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2008年高考试题理科数学(江苏卷)及答案解析

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1．若函数cos()(0)6yx最小正周期为5，则 .

2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ． 3．若将复数11ii表示为(,,abiabRi是虚数单位）的形式，则ab ． 4．若集合2{|(1)37,}AxxxxR，则AZ中有 个元素. 5．已知向量a和b的夹角为0120，||1,||3ab，则|5|ab ． 6．在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是 7．某地区为了解7080岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表： 序号i 分组 （睡眠时间） 组中值（iG） 频数

（人数） 频率（iF）

1 6 2 10 3 20

开始 S0

输入G，i1

SS＋Gi·Fi i≥5 ii＋1

N Y 输出S

结束 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 8．设直线bxy21是曲线)0(lnxxy的一条切线，则实数b的值是 9．如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为)0,(),0,(),,0(cCbBaA，点(0,)Pp在线段AO上的一点（异于端点），这里pcba,,,均为非零实数，设直线CPBP,分别与边

ABAC,交于点FE,，某同学已正确求得直线

OE的方程为01111yapxcb，请你完成直

线OF的方程：()011yapx。 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第n行（3n）从左向右的第3个数为 11．设,,xyz为正实数，满足230xyz，则2yxz的最小值是

12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆)0(12222babyax的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过20aPc，作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 13．满足条件BCACAB2,2的三角形ABC的面积的最大值 14．设函数3()31()fxaxxxR，若对于任意的1,1x都有0)(xf成立，则实数a的值为

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4 10 5 4

A B C x y P O F E

1 2 3 4 5 6

B A x

y

O A B C D E F

B C D A O P

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别交单位圆于AB，两点．已知AB，两点的横坐标分别是210，255．

（1）求tan()的值； （2）求2的值．

16．如图，在四面体ABCD中，CBCDADBD，，点EF，分别是ABBD，

的中点．求证： （1）直线//EF面ACD。 （2）平面EFC面BCD． 17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要

在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm． （1）按下列要求建立函数关系式： （i）设BAO（rad），将y表示成的函数； （ii）设OPx（km），将y表示成x的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。

18．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数2()2fxxxb（xR）与

两坐标轴有 三个交点．经过三个交点的圆记为C． （1）求实数b的取值范围； （2）求圆C的方程； （3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论． 19．（1）设12,,,naaa是各项均不为零的n（4n≥）项等差数列，且公差0d，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列． （i）当4n时，求1ad的数值； （ii）求n的所有可能值． （2）求证：对于给定的正整数n(4n≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列

12bb，，，nb

，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．

20．已知函数11()3xpfx，22()23xpfx（12,,xRpp为常数）．函数()fx

定义为：对每个给定的实数x，112212(),()()()(),()()fxfxfxfxfxfxfx若若 （1）求1()()fxfx对所有实数x成立的充分必要条件（用12,pp表示）； （2）设,ab是两个实数，满足ab，且12,(,)ppab．若()()fafb，求证：函数()fx在区间[,]ab上的单调增区间的长度之和为2ba（闭区间[,]mn的长度定义为nm） 数学附加题 21：从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分 A．选修4—1 几何证明选讲 如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：2EDEBEC． B．选修4—2 矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2241xy在矩阵0,0 1))对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程． B C E D

A C．选修4—4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系xOy中，点()Pxy，是椭圆2213xy上的一个动点，求Sxy的最大值． D．选修4—5 不等式证明选讲 设a，b，c为正实数，求证：33311123abc+abc≥． 22．【必做题】记动点P是棱长为1的正方体1111-ABCDABCD的对角线1BD

上一点，记11DPDB．当APC为钝角时，求的取值范围． 23．【必做题】．请先阅读： 在等式2cos22cos1xx（xR）的两边求导，得：2(cos2)(2cos1)󰀀 xx， 由求导法则，得(sin2)24cos(sin)󰀀xxx，化简得等式：sin22cossinxxx． （1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1+x)=CCCCnnnnnnnxxx

（xR，正整数2n≥），证明：

112[(1)1]Cnnkknknxkx

．

（2）对于正整数3n≥，求证： （i）1(1)C0nkknkk；（ii）21(1)C0nkknkk；（iii）11121C11nnknkkn． 2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学参考答案 一、填空题 1、10；2、112；3、1；4、6；5、7；6、16；7、6.42；8、ln2－1；

9、11cb；10、262nn；11、3；12、22；13、22；14、4； 2、【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P 6、【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内

部，因此．214416P 7、【解析】由流程图 9、【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11cb．事实上，由截距式可得直线AB：1xyba，直线CP：1xycp，两

式相减得11110xybcpa，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程． 10、【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1行共

有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即22nn个，因此第n行第3个数是

全体正整数中第22nn＋3个，即为262nn． 11、【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230xyz得32xzy，代入2yxz得

229666344xzxzxzxzxzxz

，当且仅当x＝3z时取“＝”．

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2008年江苏省高考数学试题-推荐下载

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的方程：
0
▲

1 b

1 c
x


b 0) 的焦距为 2，以 O 为圆心， a 为半
▲
=
1 p
▲

O
1 a

y

y A B
0
，请你
x
16．（14 分）
在四面体 ABCD 中， CB CD, AD BD ，且 E、F 分别是 AB、BD 的中点，
求证：（1）直线 EF//面 ACD （2）面 EFC⊥面 BCD B
2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）
样本数据 x1 ， x2 ， ， xn 的标准差
s
其中 x 为样本平均数
柱体体积公式
其中 S 为底面面积， h 为高

x)2

( x2

一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
x)2
1． f (x) cos(x ) 最小正周期为 ，其中 0 ，则
x2
12．在平面直角坐标系中，椭圆
径的圆，过点

a2 c
,0
13．若 AB 2, AC 2BC ，则 SABC 的最大值
xz

a2 b2
y2
1 a
OE

1(a
y
作圆的两切线互相垂直，则离心率 e
14． f (x) ax3 3x 1对于 x 1,1总有 f (x) 0 成立，则 a = ▲
( xn
5

x)2
5a b
6．在平面直角坐标系 xoy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则落入 E 中的概率
历年江苏数学高考试卷[1]

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2008年普通高校招生全国统一考试（江苏卷）数学1. ()cos()6f x w x π=-的最小正周期为5π，其中0w >，则w = ▲ 。

【解析】本小题考查三角函数的周期公式。

2105T w w ππ==⇒=。

答案102.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 ▲ 。

【解析】本小题考查古典概型。

基本事件共66⨯个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P ==⨯。

答案1123.11i i-+表示为a bi +(,)a b R ∈，则a b += ▲ 。

【解析】本小题考查复数的除法运算， 1,0,11i i a b i-=∴==+ ，因此a b +=1。

答案14. {}2(1)37,A x x x =-<-则A Z 的元素个数为 ▲ 。

【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。

由2(1)37x x -<-得2580x x -+< 因为0∆<，所以A φ=，因此A Z φ= ，元素的个数为0。

答案05.,a b 的夹角为0120，1,3a b == ，则5a b -= ▲ 。

【解析】本小题考查向量的线形运算。

因为1313()22a b ⋅=⨯⨯-=-，所以22225(5)2510a ba b a b a b -=-=+-⋅=49。

因此5a b -=7。

答案76.在平面直角坐标系xo y 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 ▲ 。

【解析】本小题考查古典概型。

如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此214416Pππ⨯==⨯。

答案16π7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。

下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

序号（i）分组（睡眠时间）组中值（iG）频数（人数）频率（iF）1 [4,5) 4.5 6 0.122 [5,6) 5.5 10 0.203 [6,7) 6.5 20 0.404 [7,8) 7.5 10 0.205 [8,9) 8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是▲。

2008江苏高考

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2008年普通高等学校夏季招生考试数学文理合卷（江苏卷）一、解答题 ( 本大题共 6 题, 共计 60 分)1、(10分)（选做题） A．选修4—1 几何证明选讲如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：．2、(10分)选做题B．选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F 的方程．3、(10分)选做题C．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．4、(10分)选做题D．选修4—5 不等式证明选讲设a，b，c为正实数，求证：．5、(10分)记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．6、(10分)请先阅读：在等式（）的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1＋x）n＝（，正整数），证明：．（2）对于正整数，求证：（i）＝0；（ii）0；（iii）．二、填空题 ( 本大题共 14 题, 共计 70 分)1、(5分)的最小正周期为，其中，则= ▲．2、(5分)一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率▲．3、(5分)表示为4、(5分)A=，则A Z 的元素的个数▲．5、(5分)，的夹角为，||=1，||=3，则|5-|= ▲．6、(5分)在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率▲ ．7、(5分)某地区为了解70&80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为▲8、(5分)直线是曲线的一条切线，则实数b＝▲．））9、(5分)如图，在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），这里a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：，请你完成直线的方程：10、(5分)将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………根据以上排列的规律，数列中第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为▲．11、(5分)已知，，则的最小值▲．12、(5分)在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，若过点P作圆的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率= ▲．13、(5分)若AB=2, AC=BC的三角形的面积的最大值▲．14、(5分)设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为▲三、解答题 ( 本大题共 6 题, 共计 90 分)1、(14分) 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为．（Ⅰ）求tan()的值；（Ⅱ）求的值．2、(14分)在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．3、(14分)某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A,B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=，将表示成的函数关系式；②设OP(km) ，将表示成的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．4、(16分)设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：（Ⅰ）求实数b 的取值范围；（Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．5、(16分)（Ⅰ）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n =4时，求的数值；②求的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．6、(16分)若， (为常数).函数定义为：对每个给定的实数，（Ⅰ）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；（Ⅱ）设为两实数，满足，且若求证：函数在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）．。

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绝密★启用前 【考试时间：6月7日 15:00—17:00】2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k本卷12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一．选择题（1）设集合}23{<<-∈=m Z m M ,}31{≤≤-∈=n Z n N ,则=⋂N MA ．}1,0{ B. }1,0,1{- C. }2,1,0{ D }2,1,0,1{- (2)设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数3bi)(a +是实数，则A ． 223a b = B. 223b a = C. 229a b = D.229b a =(3)函数x xx f -=1)(的图像关于 A ． y 轴对称 B.直线y=-x C.坐标原点对称 D.直线y=x(4)若)1,(1-∈e x ，x ln =a ,x ln 2=b ,x 3ln =c ,则A ．c b a << B. b a c << C. c a b << D. a c b <<（5）设变量x,y 满足约束条件：2,22,-≥≤+≥x y x x y 则y x z 3-=的最小值为：A ．-2 B.-4 C. -6 D.-8（6）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径A ．299 B. 2910 C. 2919 D. 2920 （7）()()4611x x +-的展开式中x 的系数是A ．-4 B.-3 C.3 D.4（8）若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于M 、N 两点，则MN 的最大值为 A ．1 B. 2 C.3 D.2（9）设1>a ，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 A ．)2,2( B. )5,2( C. )5,2( D. )5,2(（10）已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为 A ．31 B. 32 C. 33 D. 32（11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为02=-+y x 和047=--y x ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 A ．3 B. 2 C. 31-D. 21- （12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于A ．1 B. 2 C. 3 D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。