线性代数讲稿今天我给大家介绍一下线性代数的基础知识。
在这节课中，我将向同学们介绍：什么是线性代数，线性代数有哪些分支和各个分支之间有什么关系，以及线性代数研究的主要问题是什么？现在我们先看，这节课上所用的例题，以便同学们能够更好地理解并掌握线性代数的基本概念。
1。
比较矩阵A与矩阵B，设A的秩为n， B的秩为m， A与B 的转置矩阵定义为(x__a)__(y__b)。
则称A与B相似，记作A_B， A_B 与A相似等价于B_A，记作B_A。
A与B的相似关系称为矩阵A与B 的关系。
有的书上写成A与B的形式为A_B， A与B的形式是相似关系的矩阵，秩就是矩阵A的秩，形式上不做区分。
2。
矩阵的相似对角化问题。
若A、 B为n×n矩阵，并且A为n ×n对角矩阵，那么称B经过A的相似对角化可得到A经过B的相似对角化，则称A与B相似对角化。
3。
将矩阵的乘法表示成两个矩阵的乘法，这种矩阵乘法叫作线性变换。
也可以说，通过变换可以把一个矩阵的表示形式变成另一个矩阵的表示形式。
这种矩阵乘法称为线性运算。
线性运算按行(列)顺序进行运算，结果保持不变，但逆矩阵需进行反向运算。
3。
线性表示：把一个向量或一组向量映射成矩阵的乘积。
每个向量都用数值上最小的单位来度量，这种度量方法称为线性度量。
一个向量是线性表示的充分必要条件是该向量与所有其它向量线性相关，而且只有当该向量对应的矩阵的列向量线性无关时，这个向量才是线性表示的。
4。
线性表示的性质： 1)线性表示的两个向量必须线性无关； 2)两个线性表示之间的线性映射必须是可逆的； 3)线性表示之间的两个矩阵可以相等，即它们的行(列)逆阵必须相等； 4)如果两个线性表示是相似的，则它们的矩阵是相似对角化的。
5。
向量空间：定义：设a是实数集合C上的线性无关的，可测向量组成的集合，称a为X上的线性空间。
那么A就是线性空间X上的向量空间。
线性空间X上的线性变换是一个向量空间。
线性代数讲稿第七章线性变换§7.1 、§7.2 、§7.3一、变换1.广义的变换：一个对象（可称之为源或原对象）按一定的规律变成另一个对象（可称之为像），就称之为一个变换；经常研究的对象可以是矩阵、向量、数等；至于变换规律更是多种多样．如高等数学中的一元函数y = f ( x )，就是x （源）按规律f 变换成y （像）．2.线性空间的变换[P.202定义1] 设V 是一个线性空间，若有对应关系T ，使得V 中的任一元素α都按照一定的规律对应于V 自身的一个确定的元素β，即T :V → V ，总有β = T α ，则称T 为V 上的一个变换．3.线性空间的线性变换[P.202定义2] 设V 是数域F 上的一个线性空间，若V 上的一个变换T 满足以下两个条件：① 可加性βαβαβαT T T V +=+∈?)(,,，（加与变换，先后可换）② 齐次性αααkT k T F k V =∈?∈?)(,, ，（数乘与变换，先后可换）则称T 为数域F 上线性空间V 的一个线性变换．数乘变换又称相似变换，数为零时称为零变换，数为1时称为恒等变换．二、线性变换的性质设T 为数域F 上线性空间V 的一个线性变换，则1. T 0 = 02. T (- α ) = - T α3. T ( k 1 α 1 + k 2 α 2 + …… + k n α n ) = k 1T α 1 + k 1T α 2 + …… + k n T α n 元素之间的线性组合方式，变换前后一样．4. 若V 中元素α 1 ，α 2 ，…… ，α n 相关，则T α 1 ，T α 2 ，…… ，T α n 相关．（注：变换前无关，变换后却可以相关）5. V 中全体元素的像的集合T ( V ) = { β = T α∣α ∈V }是V 的一个子空间，称T ( V )为线性变换T 的像空间．6.满足T α = 0的全体源α 的集合S ( T ) = { α∣α ∈V ，T α = 0 }是V 的一个子空间，称S ( T )为线性变换T 的核．三、线性变换的矩阵表示1.线性变换在给定基下的矩阵表示① 引入：设V 为数域F 上的一个n 维线性空间，V 的一个（一套）给定的基为α1，α 2 ，……，α n ，T 为V 的一个给定的线性变换，即对V 中的任一个向量α 有T α = β ．因α 在给定基上的表示是唯一的α = x 1 α1 + x 2 α2 + …… + x n αn ，故T α = x 1 T α1 + x 2 T α2 + …… + x n T αn ，可见，只要确定了T α i ( i = 1 , 2 , …… , n )，也就确定了T α ．把n 个向量T α i 用基α i 表出+++=+++=+++=nnn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T ααααααααααααL M L L 22112222112212211111 ，写成矩阵式[][]=nn n n n n n n a a a a a a a a a T L M O M M L L L L 2122221112112121αααααα []A n αααL 21=式中矩阵=nn n n n n a a a a a a a a a L M O M M L L 212222111211A 即为线性变换T 在基α1，α 2 ，……，α n 下的矩阵．② 应用举例：向量α 的坐标为（列向量）X ，即[][]X n n n x x x αααααααL M L 212121== ，给定线性变换T ，像T α 的坐标为Y ，即[]Y n T ααααL 21= ；又因[][]AX X n n T T αααααααL L 2121==，比较，得 Y = AX ，此即源（X ）坐标与像（Y ）坐标的关系式．2.线性变换在不同基下的矩阵之间的关系① 给定n 维线性空间V ，给定线性变换T ；② 在V 的基α1，α 2 ，……，α n 下，T 的矩阵为A ，③ 在V 的基β1，β 2 ，……，β n 下，T 的矩阵为B ，④ 若基α i 到基β i 的过渡矩阵为P ，则 B = P –1 A P ．四、线性变换的特征值与特征向量1.定义[P.215定义1]：设T 是数域F 上线性空间V 的线性变换，若存在F 中的数λ 和V 中的非零向量α ，使得T α = λ α ，则称λ 为线性变换T 的特征值，α 为T 的对应于特征值λ 的特征向量．[注：特征向量一定要非零，特征值却可以为零．]2.相关概念[P.215定义2]：线性变换T 的任一特征值λ 0对应的全部特征向量加上零向量所成V 的子空间称为T 的一个对应于λ 0的特征子空间，记为},{00V T V ∈λ==λαααα ．五、线性变换的特征值与特征向量和矩阵的特征值与特征向量，二者之间的关系[P.216定理1]：设V 是一个n 维线性空间，线性变换T 在给定的基α1，α 2 ，……，α n 下的矩阵为A ，则1.若λ 是A 的特征值，则它也是T 的特征值；2.若X 是矩阵A 的对应于特征值λ 的一个特征向量，则它也是T 的对应于特征值λ 的一个特征向量α 在基α1，α 2 ，……，α n 下的对应坐标．六、线性变换的特征值与特征向量的求法利用求矩阵的特征值与特征向量的方法进行．最后增加一步，由特征向量的坐标结合基写出特征向量的表示式．作业（P.206）：；（P.212）：；（P.219）：；。
