2,0,1,1A B C D S M
()()()0,0,1,1,0,2,1,2,0AM SD CD ∴==-=--
设平面SCD 的法向量为(),,n x y z =
020200SD n x z x y CD n ??=-=??∴???--=?=?
??，可得：()2,1,1n =-
0AM n ∴?= AM n ∴⊥
AM ∴∥平面SCD
（2）可知平面SAB 的法向量为()11,0,0n =，
设平面SCD 与平面SAB 所成的二面角为?，可得0,
2π???
∈ ???