苏教版七年级下册数学[认识三角形(提高)知识点整理及重点题型梳理]

苏科版数学七年级下册说课稿7.4认识三角形一. 教材分析苏科版数学七年级下册第7.4节“认识三角形”是人教版初中数学课程标准规定的一节重要课程。

本节课的主要内容是让学生了解并掌握三角形的定义、性质以及三角形的三条边和三个角之间的关系。

这一节内容是学生学习几何知识的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析在进入七年级下册之前，学生已经学习了平面几何的基本概念，对图形的认知有一定的基础。

但是，对于三角形这种特殊的图形，学生可能还存在着一些模糊的认识，对于三角形的特点和性质可能还没有一个清晰的理解。

因此，在教学过程中，我需要根据学生的实际情况，逐步引导学生深入理解三角形的性质。

三. 说教学目标根据课程标准的要求和学生的实际情况，我设定了以下教学目标：1.知识与技能目标：让学生掌握三角形的定义和性质，能够正确识别各种三角形。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 说教学重难点本节课的重难点是让学生理解和掌握三角形的性质，特别是三角形的三条边和三个角之间的关系。

由于学生在之前的学习中可能存在着对三角形的一些模糊认识，因此，如何引导学生正确理解三角形的性质，建立起清晰的空间观念，是教学过程中的一个难点。

五. 说教学方法与手段为了达到本节课的教学目标，我计划采用以下教学方法和手段：1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索三角形的性质。

2.利用多媒体课件和实物模型，帮助学生建立直观的空间观念，加深对三角形性质的理解。

3.通过小组合作学习，培养学生的团队合作意识和交流表达能力。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的三角形图片，引导学生回顾已学的平面几何知识，为新课的学习做好铺垫。

2.自主学习：让学生通过观察、操作、思考，自主探索三角形的性质，总结出三角形的定义和性质。

①
②
③ ②③
锐角三角形
④
⑤
①④⑤
直角三角形
⑥ ⑥
钝角三角形
2、三角形按边分类
不等边三角形 等腰三角形 等边三角形
7.4 认识三角形（1）
三角形的分类：
锐角三角形
角 直角三角形
三角形的分类
钝角三角形 不等边三角形
边 等腰三角形(等边三角形)
自学指导（二）
看课本23页思考下面问题
1、够成三角形三边 的条件是什么？
2.下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能摆 成三角形吗？
3cm、 4cm、 5cm （ ） 能 8cm、 7cm、 15cm （ ） 不能 5cm、 5cm、 11cm （ ） 不能
3.现有五根长度分别为3cm,4cm,5cm,6cm,9cm的小 木棍，从中任意取3根，能搭成多少个不同的三角形？
7.4 认识三角形（1）
二：三角形的概念、表示
三角形是由3条不在同一条直线上的线段，首 尾依次相接组成的图形.
“三角形”用符号“△”表示，如图顶点是A、B、C
的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.
∠A所对的边BC也可以用a表示，∠B所对的边 AC也可以用b表示 ，∠C所对的边AB也可以用c表示.
3cm,4cm,5cm；3cm,4cm,6cm；3cm,5cm,6cm； 4cm,5cm,6cm；4cm,6cm,9cm；5cm,6cm,9cm.
实际上，要判断能否构成三角形只要将其中2条较短 线段长度的和与最长线段的长度进行比较就可以了．
当堂检测
1. 有两根长度分别为4cm和7cm的木棒， （1）再取一根长度为2cm的木棒，它们能摆成三角 形？为什么？ （2）如果取一根长度为11cm的木棒呢？ （3）你能取一根木棒,与原来的两根木棒摆成三角 形吗？求出木棒长度的范围.

A
c
b
BaΒιβλιοθήκη C练一练表示出图中的所有三角形： A
B
CD
△ABC
△ABD △ABE △ACD △ACE
E △ADE
三：三角形分类
1、三角形按角的大小分类： 锐角三角形（三个都是锐角）
直角三角形（有一个直角）
钝角三角形（有一个钝角）
练一练
哪些三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？ 并将三角形的序号填入相关的椭圆框内．
3cm,4cm,5cm；3cm,4cm,6cm；3cm,5cm,6cm； 4cm,5cm,6cm；4cm,6cm,9cm；5cm,6cm,9cm.
实际上，要判断能否构成三角形只要将其中2条较 短线段长度的和与最长线段的长度进行比较就可以了．
当堂检测
1. 有两根长度分别为4cm和7cm的木棒， （1）再取一根长度为2cm的木棒，它们能摆成三 角形？为什么？ （2）如果取一根长度为11cm的木棒呢？ （3）你能取一根木棒,与原来的两根木棒摆成三 角形吗？求出木棒长度的范围.
2、如何解释三角形两边之和大于第 三边
1.从准备好的长度分别为3cm、4cm、5cm、 6cm、和9cm的小木棒中任意取3根，能否搭成一个 三角形？
取3cm、4cm、 5cm的三根小木棒， 可以搭成一个三角形.
取3cm、5cm、 9cm的三根小木 棒不能搭成一个 三角形.
5 4
5
3
9
3
2．小明说我上学走中间这条路最近，你知道 这是什么原因吗？两点之间线段最短.
7.4 认识三角形（1）
2.下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能摆
成三角形吗？
3cm、 4cm、 5cm
（能 ）
8cm、 7cm、 15cm

认识三角形知识点一、三角形的概念1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；如图所示，△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．2. 三角形的基本要素：①三角形的边：即组成三角形的线段．②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.例：如图，以BC为边的三角形有（）个．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形．【解答】解：以BC为边的三角形有△BCN，△BCO，△BMC，△ABC，故选：B．【点评】本题考查了三角形的定义．注意：题目要求找“图中以AB为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”．知识点二、三角形的分类1. 按内角大小分类：2. 按边的相等关系分类：例：在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【分析】三角形中最少有两个角是锐角，因此有一个角是锐角时，三角形的形状不能确定．【解答】解：在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC可能是直角三角形，也可能是锐角三角形或钝角三角形，故选：D．【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形中锐角的个数．知识点三、三角形三边的关系1. 三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边.2. 理论依据：两点之间线段最短.3. 三边关系的应用：①判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围；②证明线段间的不等关系.例：下列长度的三根小木棒，能搭成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，9 D．2，2，4【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知．【解答】解：A、1+2＝3，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意；B、2+3＞4，满足三边关系定理，故正确，符合题意；C、1+3＜4，不满足三边关系定理，故错误，不符合题意；D、2+2＝4，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了三角形中三边的关系，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．知识点四、三角形的三条重要线段段．过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．1．AD是△ABC的高．1．AD是△ABC的中线．例：如图，在△ABC中，AC边上的高是（）A．BE B．AD C．CF D．AF【分析】根据三角形的高的定义得出即可．【解答】解：在△ABC中，AC边上的高是线段BE，故选：A．【点评】本题考查了三角形的高的定义，能熟记三角形的高的定义的内容是解此题的关键．知识点五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．例：如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题．【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．故选：A．【点评】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．巩固练习一．选择题（共12小题）1．四组木条（每组3根）的长度分别如图，其中能组成三角形的一组是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，进行分析．【解答】解：A、2+2＜5，不能构成三角形；B、2+2＝4，不能构成三角形；C、2+3＝5，不能组成三角形；D、3+2＞4，能够组成三角形．故选：D．【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，3，5B．6，6，13C．5，8，2D．6，8，10【分析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断．【解答】解：A、3+2＝5，不能构成三角形，不符合题意；B、6+6＜13，不能构成三角形，不符合题意；C、2+5＜8，不能构成三角形，不符合题意；D、6+8＞10，能构成三角形，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3．如果一个三角形的两边长分别为3和6，那么这个三角形第三边长可能是（）A．2B．4C．9D．10【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再看哪个选项内的数在这个范围内即可．【解答】解：设第三边长为x根据三角形的三边关系，得3＜x＜9．4在第三边长的取值范围内．故选：B．【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（）A．15B．16C．19D．26【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长．【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，2＜a＜12．由于第三边的长为偶数，则a可以为4或6或8或10．∴三角形的周长是5+7+4＝16或5+7+6＝18或5+7+8＝20或5+7+10＝22．故选：B．【点评】考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．5．如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．AD B．BE C．BF D．CG【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高线的定义解答．【解答】解：由图可知，△ABC中，BC边上的高为AD，故选：A．【点评】本题考查了三角形的高线的定义，是基础题，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．6．如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：A，C，D都不是△ABC的边AB上的高，故选：B．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．7．在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的高的概念判断．【解答】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有C符合条件，故选：C．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．8．已知小敏家距学校5km，小飞家距小敏家3km．若小飞家距学校距离为xkm，则x满足（）A．x＝2B．2≤x≤8C．2≤x≤5D．2＜x＜8【分析】此题分两种情况讨论①当小敏家、小飞家、学校不在同一直线上时，根据三角形的三边关系可得x的取值范围，②当小敏家、小飞家、学校在同一直线上时，x＝5+3＝8或x＝5﹣3＝2，把两种情况综合可得答．【解答】解：①当小敏家、小飞家、学校不在同一直线上时：5﹣3＜x＜5+3，即：2＜x＜8，当小敏家、小飞家、学校在同一直线上时：x＝5+3＝8或x＝5﹣3＝2，∴2≤x≤8，故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是要考虑全面，注意分类讨论思想的运用．9．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（）A．BC是△ABC的高B．AC是△ABE的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高【分析】根据三角形的高的定义判断即可．【解答】解：观察图象可知：BC是△ABC的高，AC是△ABE的高，AD是△ACD的高，DE是△BCD、△BDE、△CDE的高故A，B，D正确，C错误，故选：C．【点评】本题考查三角形的角平分线，中线，高等知识，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键．10．如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得P A＝15米，PB＝11米那么A，B 间的距离不可能是（ ）A ．5米B ．8.7米C ．27米D ．18米【分析】连接AB ，根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项．【解答】解：连接AB ，设AB ＝x 米，∵P A ＝15米，PB ＝11米，∴由三角形三边关系定理得：15﹣11＜AB ＜15+11， 4＜AB ＜26，所以选项C 不符合，选项A 、B 、D 符合， 故选：C ．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，能根据三角形的三边关系定理得出不等式是解此题的关键． 11．已知n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是n +2、n +8、3n ，则满足条件的n 的值有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【分析】分三种情况讨论：①若n +2＜n +8≤3n ，②若n +2＜3n ≤n +8，③若3n ≤n +2＜n +8，分别依据三角形三边关系进行求解即可． 【解答】解：①若n +2＜n +8≤3n ，则 {n +2+n +8＞3n n +8≤3n， 解得{n ＜10n ≥4，即4≤n ＜10，∴正整数n 有6个：4，5，6，7，8，9； ②若n +2＜3n ≤n +8，则 {n +2+3n ＞n +83n ≤n +8， 解得{n ＞2n ≤4，即2＜n ≤4，∴正整数n 有2个：3和4；③若3n ≤n +2＜n +8，则不等式组无解；综上所述，满足条件的n 的值有7个， 故选：D ．【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 12．如图，△ABC 的角平分线AD 、中线BE 相交于点O ，则①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△ABD 的中线；③DE 是△ADC 的中线；④ED 是△EBC 的角平分线的结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】易得∠BAD ＝∠CAD ，AE ＝CE ，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可． 【解答】解：∵△ABC 的角平分线AD 、中线BE 相交于点O ， ∴∠BAD ＝∠CAD ，AE ＝CE ，①在△ABE 中，∠BAD ＝∠CAD ，∴AO 是△ABE 的角平分线，故①正确； ②AO ≠OD ，所以BO 不是△ABD 的中线，故②错误； ③在△ADC 中，AE ＝CE ，DE 是△ADC 的中线，故③正确；④∠ADE 不一定等于∠EDC ，那么ED 不一定是△EBC 的角平分线，故④错误； 正确的有2个选项．故选：B ．【点评】用到的知识点为：三角形一个角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线；连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线． 二．填空题（共12小题）13．一个三角形的3条边长分别为xcm ，（x ﹣1）cm ，（x ﹣2）cm ，它的周长不超过39cm ，则x 的取值范围为 3＜x ≤14 ．【分析】根据三角形两边之和大于第三边可得x ﹣1+x ﹣2＞x ，再根据周长不超过39cm 可得x +x ﹣1+x ﹣2≤39，联立两个不等式，求出公共解集即可． 【解答】解：由题意得：{x −1+x −2＞x x +x −1+x −2≤39，解得：3＜x ≤14， 故答案为：3＜x ≤14．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．14．如果三角形的两边长为1和5，第三边长为整数，那么三角形的周长为11．【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数确定三角形的周长．【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：5﹣1＜a＜5+1，即4＜a＜6，∵a为整数，∴a的值为5，则三角形的周长为1+5+5＝11．故答案为：11．【点评】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．15．已知三角形的三边分别为2，a﹣1，4，那么a的取值范围是3＜a＜7．【分析】可根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式：4﹣2＜a ﹣1＜4+2，化简即可得出a的取值范围．【解答】解：依题意得：4﹣2＜a﹣1＜4+2，即：2＜a﹣1＜6，∴3＜a＜7．故答案为：3＜a＜7．【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．16．△ABC三边的长a、b、c均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有9个．【分析】结合三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”和已知条件，进行分析．【解答】解：根据已知条件和三角形的三边关系，得当a＝8，b＝7时，则c＝6或5或4或3或2；当a＝8，b＝6时，则c＝5或4或3；当a＝8，b＝5时，则c＝4．则满足条件的三角形共有9个．故答案为：9．【点评】考查了三角形三边关系，此题要能够把已知条件和三角形的三边关系结合起来考虑．17．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形．【分析】根据题意画出图形即可得到结论．【解答】解：如图所示，以A，B为顶点，得△ABC，△ADB，△ABE，以A，C为顶点，得△ACD，ACE，以A，D为顶点，得△ADE，以B，C为顶点，得△BCE，△BCD，以B，D为顶点，得△BDE，以C，D为顶点，得△CDE，故以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，故答案为：10．【点评】本题考查了三角形，正确的画出图形是解题的关键．18．已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|＝3a﹣b﹣c．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边，∴a+b﹣c＞0，b+c﹣a＞0，a+c﹣b＞0|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|＝a+b﹣c+a﹣b﹣c+a﹣b+c＝3a﹣b﹣c．故答案为：3a﹣b﹣c．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．19．如图，要使四边形木架不变形，至少要钉上1根木条．【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性．【解答】解：根据三角形具有稳定性，在四边形的对角线上添加一根木条即可．故答案为：1【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，解题时注意：三角形具有稳定性，这一特性主要应用在实际生活中．20．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段BE 是△ABC中AC边上的高．【分析】根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：∵BE⊥AC，∴△ABC中AC边上的高是BE．故答案为：BE【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念是解题的关键．21．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有6个．【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD 为高的三角形的个数．【解答】解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：6【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．22．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性．【分析】根据三角形的稳定性，可直接填空．【解答】解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．23．已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝0．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【解答】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，＝（a+b+c）﹣（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c），＝a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c，＝0，故答案为：0．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．24．如图，以AD为高的三角形共有6个．【分析】由于AD ⊥BC 于D ，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB 上，由此即可确定以AD 为高的三角形的个数．【解答】解：∵AD ⊥BC 于D ，而图中有一边在直线CB 上，且以A 为顶点的三角形有6个，∴以AD 为高的三角形有6个．故答案为：6【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．三．解答题（共6小题）25．已知多项式x 2+4x +5可以写成（x ﹣1）2+m （x ﹣1）+n 的形式．（1）求m ，n ；（2）△ABC 的两边AB 、AC 的长分别是m 、n ，请直接写出第三条边BC 上的中线c 的取值范围．【分析】（1）根据（x ﹣1）（mx +n ）＝mx 2+（n ﹣m ）x ﹣n ＝x 2+2x ﹣3直接对应得出答案即可；（2）如图，延长AD 到E ，使AD ＝DE ，连接CE ，则可得△ABD ≌△ECD ，得出AB ＝CE ，在△ACE 中，由三角形三边关系，即可求解结论．【解答】解：（1）∵（x ﹣1）2+m （x ﹣1）+n ＝x 2+（m ﹣2）x +1﹣m +n ＝x 2+4x +5，∴{m −2=41−m +n =5， ∴{m =6n =10； （2）如图，延长AD 到E ，使AD ＝DE ，连接CE ，∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，又AD ＝DE ，∠ADB ＝∠CDE ，∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB ＝CE ，在△ACE 中，AC ﹣CE ＜AE ＜AC +CE ，即AC ﹣AB ＜AE ＜AC +AB ，∵AB ＝m ＝6，AC ＝n ＝10，∴10﹣6＜AE ＜10+6，即4＜AE ＜16，∴2＜c ＜8．【点评】本题主要考查了因式分解的应用、全等三角形的判定及性质以及三角形三边关系问题，解决问题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．26．若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|．【分析】根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c，b﹣a﹣c及c﹣a﹣b的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边的长，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝a+b﹣c﹣b+a+c+c﹣a﹣b＝a﹣b+c．【点评】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．27．如图，AD是△ABC的中线，AB：AD：BC＝13：12：10，△ABD的周长是60cm．求AC．【分析】设AB＝13x，AD＝12x，BC＝10x，则BD＝CD＝5x，所以13x+12x+5x＝60，解得x＝2，根据勾股定理的逆定理可证明△ABD为直角三角形，∠ADB＝90°，所以AD垂直平分BC，从而得到AC＝AB＝26（cm）．【解答】解：设AB＝13x，AD＝12x，BC＝10x，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝5x，∵△ABD的周长是60cm，∴13x+12x+5x＝60，解得x＝2，∴BD＝10，AD＝24，AB＝26，∵102+242＝262，∴BD2+AD2＝AB2，∴△ABD为直角三角形，∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，而BD＝CD，∴AC＝AB＝26（cm）．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义．也考查了勾股定理的逆定理．28．如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？【分析】利用角平分线和中线的定义解答即可．【解答】解：AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE的角平分线；BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线．【点评】此题考查三角形的角平分线、高和中线，关键是利用角平分线和中线的定义解答．29．如图，已知△ABC．（1）若AB＝4，AC＝5，则BC边的取值范围是1＜BC＜9；（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E＝55°，∠ACD＝125°，求∠B的度数．【分析】（1）利用三角形的三边关系确定第三边的取值范围即可；（2）首先利用平行线的性质确定∠EDB的度数，然后利用三角形内角和定理确定∠B的度数即可．【解答】解：（1）∵AB＝4，AC＝5，∴5﹣4＜BC＜4+5，即1＜BC＜9，故答案为：1＜BC＜9；（2）∵∠ACD＝125°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝55°，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠ACB＝55°．∵∠E＝55°，∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠BDE＝180°﹣55°﹣55°＝70°．【点评】本题考查了三角形的三边关系及平行线的性质，解题的关键是能够了解三角形的三边关系及两直线平行同位角相等的知识，难度不大．30．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，点E、F、G分别在BC、AB、AC上．（1）若在△BCD中，BC＝5，BD＝4，设CD的长为奇数，则CD的取值是3，5，7；（2）若EF⊥AB，DG∥BC，请判断CD与AB的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据三角形三边关系定理求出CD取值范围，再根据CD的长为奇数即可得出CD的取值；（2）由平行线的性质和已知条件可证明CD∥EF，可求得∠CDB＝90°，可判断CD⊥AB．【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC＝5，BD＝4，∴1＜CD＜9，∵CD的长为奇数，∴CD的取值是3，5，7．故答案为3，5，7；（2）CD⊥AB．理由如下：∴DG∥BC，∴∠1＝∠DCB，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCB，∴CD∥EF，∴∠CDB＝∠EFB，∵EF⊥AB，∴∠EFB＝90°，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB．【点评】本题考查了三角形三边关系定理，平行线的性质和判定，掌握定理与性质是解题的关键．。