1 第七章 应力状态及应变状态分析
第一节 概 述
在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。应力又分正应力和剪应力两种。前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置及点的位置的不同而不同，如7-1（a）中a、b两点分别在两个截面上，其应力是不同的。同一截面上的各点，如图7-1（b）中b、c两点的应力一般情况下也是不
同的。同一点不同方向的应力也是不同的。过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态．．．．，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。
研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元．．体．。如图7-1（a）中过a点取出的单元体放大如图7-2所示。单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。
当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0zyzxyxyzxzxy
即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面．．．。该主acbcb(a)(b)图7-1各点的应力情况
2 平面上作用的正应力称为主应力．．．，用,,,321表示（,321），如图7-3所示。各面均为主平面的单元体，称为主单元体．．．．。
三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态．．．．．．，如图7-4（a）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二向应．．．力状态．．．，如图7-4（b）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态．．．．．．，如7-3。单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状．．．．．态．。单向应力状态又称为简单应力状态．．．．．．，二向三向应力状态又称为复杂应力状态．．．．．．。
一点应力状态概念及其表示方法
凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；
图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。
２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。如图8-3是通过轴向拉伸杆件内点不同（方向）截面上
的应力情况（集合）
３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕 点截取的两种微元体。
特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。
§8-２平面应力状态的工程实例
１．薄壁圆筒压力容器
为平均直径，为壁厚
由平衡条件
得轴向应力： （8-1a）
图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为 的横截面，H-H为水平径向面）
由平衡条件或, 得环向应力： （8-1b）
2．球形贮气罐（图8-6） 由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为
对半球写平衡条件：
得 （8-2）
3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴
4．受横向载荷作用的深梁
§8-3平面一般应力状态分析——解析法
空间一般应力状态
如图8-9a所示，共有9个应力分量： 面上的，，； 面上的，，；面上的，， 。
1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。由剪应力互等定理，有：
，，。
2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中， 方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量 ，，，，其中，分别为，的简写，而 = 。
应力与应力状态分析
拉伸模量
拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下：
拉伸模量（㎏/c㎡)=△f/△h(㎏/c㎡)
其中，△f表示单位面积两点之间的力变化，△h表示以上两点之间的应变化。更具体地说，△h＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L表示拉伸长后的长度。
§4-1 几组基本术语与概念
一、变形固体的基本假设
1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，并且各点处的力学性质完全相同。
根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各点坐标的连续函数。
2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。
3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。
根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。
二、应力的概念
1、正应力的概念
分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。
由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。
沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。
应力的常用单位有牛/米2 （2/mN，12/mN称为1帕，代号aP）、千米/米2（2/mKN，12/mKN称为1千帕，代号KaP），此外还有更大的单位兆帕（MaP）、吉帕（GaP）。几种单位的换算关系为： 1 KaP=310aP 1 MaP=310KaP 1 GaP=310MaP=610KaP=910aP
2、切应力与全应力的概念
与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。
K点处某截面上的全应力Kp等于该点处同一截面上的正应力K与切应力K的矢量和。
三、位移、变形及应变的概念
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1、应力状态的概念，
2、平面应力状态下的应力分析，
3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:
321
最大切应力为 132max
（2）任斜截面上的应力
2sin2cos22xyyxyx
2cos2sin2xyyx
（3) 主应力的大小
22minmax)2(2xyyxyx
主平面的方位
yxxytg220
4、主应变
122122xyxyxyxyxy()()tg
5、广义胡克定律 真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。
2 / 21 )]([1zyxxE
)]([1xzyyE
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Gyzyz ， Gxyxy
6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。”
8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。
图8.1
[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:
A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为：
