1 奥数4(4、5、6 4,8,9整除数的特征、弃九法、数的整除性(二))

五年级奥数.数论.中国剩余定理及弃九法（B级）.学⽣版⼀、中国剩余定理——中国古代趣题1) 趣题⼀中国数学名著《孙⼦算经》⾥有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩⼆，五五数之，剩三，七七数之，剩⼆，问物⼏何？”答⽈：“⼆⼗三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，⼜被称为“韩信点兵”。

韩信点兵⼜称为中国剩余定理，相传汉⾼祖刘邦问⼤将军韩信统御兵⼠多少，韩信答说，每3⼈⼀列余1⼈、5⼈⼀列余2⼈、7⼈⼀列余4⼈、13⼈⼀列余6⼈……。

刘邦茫然⽽不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满⼀万，每5⼈⼀列、9⼈⼀列、13⼈⼀列、17⼈⼀列都剩3⼈，则兵有多少？⾸先我们先求5、9、13、17之最⼩公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最⼩公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（⼈）。

孙⼦算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上⾯这种问题的解法，中国⼈发现得⽐西⽅早，所以这个问题的推⼴及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有⼀席⾮常重要的地位。

2) 趣题⼆我国明朝有位⼤数学家叫程⼤位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆，问物⼏何？）时⽤四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三⼈同⾏七⼗稀，五树梅花廿⼀枝，七⼦团圆正⽉半，除百零五便得知．”这⾸诗就是解答此类问题的⾦钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的⼀项辉煌成果．诗中的每⼀句话都表⽰⼀个步骤：三⼈同⾏七⼗稀，是说除以3所得的余数⽤70乘．五树梅花廿⼀枝，是说除以5所得的余数⽤21乘．七⼦团圆正⽉半，是说除以7所得的余数⽤15乘．除百零五便得知，是说把上⾯乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：⽤70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它⼤于105，则减去105，所得的差如果仍⽐105⼤，则继续减知识框架中国剩余定理及弃九法去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233-=++=，233105128-=，12810523为什么70，21，15，105有此神奇效⽤？70，21，15，105是从何⽽来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是⼀个被3除余a⽽被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最⼩公倍数．也就是说，702115++是a b c被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不⼀定是最⼩的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上⾯的题⽬，我们都可以⽤中国剩余定理来解答．3)核⼼思想和⽅法对于这⼀类问题，我们有⼀套看似繁琐但是⼀旦掌握便可⼀通百通的⽅法，下⾯我们就以《孙⼦算经》中的问题为例，分析此⽅法:今有物，不知其数，三三数之，剩⼆，五五数之，剩三，七七数之，剩⼆，问物⼏何？题⽬中我们可以知道，⼀个⾃然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们⾸先构造⼀个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 的形式：
品 升 2 ï ï þ 1 而 思}余？ 2 3、、、、 4 6 7 8、 9 备选数：、 品 格ü ï ï ï 兴 趣ï ý余？ ï ï +2 升 3 ï ï þ 2 而 思}余？ 1、 3、、、、 4 6 7 8、 9 备选数：
3 25 45
225 15 1
5 9 75
【第三单元 4】有写有 1~9 的九张牌，A 和 B 各抽 3 张，A 看了自己的三张牌后，对 B 说：你的 三个数之和不可能是 15. 请问 A 是如何知道的？他抽到的可能是哪三张牌？ 【答案】 （4,5,6）或（2,5,8） 【分析】从 1～9 的三阶幻方辅助分析：
【第一单元 2】将 1～2013 写成一排：1234……20122013，求这个数除以 9 的余数. 【答案】3 【分析】这个多位数与 1 + 2 + 3 + + 2013 对 9 同余（数码相同） ； 1 + 2 + 3 + + 2013 = 2013´1007 6 ´ 8 = 48 º 3(mod 9) 【点评】此题孩子容易把数拆成 1 + 2 + 3 + 4 + + 9 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + + 2 + 0 + 1 + 3 ，确实是 拆成了各个数位数字和，但此式根本无法计算. 并不是全拆开一定最好，而是拆到容易计算最好. 反正无论怎么拆，数字从未变过，故除以 9 的余数不会变. 【第一单元 4】已知 2 的 29 次方由 9 个不同数字组成，那么缺少哪个数字？ 【答案】4 【分析】乘方数太大，不要死算，找余数的周期规律. 由于 26 = 64 º 1(mod 9) ，则 229 º 25 º 5(mod 9) ； 而 0 + 1 + 2 + 3 + + 9 = 45 是 9 的倍数；因此缺的数字是 9 - 5 = 4 . 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 2

小学奥数知识点梳理1——数论数论是研究整数及其性质的学科。

其中包括奇偶、整除、余数、质数合数、约数倍数、平方、进制和位值等方面的内容。

首先，奇偶性是整数的基本属性之一，一个整数要么是奇数，要么是偶数。

对于奇偶数的运算性质，有以下规律：（1）奇数加减奇数得偶数，偶数加减偶数得偶数，奇数加减偶数得奇数，偶数加减奇数得奇数；（2）奇数个奇数的和或差为奇数，偶数个奇数的和或差为偶数，任意多个偶数的和或差总是偶数；（3）奇数乘奇数得奇数，偶数乘偶数得偶数，奇数乘偶数得偶数；（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数；（5）偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1.总之，几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定。

其次，整除是数论中的重要概念。

要掌握能被30以下质数整除的数的特征。

例如，被2整除的数的特征为它的个位数字之和可以被2整除，被3或9整除的数的特征为它的各位数字之和可以被3或9整除，被5整除的数的特征为它的个位数字之和可以被5整除。

而对于被7、11、13整除的数的特征，可以使用关键性式子7×11×13=1001.判定一个数能否被7或11或13整除，只需把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。

此法则可以连续使用。

最后，还有进制和位值等方面的内容。

其中，进制是指计数的基数，如十进制、二进制、八进制和十六进制等。

而位值则是指数位所代表的数值大小，如十进制数中的个位、十位、百位等。

掌握进制和位值的概念，可以更好地理解数的表示和计算方法。

总之，数论是一门重要的数学学科，涉及到整数及其性质的多个方面。

掌握数论的基本概念和规律，可以更好地理解和应用数学知识。

N=xxxxxxxx，判断N能否被17整除。

由于429=25×17+4，所以N不能被17整除。

N=xxxxxxx，判断N能否被17整除。

5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）教学目标1.了解整除的性质；2.运用整除的性质解题；3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a,c︱b,那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除．即如果b∣a,c∣b,那么c∣a．用同样的方法,我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a,那么b∣a,c∣a．性质4如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a．例如：如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除．如果b｜a,那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除．如果b｜a ,且d｜c ,那么bd｜ac；例题精讲模块一、11系列【例 1】以多位数142857为例,说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()()()()()110000114199992100118199511171=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯11000014999921001899511418275()()=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被11整除,再根据整除性质1,要判断142857能否被11整除,只需判断418275487125-+-+-=++-++()()能否被11整除,因此结论得到说明.【例 2】试说明一个4位数,原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数,那么它对应的反序数为6321,它们的和7557是11的倍数．【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】设原序数为abcd,则反序数为dcba,则abcd＋dcba100010010100010010()()a b c d d c b a=+++++++10011101101001=+++a b c d(),因为等式的右边能被11整除,所以abcd+dcba能被11整除1191101091=+++a b c d【例 3】一个4位数,把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】设这个4位数是abcd,则新的4位数是bcda.两个数的和为+=+++,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数,故正1001110011011abcd bcda a b c d确的答案为9867．【答案】9867模块二、7、11、13系列【例 4】以多位数142857314275为例,说明被7、11、13整除的规律.【考点】整除之7、11、13系列【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+=⨯-+⨯++⨯-+14210000000011428579999998573141001314275=⨯+⨯+⨯+-+-(14210000000018579999993141001)(857142275314)因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除,再根据整除性质1,要判断142857314275能否被7、11、13整除,只需判断857142275314-+-能否被7、11、13整除,因此结论得到说明.【例 5】已知道六位数20279□是13的倍数,求□中的数字是几？【考点】整除之7、11、13系列【难度】2星【题型】填空【解析】 根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除的特点知道：27920=7-□□,7□是13的倍数,□是8的时候是13倍数,所以知道方格中填1。