条件概率

高中数学优质学案专题训练（附经典解析） 条件概率 学习目标 1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.

知识点一 条件概率 100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格. 令A＝{产品的长度合格}， B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格} 思考1 试求P(A)、P(B)、P(AB)

答案 P(A)＝93100，P(B)＝90100，P(AB)＝85100.

思考2 任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率. 答案 事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝8590.

思考3 P(B)、P(AB)、P(A|B)间有怎样的关系. 答案 P(A|B)＝PABPB.

条件 设A，B为两个事件，且P(A)>0 含义 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 记作 P(B|A)

读作 A发生的条件下B发生的概率

计算公式 ①缩小样本空间法：

P(B|A)＝nABnA

②公式法：P(B|A)＝PABPA

知识点二 条件概率的性质 (1)任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1. 高中数学优质学案专题训练（附经典解析） (2)如果B和C是两个互斥的事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).

类型一 利用定义求条件概率 例1 一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B. (1)分别求事件A，B，AB发生的概率； (2)求P(B|A). 解 由古典概型的概率公式可知：

(1)P(A)＝25，

P(B)＝2×1＋3×25×4＝820＝25，

P(AB)＝2×15×4＝110.

(2)P(B|A)＝PABPA＝11025＝14. 反思与感悟 1.在本题中，首先结合古典概型分别求出事件A、B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系. 2.用定义法求条件概率P(B|A)的步骤是： (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(AB)； (3)代入公式求P(B|A)＝PABPA. 跟踪训练1 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于________.

解析 14

解析 P(A)＝C23＋C22

C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110， 高中数学优质学案专题训练（附经典解析） ∴P(B|A)＝PABPA＝11025＝14.

类型二 缩小基本事件范围求条件概率 例2 集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率. 解 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个.在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，

(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝915＝35. 反思与感悟 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间

上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝nABnA，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的. 跟踪训练2 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. 解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.根据分步乘法计数原理得n(A)＝A14A1

5＝20，

n(AB)＝A24＝12. 所以P(B|A)＝nABnA＝1220＝35.

类型三 条件概率的性质及应用 例3 在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 解 设事件A为“该考生6道题全答对”， 事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”， 事件C为“该考生答对了其中4道题，另两道答错”， 高中数学优质学案专题训练（附经典解析） 事件D为“该考生在这次考试中通过”， 事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”， 则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C. 由古典概型的概率公式及加法公式可知 P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝C610C620＋C510·C110C620＋C410·C210C620＝12 180C620

.

P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)

＝PAPD＋PBPD＝C610C62012 180C620＋C510·C110C62012 180C620＝1358.

所以他获得优秀成绩的概率是1358.

反思与感悟 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率. 跟踪训练3 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率是多少？ 解 记事件A＝“最后从2号箱中取出的是红球”， 事件B＝“从1号箱中取出的是红球”，

则P(B)＝42＋4＝23，P(B)＝1－P(B)＝13，

P(A|B)＝3＋18＋1＝49，P(A|B)＝38＋1＝13，

从而P(A)＝P(AB)＋P(A B) ＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B) ＝49×23＋13×13＝1127. 高中数学优质学案专题训练（附经典解析） 1.设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)＝13，P(A)＝23，则P(B|A)＝( )

A.12 B.29 C.19 D.49

答案 A

解析 P(B|A)＝PABPA＝1323＝12.

2.把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)等于( )

A.14 B.12 C.16 D.18

答案 B

解析 P(AB)＝14，P(A)＝12，

∴P(B|A)＝PABPA＝12.

3.某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________.

答案 16 解析 记事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”， 则P(A)＝C16C27，P(AB)＝1C27，P(B|A)＝PABPA＝16.

4.假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________.

答案 23 解析 一个家庭的两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，由题目假定可知这4个基本事件的发生是等可能的，所求概率P＝23.

1.条件概率：P(B|A)＝PABPA＝nABnA. 2.概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率.用古典概型公式，则P(B|A)＝高中数学优质学案专题训练（附经典解析） AB中样本点数ΩA中样本点数，P(AB)＝AB中样本点数Ω中样本点数.

一、选择题 1.已知P(B|A)＝12，P(AB)＝38，则P(A)＝( )

A.316 B.1316 C.34 D.14

答案 C

解析 由P(B|A)＝PABPA得：P(A)＝PABPB|A＝3812＝34.

2.某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子成长为幼苗的概率为( ) A.0.02 B.0.08 C.0.18 D.0.72 答案 D

解析 设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB，“这粒水稻种子出芽后能成长为幼苗”为事件B|A，P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9， 由条件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，则这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 3.7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( )

A.14 B.15 C.16 D.17

答案 C 解析 记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B， 则n(A)＝A6

6，

n(AB)＝A55， P(B|A)＝A55A66＝16. 4.一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第1次取得一等品的条件下，第2次取得的是二等品的概率是( )

A.12 B.13 C.14 D.23