2018届考前三个月高考数学(理科)总复习训练(江苏用) 考前回扣3 Word版含答案

回扣3 三角函数与平面向量

1．准确记忆六组诱导公式

对于“kπ2±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．

2．三角函数恒等变换“四大策略”

(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．

(2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．

(3)弦、切互化：一般是切化弦．

(4)灵活运用辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba.

3．三种三角函数的性质

函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx

图象

单调性 在－π2＋2kπ，π2＋2kπ (k∈Z)上单调递增；

在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]

(k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在错误!(k∈Z)上单调递增

对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ (k∈Z) 对称中心：π2＋kπ，0(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心：kπ2，0

(k∈Z)

4.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，A＞0)的图象

(1)“五点法”作图

设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．

(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．

(3)图象变换

y＝sinx―――――――――→向左φ＞0或向右φ<0平移|φ|个单位长度y＝sin(x＋φ)

――――――――――――→横坐标变为原来的1ωω＞0倍纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)

―――――――――――→纵坐标变为原来的AA＞0倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．

5．正弦定理及其变形

asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．

变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.

sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.

a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.

6．余弦定理及其推论、变形

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC.

推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，

cosC＝a2＋b2－c22ab.

变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，

a2＋b2－c2＝2abcosC.

7．面积公式

S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.

8．平面向量的数量积

(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a²b＝|a||b|cosθ.

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a²b＝x1x2＋y1y2.

9．两个非零向量平行、垂直的充要条件

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.

(2)a⊥b⇔a²b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

10．利用数量积求长度 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝a²a＝x2＋y2.

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.

11．利用数量积求夹角

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，

则cosθ＝a²b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21 x22＋y22.

12．三角形“四心”向量形式的充要条件

设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则

(1)O为△ABC的外心⇔|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝a2sinA.

(2)O为△ABC的重心⇔OA→＋OB→＋OC→＝0.

(3)O为△ABC的垂心⇔OA→²OB→＝OB→²OC→＝OC→²OA→.

(4)O为△ABC的内心⇔aOA→＋bOB→＋cOC→＝0.

1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号．

2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．

3．求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．

4．三角函数图象变换中，注意由y＝sinωx的图象变换得y＝sin(ωx＋φ)时，平移量为φω，而不是φ.

5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．

6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．

7．a²b＞0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；

a²b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件．

1．2sin45°cos15°－sin30°的值＝________.

答案 32 解析 2sin45°cos15°－sin30°＝2sin45°cos15°－sin(45°－15°)＝2sin45°cos15°－(sin45°cos15°－cos45°sin15°)＝sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin60°＝32.

2．(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是________．

答案 2

解析 由题意得tan(18°＋27°)＝tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°，

即tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°＝1，

所以tan18°＋tan27°＝1－tan18°tan27°，

所以(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝2.

3．(2017²江苏泰州中学期中)向量a＝(cos10°，sin10°)，b＝(cos70°，sin70°)，|a－2b|＝________.

答案 3

解析 a²b＝cos70°cos10°＋sin70°sin10°＝cos60°＝12，|a|＝|b|＝1，所以|a－2b|＝a2＋4b2－4a²b＝1＋4－2＝3.

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是________．

答案 332

解析 c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6，①

∵C＝π3，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②

由①和②得ab＝6，

∴S△ABC＝12absinC＝12³6³32＝332.

5．已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝135°，设OC→＝－OA→＋λOB→(λ∈R)，则λ的值为__________．

答案 12

解析 由∠AOC＝135°知，点C在射线y＝－x(x＜0)上，设点C的坐标为(a，－a)，a＜0，则有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消去a得λ＝12. 6．已知a，b为同一平面内的两个向量，且a＝(1,2)，|b|＝12|a|，若a＋2b与2a－b垂直，则a与b的夹角为________．

答案 π

解析 |b|＝12|a|＝52，而(a＋2b)²(2a－b)＝0，即2a2－2b2＋3a²b＝0，所以a²b＝－52，从而cos〈a，b〉＝a²b|a||b|＝－1，所以〈a，b〉＝π.

7．已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________．

答案 －32，3

解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，

所以f(x)＝3sin2x－π6，

那么当x∈0，π2时，－π6≤2x－π6≤5π6，

所以－12≤sin2x－π6≤1，故f(x)∈－32，3.

8．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE→＝λBC→，DF→＝19λDC→，则AE→²AF→的最小值为__________．

答案 2918

解析 方法一 在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，AE→＝AB→＋λBC→，AF→＝AD→＋19λDC→(λ>0)，

∴AE→²AF→＝(AB→＋λBC→)²AD→＋19λDC→＝AB→²AD→＋AB→²19λDC→＋λBC→²AD→＋λBC→²19λDC→＝2³1³cos60°＋2³1³19λ＋λ³1³1³cos60°＋λ³19λ³1³1³cos120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ²λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.

方法二 以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C32，32，D12，32.