2016高中数学2.5.2向量在物理中的应用举例作业学案新人教A版必修4

在探究问题解决方法的过程中，展示学生的思维过程，发展学生的思维能力和解决问题的能力
重点难点
教学重点是利用向量方法解决与物理相关的实际问题
教学难点是选择适当的物理题和恰当的方法——建立以向量为主题的数学模型，将物理问题转化为数学问题
三、教学内容安排
1．复习引入，
首先提出下列思考问题：回顾用向量法解决平面几何问题的基本思维过程（三步曲），为学习用向量法解决物理及生活中的问题，奠定理论和方法的基础；
情景2：在单杠上做引体向上运动（同上）
情景3：教具演示：
详见《参考样例》P22
3．启发联想、拓展思维
详见《参考样例》P22
4．深化练习、总结规律
问题1详见《参考样例》P22
问题2详见《参考样例》P22
由于课本中的例题，对一部分学习能力强的同学可能会觉得课堂密度不够（新高一一开学，物理就讲力学。所以到了数学讲向量时，数学书上地例题就显得太简单了）
第三节运动快慢的描述——速度
速度：是矢量，但是此时还不涉及其运算问题，只是让学生知道：速度是矢量；
第五节速度变化快慢的描述——加速度
加速度：是矢量，但是此时仍不涉及其运算问题，只是让学生知道：加速度也是矢量；
实例1：从高出地面3m的位置竖直向上抛出一个小球，它上升5m后回落，最后到达地面（如图）。分别以地面和抛出点为原点建立坐标系，方向均以向上为正，填写以下表格。
四、教学资源建议
（1）多媒体教学系统（展示相关图片或视频资料）
（2）电脑和几何画板软件（画图并演示物理现象和建模后的几何图形的性质）
（3）引导学生通过联系实际、网络等途径，进一步了解向量在物理方面的应用，加深对向量工具性功能的认识，扩大知识视野
（4）及时与相关学科保持联系，最好选用与其同期的例题。特别是物理，地理，生物等学科。不仅能培养学生应用数学解决问题的意识，使学生体会学以至用的乐趣，更有利于培养成学生自觉应用数学解决问题习惯，也能更好地为今后学好数学树立信心。

2.5.2 向量在物理中的应用举例由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.图1在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.解:不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道2cos2||||||212cos1θθGFG⇒=通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos2θ的值由大逐渐变小,因此|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感到的风速为v+(-v1)=v-v1.令AB=-v1,AC=-2v1,实际风速为v.∵DA+AB=DB,∴DB=v-v1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.∵DA+AC=DC,∴DC=v-2v1,这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°.∴DA=DC=2BC=202.∴|v|=202km/h.答:实际的风速v的大小是202 km/h,方向是东南方向.例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m和M,求子弹的速度v的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v |=(M+m)|v 0|.① 由于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh.②联立①②解得|v |=.2gh mmM 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh mM 2,即子弹的速度大小约为gh mM 2.知能训练1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( )A.215 kmB.6 kmC.84 kmD.8 km图42.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =___________.3.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度. 解答: 1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求. 2.41 (5,4)图53.如图5所示,设OA 表示水流速度,OB 表示船垂直于对岸的速度,OC 表示船的实际速度,∠AOC=30°,|OB |=5 km/h.因为OACB 为矩形,所以|OA |=|AC |·cot30°=|OB |·cot30°=53≈8.66 km/h, |OC |=30cos ||OA =2335=10 km/h.答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h. 点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出. 课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤. ①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题; ②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型; ③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值; ④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型. ①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减; ③)动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量; ④功是力F 与位移s 的数量积,即W=F ·s. 作业1.课本习题2.5 A 组3、4,B 组1、2. 2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量.。

课堂导学三点剖析1.用平面向量解决物理问题【例1】如右图所示，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F 1，求：（1）|F 1|、|F 2|随角θ的变化而变化的情况；（2）当|F 1|≤2|G |时，θ角的取值范围.思路分析：本题主要考查利用向量加法的平行四边形法则解决物理问题.解：(1)如右图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G =F 1+F 2.解直角三角形得，|F 1|=θcos ||G ,|F 2|=|G |·tanθ 当θ从0°趋向于90°时，|F 1|、|F 2|皆逐渐增大.(2)令|F 1|=θcos ||G ≤2|G |， 得cosθ≥21,又0°≤θ＜90°,∴0°≤θ≤60°. 温馨提示用向量知识解决相关的物理问题步骤是：（1）将物理问题抽象出数学模型，（2）用数学知识解决模型.(3)将解决的问题还原到物理问题中去.(4)在解决力的合成与分解问题时，一般用向量的平行四边形法则解决.2.物理量关系抽象成数学模型【例2】一自行车以6 m/s 的速度向北行驶，这时骑车人感觉风自正西方吹来，但站在地面上测得风自西偏南6π方向吹来，试求： （1）风相对于车的速度；（2）风相对于地的速度.思路分析：本题主要考查利用向量知识解决速度的合成问题.解：设v 风车、v 车地、v 风地分别是风对车，车对地，风对地的相对速度.如右图|v 车地|=6 m/s,方向正北，v 风车、v 风地的夹角为6π. ∴(1)风相对车的速度大小为|v 风车|=|v 车地|·c ot 6π=36m/s. (2)风相对于地面的速度大小为|v 风地|=126sin ||=π车地v m/s.温馨提示(1)解答本题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型，这也是今后能力培养的主要方面.(2)在解决速度的合成与分解问题时，一般利用向量的三角形法则.【例3】已知两恒力F 1(3,4)、F 2(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求:(1)F 1,F 2分别对质点所做的功;(2)F 1,F 2的合力F 对质点所做的功.思路分析：本题主要考查利用向量数量积知识解决物理中的做功问题,由于给出各分力的坐标,采用坐标法计算,首先求出位移的坐标,代入F ·s 公式即可.解：AB =(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)W 1=F 1·AB =(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦)；W 2=F 2·AB =（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).（2）W =F ·AB =（F 1+F 2）·AB =［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).温馨提示力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=F ·s ，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s 这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.各个击破类题演练1用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如右图，已知灯具的重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小是 ___________.解析：因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力都是10 N. 答案：10 N 变式提升1如左下图，在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅锤线的两侧，与铅锤线的夹角为30°和60°，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解：如右上图，作OACB ，使∠AOC=30°，∠BOC=60°.在△OAC 中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，|OA |=|OC |·cos30°=1503(N),| AC |=|OC |·sin30°=150(N),| OB |=|AC |=150 N.答：与铅锤线成30°角的绳子拉力是1503N ，与铅锤线成60°角的绳子的拉力是150 N. 类题演练2一条河宽为400 m ，一船从A 出发航行垂直到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h,则船到达B 处所需时间为____________min.解析：如右图所示，用v 1表示船速,v 2表示水速，v 表示船的实际航行速度.则|v |=2222211220||||-=-v v =16 km/h ， ∴t=16400.0=0.025(h) =1.5(min).答案：1.5变式提升2一艘船以5 km/h 速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度.解：如右图，OA 表示水流速度，OB 表示船向垂直于对岸行驶的速度，OC 表示船实际速度，∠AOC=30°，|OB |=5 km/h.∵OACB 为矩形，∴tan ∠||||OA OA =，∴||=3530tan 5tan ||=︒=∠AOC OB km/h ， ∴||=︒30sin ||OB =10 km/h ， ∴水流速度为35km/h,船实际速度为10 km/h.类题演练3已知F=（2，3）作用于一物体，使物体从A （2，0）移动到B （-2，3），则力F 对物体做的功为__________________.解析：∵=(-4,3)，∴W =F ·s =F ·=(2,3)·(-4,3)=1.答案：1变式提升3已知力F 与水平方向的夹角为30°（斜向上），F 的大小为50 N ，F 拉着一个重80 N 的木块在摩擦系数μ=0.02的水平平面上运动了20 m,问F 和摩擦力f 所做的功分别是多少？ 解：设木块的位移为s ,则F ·s =|F ||s |cos30°=50×20×23=3500(J), F 在铅垂方向上分力大小为|F |sin30°=50×21=25(N),∴摩擦力F 的大小为|f |=(80-25)×0.02=1.1(N).∴f ·s =|f ||s |cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J),∴F 、f 所做的功分别是5003J 、-22 J.。

2.5.2向量在物理中的应用举例自主学习知识梳理1．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑____________又要考虑________．(2)不同点：向量与________无关，力和__________有关，大小和方向相同的两个力，如果__________不同，那么它们是不相等的．2．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是________．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的__________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是____________．(4)功即是力F与所产生位移s的__________．自主探究向量在物理学科和生活实践中都有着广泛的应用，请利用向量的方法解决下列这个问题．某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h，(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？对点讲练知识点一力向量问题例1如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．回顾归纳利用向量法解决有关力的问题时，常常先把力移到共同的作用点，再作出相应图形，以帮助建立数学模型．变式训练1用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，求每根绳子的拉力？知识点二速度向量问题例2在风速为75(6－2) km/h的西风中，飞机正以150 km/h的速度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向．回顾归纳速度是向量，速度的合成可以转化为向量的合成问题，合成时要分清各个速度之间的关系．变式训练2一条河宽为800 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h.水速为12 km/h，求船到达B处所需时间．知识点三恒力做功问题例3已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．回顾归纳物体在力F作用下的位移为s，则W＝F·s＝|F|·|s|cos θ.其中θ为F与s的夹角．变式训练3已知F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，求F对物体所做的功．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.课时作业一、选择题1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为()A．|F|·s B．F cos θ·sC．F sin θ·s D．|F|cos θ·s2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40 N B．10 2 NC．202N D．10 3 N3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．24．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为()A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9)二、填空题5．已知向量a表示“向东航行3 千米”，b表示“向南航行3千米”则a＋b表示______．6．一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是___________________________________________________________________．7. 如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．三、解答题8. 如图所示，两根绳子把重1 kg 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g ＝10 N/kg)．9．已知e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，今有动点P 从P 0(－1,2)开始，沿着与向量e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为e 1＋e 2；另一动点Q 从Q 0(－2，－1)开始，沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为3e 1＋2e 2，设P 、Q 在t ＝0 s 时分别在P 0、Q 0处，问当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间t 为多少？2.5.2 向量在物理中的应用举例答案知识梳理1．(1)大小 方向 (2)始点 作用点 作用点 2．(1)向量 (2)加、减 (3)数乘向量 (4)数量积 自主探究解 (1)如图甲所示，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，根据勾股定理，|OC →|＝8，Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸夹角60°顺着水流方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图乙所示，设此人的实际速度为OB →，水流速度为OA →. ∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB →－OA →＝AB →，在Rt △AOB 中，|AB →|＝43，|OA →|＝4，|OB →|＝42，cos ∠BAO ＝|OA →||AB →|＝ 33.故此人应沿与河岸夹角余弦值为33，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为 4 2 km/h. 对点讲练 例1 解(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则， 得－G ＝F 1＋F 2，|F 1|＝|G |cos θ， |F 2|＝|G |tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐增大． (2)由|F 1|＝|G |cos θ，|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12. 又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.变式训练1 解 设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G 都成60°角，且|F 1|＝|F 2|.∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N. ∴每根绳子的拉力都为10 N. 例2 解设风速为v 0，有风时飞机的飞行速度为v a ，无风时飞机的飞行速度为v b ， 则v a ＝v b ＋v 0，且v a ，v b ，v 0可构成三角形(如图所示)， ∵|AB →|＝|v a |＝150，|BC →|＝|v 0|＝75(6－2)，|AC →|＝|v b |， 作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ， 则∠BAD ＝45°，∴|CD →|＝|BE →|＝|EA →|＝752， ∴|DA →|＝|DE →|＋|EA →|＝|CB →|＋|EA →| ＝75(6－2)＋752＝756， 从而tan ∠CAD ＝|CD →||DA →|＝752756＝33，∴∠CAD ＝30°，∴|AC →|＝1502，∴v b ＝150 2 km/h ，∴没有风时飞机的飞行速度为150 2 km/h ，方向为北偏西60°. 变式训练2 解v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2 |v 1|＝20，|v 2|＝12， ∴|v |2＝|v 1|2－|v 2|2＝202－122＝16(km/h)．∴所需时间t ＝0.816＝0.05(小时)＝3(分钟)．∴该船到达B 处所需的时间为3分钟．例3 解 (1)AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J. (2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB → ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J. 变式训练3 解 AB →＝(－4,3)， W ＝F·s ＝F ·AB →＝(2,3)·(－4,3) ＝－8＋9＝1 (J)．∴力F 对物体所做的功为1 J. 课时作业 1．D2．B [|F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102， 当θ＝ 120°，由平行四边形法则知： |F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ．] 3．D [F 1＋F 2＝(1,2lg 2)．∴W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1) ＝2lg 5＋2lg 2＝2.]4．A [f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)， 设合力f 的终点为P (x ，y )，则 OP →＝OA →＋f ＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．] 5．向东南方向航行3 2 千米 6．10 J解析 W G ＝G·s ＝|G|·|s |·cos 60° ＝20×1×12＝10 J.7．①③解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，F 与水平方向夹角为θ(0<θ<π2)．则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝|f |cos θ. ∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大． ∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小． 8．解设A 、B 所受的力分别为f 1、f 2，10 N 的重力用f 表示，则f 1＋f 2＝f ，以重力的作用点C 为f 1、f 2、f 的始点，作右图，使CE →＝f 1，CF →＝f 2，CG →＝f ，则∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°.∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝5 3.|CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5.∴在A 处受力为5 3 N ，在B 处受力为5 N.9．解 e 1＋e 2＝(1,1)，|e 1＋e 2|＝2，其单位向量为(22，22)；3e 1＋2e 2＝(3,2)， |3e 1＋2e 2|＝13，其单位向量为(313，213)，如图．依题意，|P 0P →|＝2t ，|Q 0Q →|＝13t ， ∴P 0P →＝|P 0P →|(22，22)＝(t ，t )，Q 0Q →＝|Q 0Q →|(313，213)＝(3t,2t )，由P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)， 得P (t －1，t ＋2)，Q (3t －2,2t －1)， ∴P 0Q 0→＝(－1，－3)， PQ →＝(2t －1，t －3)，由于PQ →⊥P 0Q 0→，∴P 0Q 0→·PQ →＝0， 即2t －1＋3t －9＝0，解得t ＝2. ∴当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间为2 s .。