2.5.2向量在物理中的应用举例

2.5.2向量在物理中的应用举例一、教学分析向量与物理学密切相联. 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念. 向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.二、教学目的：1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用.三、重难点教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.四、教学过程：新课导入：探究（一）：向量在力学中的应用思考1：如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？思考2：两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？探究（二）：向量在运动学中的应用思考1：一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度v的大小是多少？思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？思考4：如果河的宽度d＝500m，那么船行驶到对岸至少要几分钟？五、课堂总结：利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.六、课后作业1. 阅读教材P.111到P.112;2. P.113 A组4 B组2感谢您的阅读，祝您生活愉快。

练习； 练习； （1）如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一 ）如图所示，用两条成 的等长的绳子悬挂一 个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是 个灯具，已知灯具的重量为 ， 10N ————。 。 120º
如图，今有一艘小船位于 如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边 宽的河边 P处，从这里起，在下游 l =80m处河流有一 处 从这里起， 处河流有一 处瀑布， 处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游 与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小 ），水速大小为 （与河岸平行），水速大小为 为了使小 船能安全过河，船的划速不能小于多少？ 船能安全过河，船的划速不能小于多少？当 划速最小时，划速方向如何？ 划速最小时，划速方向如何？ 60m P
Q θ 瀑 布
l
Q，
分析：用向量来分别表示河流的水流速度、 分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速 由题意， 和它们的合速度为 V 、 V 和 V ，由题意， 合 船 船的实际速度为向量 水
θ
瀑 布
驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示： 它就不会掉下瀑布， 图所示：
V合 = V船+ V水 其方向为临界方向 PQ ，船只要朝着这个方向行 P 提问:表示划船速度的向量怎样画 提问 表示划船速度的向量怎样画? 表示划船速度的向量怎样画 从图上看，哪个速度（向量的模）最小？ 从图上看，哪个速度（向量的模）最小？
实际问题
物理问题
分析绳子受到的拉力大小与两绳子间的 夹角的关系？ 夹角的关系？
分析建模 ①作受力分析图 建立数学模型（ ②建立数学模型（由向量的平行四 边形法则， 边形法则，力的平衡及解直角三角 形等 ） 解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识， 边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识， 可以知道. 可以知道

小结
物理问题 (实际问题）
向量问题 (数学模型)
解释和验证相 关物理现象
数学问题 的解决
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min.
（1）行驶航程最短,是否就是航程时间 最短呢? （2） V1的方向如何才能使航程时间最短?
思考题
已知船在静水中的速度是3km/h,它
要横渡30m的河流,已知水流的速度是 4km/h,思考: 1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线 到达正对岸吗?
2.最短多少时间可以过河?
课堂小结
向量解决物理问题的一般步骤: (1)问题的转化：把物理问题转化为数学 问题； (2)模型的建立：建立以向量为主体的数 学模型； (3)参数的获得：求出数学模型的有关解 ——理论参数值； (4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决有相关物理现象.
练习.有两个向量 e1 (1, 0), e2 (0, 1), 今有动点P从P0 ( 1, 2)开始沿着与向量
e1 e2相同的方向做匀速运动 , 速度为 | e1 e2 |, 另有一动点Q , 从Q0 ( 2, 1) 开始沿着与 3e1 2e2相同的方向做匀速 运动, 速度为| 3e1 2e2 |, 设P、Q在时 刻t 0秒时分别在P0、Q0处 , 则当PQ P0Q0时，求 t 的值.
（1） θ为何值时， |F1|最小，最小值是 多少？ （2） |F1|能等于|G|吗？为什么？
例2
如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m
一膄船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 = 10km / h , 水流速度 v2 = 2km / h,问行驶航程最短时，所用时间是 多少(精确到0.1 min)?
分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的

(1)(a

b)2

2
a

2a
b

2
b;
(2)(a

b)(a

b)

2
a


2
b.
题型探究
类型三 平面向量数量积的运算律
变例变式式3 已已已知知知|||aaa|||===666，，，|||bbb|||===444，，，aaa与与与bbb的的的夹夹夹 角角角θθθ===666000°°°，，，求求求(a(aa·++2bbb。))··((aa-b-3)b。)。
其中，a、b、c是任意三个向量， R
注：
(a
b)
c

a
(b

c)
合作探究：我们知道，对任a意,b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2, (a b)(a b) a2 b2.
对任意向量 a, b, 是否也有下面类似的结论？
答案 返回
师生合作探究
一个物体，在力f的作用下产生位移S，如图． 问题1：力 f 在位移S方向上的分力的数值是多少？ 提示：|f|cos θ.
问题2：功又可以表述为？ 提示：力 f 在位移S方向上的分力大小与位移大小的乘积
问题3：向量b在a方向上的大小是多少？向量a在b方向上的 大小？
提示：|b|cosθ； |a|cos θ
反思与感 解析答案
例4.已知 | a | 3,| b | 4 ，且a 与b 不共线，k为何值时， 向量 a kb 与 a kb 互相垂直。
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下 产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个 向量是否垂直.