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《大高考》高考数学文(全国通用)二轮复习专题训练：五年高考专题坐标系与参数方程含答案

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考点一 极坐标与极坐标方程 1．(2015·广东，14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos

θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为x＝t2，y＝22t(t为参数)，则C1与C2交点的

直角坐标为________． 解析 ∵曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，∴曲线C1的直角坐

标方程为x＋y＝－2.曲线C2的参数方程为x＝t2，y＝22t(t为参数)，则其直角坐标方

程为y2＝8x，联立x＋y＝－2，y2＝8x，解得x＝2，y＝－4，即C1，C2的交点坐标为(2，－4)． 答案 (2，－4) 2．(2014·广东，14)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________． 解析 由2ρcos2θ＝sin θ⇒2ρ2cos2 θ＝ρsin θ⇒2x2＝y，

又由ρcos θ＝1⇒x＝1，由2x2＝y，x＝1⇒x＝1y＝2.故曲线C1与C2交点的直角坐标为(1，2)． 答案 (1，2)

3．(2014·陕西，15C)在极坐标系中，点2，π6到直线ρsinθ－π6＝1的距离是________． 解析 点2，π6化成直角坐标为(3，1)，直线ρsinθ－π6＝1⇒ ρ

32sin θ－1

2cos θ＝1化成直角坐标方程为12x－32y＋1＝0，故点到直线的距

离为d＝|12×3－32×1＋1|－322＋122＝1. 答案 1 4．(2011·陕西，15C)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建

立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：x＝3＋cos θ，y＝sin θ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________． 解析 由题意知曲线C1为(x－3)2＋y2＝1，C2为x2＋y2＝1，两圆相离，两圆圆心距|C1C2|＝3，半径均为1，则|AB|的最小值为|C1C2|－r1－r2＝1. 答案 1 5．(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程．

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积． 解 (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.

故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2. 由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，

所以△C2MN的面积为12.

6．(2015·江苏。21(C))已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρsinθ－π4－4＝0，求圆C的半径． 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy. 圆C的极坐标方程为

ρ2＋22ρ

22sin θ－2

2cos θ－4＝0，

化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为6.

7．(2013·新课标全国Ⅰ，23)已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cos t，y＝5＋5sin t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．

解 (1)将x＝4＋5cos t，y＝5＋5sin t消去参数t， 化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25， 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

由x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0，解得x＝1，y＝1或x＝0，y＝2. 所以C1与C2交点的极坐标分别为2，π4，2，π2. 考点二 参数方程 1．(2014·湖南，12)在平面直角坐标系中，曲线C：x＝2＋22t，y＝1＋22t(t为参数)的普通方程为________． 解析 直接化简，两式相减消去参数t得，x－y＝1，整理得普通方程为x－y－1＝0. 答案 x－y－1＝0

2．(2013·陕西，15C)圆锥曲线x＝t2，y＝2t(t为参数)的焦点坐标是________．

解析 由x＝t2，y＝2t消去t得，y2＝4x，故曲线表示为焦点(1，0)的抛物线． 答案 (1，0) 3．(2013·广东，14)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________． 解析 由曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θ知以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C是以(1，0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x－1)2

＋y2＝1，故参数方程为x＝1＋cos φ，y＝sin φ(φ为参数)．

答案 x＝1＋cos φ，y＝sin φ(φ为参数) 4．(2012·广东，14)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为

x＝5cos θ，

y＝5sin θθ为参数，0≤θ≤π2和x＝1－22t，y＝－22t

(t为参数)，则曲线C1与

C2的交点坐标为________． 解析 由C1得x2＋y2＝5①，

且0≤x≤5，0≤y≤5，由C2得x＝1＋y②，

∴由①②联立x2＋y2＝5，x＝1＋y，得x＝2，y＝1. 答案 (2，1) 5．(2015·新课标全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcos α，y＝tsin α(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝23cos θ. (1)求C2与C3交点的直角坐标； (2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值． 解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.

联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0，或x＝32，y＝32. 所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和32，32. (2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α)．

所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4sinα－π3.

当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.

6．(2015·陕西，23)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C的直角坐标方程； (2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标． 解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3.

(2)设P3＋12t，32t，又C(0，3)， 则|PC|＝3＋12t2＋32t－32＝t2＋12， 故当t＝0时，|PC|取得最小值， 此时，P点的直角坐标为(3，0)． 7．(2014·辽宁，23)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)写出C的参数方程； (2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得x＝x1y＝2y1，

由x21＋y21＝1得x2＋y22＝1， 即曲线C的方程为x2＋y24＝1. 故C的参数方程为x＝cos ty＝2sin t(t为参数)．

(2)由x2＋y24＝12x＋y－2＝0解得：x＝1y＝0，或x＝0y＝2. 不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线斜率为k＝12，于是所求直线方程为y－1＝12x－12， 化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.

8．(2014·新课标全国Ⅰ，23)已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)． (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

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(2024年高考真题)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(文) 试卷 全国甲卷(含部分解析)

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2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文） 试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ； （2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=； （2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。

从新课程高考看《坐标系与参数方程》教学与复习

从新课程高考看《坐标系与参数方程》教学与复习

从新课程高考看《坐标系与参数方程》的教学与复习选修4-4《坐标系与参数方程》是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化。

通过对专题的学习,学生将掌握极坐标和参数方程的基本概念,了解曲线的多种表现形式,体会从实际问题中抽象出数学问题的过程,培养探究数学问题的兴趣和能力,体会数学在实际中的应用价值,提高应用意识和实践能力。

基于这样的目标和要求,目前实施新课程的省市,都将本专题作为高考必考或选考的内容,分值占5到10分。

那么对于选修课程如何教与学?如何在繁忙的复习备考中快速地掌握这章的基础知识?经过深入剖析2010年实验省市的高考题,我想谈谈自己对这部分知识点的考查与复习的建议。

一、高考数学考试大纲分析(1)极坐标系①理解坐标系的作用。

②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变换情况。

③能在极坐标系下用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化。

④能在极坐标系中给出简单的图形(如过极点的直线,过极点或圆心在极点的圆的方程),通过比较极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义⑤了解柱坐标系,球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解他们的区别。

(2)参数方程①了解参数方程,了解参数的意义。

②能选择适当的参数写出直线,圆和圆锥曲线的参数方程。

③了解平摆线,渐开线的生成过程,并能推导他们的参数方程。

④了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。

二、实例分析以上是全国高中新课程考试说明,各省市结合自己的情况都制定了相应的标准。

从试题分析来看,目前的考点极坐标系主要集中在第③条和第④条,而第②条和第⑤条基本不涉及。

参数方程集中在第②条,第③条和第④条基本不涉及,大大降低了选修这门课程的难度。

且看下面的例子:1.在极坐标系下认识简单的图形例1:(北京卷理科第5题)极坐标方程 (ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是()a.两个圆b.两条直线c.一个圆和一条射线d.一条直线和一条射线解析:方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)等价于ρ=1或θ=π(ρ≥0),该方程表示的是一个圆和一条射线,选择c.例2:(湖南卷第3题)极坐标方程ρ=cosθ和参数方程x=-1-ty=2+3t,(t为参数)所表示的图形分别是a.圆,直线b.直线,圆c.圆,圆d.直线,直线解析:根据直角坐标和极坐标互化公式,ρ=cosθ可以化成:(x-)2+y2=,表示圆心在(,0)半径为的圆。

专题十三：极坐标与参数方程2013-2016高考数学全国卷(理)

专题十三：极坐标与参数方程2013-2016高考数学全国卷(理)

1、（2016全国I 卷23题）(本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数，a ＞0）。

在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ.(I ）说明C 1是哪种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a 。

【答案】（I)圆，222sin 10a ρρθ-+-=（II)1考点:参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用2、（2015全国I 卷23题）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=(Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ,2C 的极坐标方程;（Ⅱ)将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出｜MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积。

试题解析:(Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。

……5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=,解得1ρ=22，2ρ=2，|MN ｜=1ρ－2ρ=2,因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 121sin 452⨯⨯⨯=12。

2014年高三数学二轮复习 极坐标及其参数方程

2014年高三数学二轮复习 极坐标及其参数方程

2014年高三数学二轮复习第21讲 坐标系与参数方程1．[2011·新课标全国卷改编] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数) ①，M 是曲线C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，则P 点轨迹的参数方程是________．⇒ 直角坐标系中的伸缩变换关键词：伸缩变换、坐标变换，如①.2．[2012·江西卷] 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程②为________．⇒ 直角坐标、极坐标互化关键词：直角坐标、极坐标、互化公式，如②.3．[2012·上海卷] 如图9－21－1所示，在极坐标系中，过点M (2，0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f （θ）的形式③，则f (θ)＝________.图9－21－1 ⇒ 曲线的极坐标方程关键词：极坐标系、直线的极坐标方程、曲线的极坐标方程，如③.4．[2013·湖南卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数) ④过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________． ⇒ 直线的参数方程关键词：直线方程、参数，如④.5．[2013·陕西卷] 如图9－21－2所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程⑤为________．⇒ 曲线的参数方程关键词：曲线、参数方程，如⑤.6．[2012·北京卷] 直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点 ⑥个数为________．⇒ 参数方程化为普通方程关键词：参数方程、普通方程、相互转化，如⑥.► 考向一 极坐标系与简单曲线的极坐标方程考向：求点的极坐标、曲线的极坐标方程，把直角坐标化为极坐标、极坐标化为直角坐标．考例：2011年T23、2012年T23、2013年卷ⅠT23，近五年新课标全国卷共考查了3次．例1 已知圆C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3. (1)将圆C 1的参数方程化为普通方程，将圆C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)圆C 1，C 2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．小结：在解决以极坐标的形式给出的直线、曲线的综合问题时，把它们化为直角坐标方程后使用直角坐标方法解决是一种重要解题思路．► 考向二 简单曲线的参数方程考向：求曲线的参数方程，化参数方程为普通方程，参数方程的应用．考例：2009年T23、2010年T23、2013年卷ⅡT23，近五年新课标全国卷共考查了3次．例2 已知直线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求直线C 1与曲线C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作直线C 1的垂线，垂足为点A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．小结：求以参数形式给出的两条曲线的交点坐标时，一般把它们化为普通方程．求曲线的参数方程就是使用一个参数表达动点的坐标．注意运用三角函数的知识化曲线参数方程为普通方程．► 考向三 极坐标与参数方程的综合考向：极坐标方程与参数方程交汇考查是坐标系与参数方程试题的基本考查方式． 考例：2011年T23、2012年T23、2013年卷ⅠT23，近五年新课标全国卷共考查了3次．例3在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2 3cos θ－2sin θ，点A 的极坐标为(3，2π)，把极点作为平面直角坐标系的原点，极轴作为x 轴的正半轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．(1)求圆C 在直角坐标系中的标准方程；(2)设P 为圆C 上任意一点，圆心C 为线段AB 的中点，求|P A |＋|PB |的最大值． 小结：曲线的极坐标方程、参数方程在解决一些与距离有关的问题时显得非常的方便．在求曲线上的点到点的距离、点到直线的距离的最值问题中使用参数方程更为有效．变式题 在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (－1，0)，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋5＝0.(1)若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．[变换与运算]1．数学中绝大多数内容实质就是变换，把问题从一个方面变换为另一个方面，达到便于解决问题的目的，这也是化归与转化思想的体现．2．坐标之间的变换涉及的内容很广泛，其中直角坐标与极坐标互化、参数方程与普通方程互化就是两个重要内容．在解决解析几何问题时，有时直角坐标方程显得方便，有时极坐标方程、参数方程显得方便．在进行运算时能够根据不同的问题选用合理的方程是运算能力的表现．示例 设圆C 的极坐标方程为ρ＝2，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆C 上的一点M (m ，s )作垂直于x 轴的直线l ：x ＝m ，设l 与x 轴交于点N ，向量OQ→＝OM →＋ON →. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)设点R (1，0)，求|RQ→|的最小值．小结：本题(2)是求椭圆上的点到一个定点的距离的最值问题，使用普通方程的方法也能解决，但使用椭圆的参数方程问题就归结为三角函数的最值问题，解决起来相对方便．踪练 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．[备选理由] 下面两题均是参数方程与极坐标方程的综合，这是高考考查该考点的主要形式，可在本讲结束时选用．例1在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－3t ，y ＝2－4t ，它与曲线C ：(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点．(1)求|AB |的长；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2 2，3π4，求点P 到线段AB 中点M 的距离．例2 直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，直线l 与曲线C 的公共点为T .(1)求点T 的极坐标；(2)过点T 作直线l ′，l ′被曲线C 截得的线段长为2，求直线l ′的极坐标方程．。