【高中数学必修四】2.5.2向量在物理中应用举例

2.5.2向量在物理中的应用举例教学目的：1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题 的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会 数学在现实生活中的作用.教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程：一、复习引入： 1..,2,,62:),0,1(的轨迹方程求点若上的一点是直线点直线已知P AP RA l R x y l A =-=2. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？二、讲解新课：例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？探究1：(1)θ为何值时，|1F |最小，最小值是多少? (2)| 1F |能等于|G |吗?为什么?探究2:你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.例2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝500 m ，一艘船从A 处出发到河对岸.已知船的速度|1v |＝10 km/h ，水流速度|2v |＝2 km/h ，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min ）？思考:1. “行驶最短航程”是什么意思？2. 怎样才能使航程最短？. ,|,23|, 231),2(,|,| ,)2,1(),1,0(),,1(.32 12 1212121的值时，求则当处、秒时分别在在时刻、设速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与从另有一动点速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与向量从今有动点有两个向量例tQPPQQPtQPeee eQQeeeePPee⊥=++--++-==三、课堂小结向量解决物理问题的一般步骤:(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.四、课后作业1. 阅读教材P.111到P.112;。

探究（一）：向量在力学中的应用
思考1：如图，用两条成120°角的等长
的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，根据
力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具
的重力具有什么关系？每根绳子的拉力
是多少？
F1+F2+G=0
A
120° B
O
C
|F1|=|F2|=10N
10N
思考2：两个人共提一个旅行包，或在单 杠上做引体向上运动，根据生活经验， 两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小 有什么关系？
夹角越大越费力.
思考3：若两只手臂的拉力为F1、F2，物 体的重力为G，那么F1、F2、G三个力之 间具有什么关系？
F1＋F2＋G=0.
思考4：假设两只手臂的拉力大小相等，
夹角为θ ，那么|F1|、|G|、F θ 之间的
关系如何？
|G | | F1 |= 2 cos q
θ
F1
F2
2
θ ∈[0°，180°)
|v|=㎞10/4h.
A
思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向 行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？
v1
v
60° v2
|v|2＝|v1＋v2|2＝（v1＋v2）2＝84.
思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航
程最短？
B
与上游河岸的夹角为
v1 v
78.73°.
C
A v2
思考4：如果河的宽度d＝500m，那么船
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2.5平面向量应用举例
2.5.2向量在物理中的应用举例
问题提出
1.用向量方法解决平面几何问题的基本 思路是什么？
几何问题向量化向量运算关系化向量关 系几何化.

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探究点二 向量的数量积在物理中的应用
思考1 向量的数量积与功有什么联系？ 答 物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物 体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.
小结 物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物 体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它 可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量 的夹角，它实质是向量F与s的数量积.
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思考2 已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一 个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面 上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2)
答 如右图所示，设木块的位移为s， 则 F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20× 23＝500 3(J). 将力F分解，它在竖直方向上的分力F1的大小为
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思考3 用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？ 答 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个 步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即 建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、 夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物 理问题.
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(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围. 答 由|F1|＝co|Gs|θ，|F1|≤2|G|，得 cos θ≥12. 又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.
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预习导学
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挑战自我，点点落实
力与前面学过的自由向量有区别.
(1)相同点：力和向量都既要考虑 大小 又要考虑 方向 . (2)不同点：向量与 始点无关，力和 作用点 有 关 ， 大 小 和 方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的.
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预习导学
挑战自我，点点落实
2.向量方法在物理中的应用 (1)力、速度、加速度、位移都是 向量 . (2) 力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 加、减 运算，运动的叠加也用到向量的合成. (3)动量mν是 数乘向量 .
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(2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和
是多少？
解 物体所受各力对物体做功的代数和为 W＝WF＋WN＋WG＝20＋0－19.6＝0.4(J).
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预习导学 挑战自我，点点落实 (3) 求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所
受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系. 解 物体所受合外力的大小为
3.向量的运算与速度、加速度及位移有什么联系？ 答 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量
的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成，向量
有丰富的物理背景.向量源于物理中的力、速度、加速度、
位移等 “ 矢量 ” ；向量在解决涉及上述物理量的合成与
分解时，实质就是向量的线性运算.
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[预习导引] 1.力与向量
(4)功即是力F与所产生位移s的 数量积 .
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要点一 向量的线性运算在物理中的应用
例1 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的