数的整除性讲解 一

数的整除第一章数的整除知识要点1.整除：整数a除以整数b所得的商是整数，而余数为零，那么我们就说a能被b整除或b能整除a.即只有整数参与的除法。

如：52134,91713,34172÷=÷=÷=都是整除。

判断关键：①被除数与出数都是整数；②商也为除数，且余数为0.2.整数的分类：⑴整数一般分为正整数（1,2,3…）、0、负整数（-1，-2，…，-98，…）⑵按能否被2整除，整数又可以分为奇数与偶数。

能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。

奇数、偶数有正负之分。

⑶按因数的个数，整数又可以分为素数与合数。

2,3,5,7,11,13,17,19…4,6,8,9,10,15,21,…①特征：素数只有两个因数（1和它本身）；合数至少有三个因数。

奇数素数正整数分类：合数偶数 1②判断方法：分解素因数：就是把一个合数分解成几个素数相乘的形式。

所以只有合数可以分解素因数，即能分解的事合数，不能分解的是素数。

熟练掌握短除法分解素因数的。

最好能认识100以内的素数与合数，熟记20以内的素数，理解1-9这九个数字的一切特征。

3.数与数之间的关系：⑴因数与倍数：整数a 能被整数b 整除，那么我们就说a 是b 的倍数，b 是a 的因数。

①如果b 是素数，这时我们又说b 是a 的素因数；②公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数； ③公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数； ④因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；倍数的个数是无限的，只有最小的它本身。

⑵互 素：是指两个正整数只有公因数1（或最大公因数是1），那么这两个数称为互素数。

肯定互素的三种情况：①连续的两个正整数；②1与其它正整数；③不相等的素数。

4. 最大公因数和最小公倍数的求法：①列举法；②分解素因数法；③短除法。

求90与72的最大公因数和最小公倍数法一：90=2×3×3×5 法二：72=2×2×2×3×390和72的公有因数分别是2、3、3。

数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。

它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。

下面将对数的整除进行详细总结。

一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。

可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。

二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。

2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。

3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。

4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。

5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。

6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。

三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。

如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。

2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。

四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。

2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。

3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。

4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。

例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。

2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。

数字的整除性在数学中，整除性是指一个数能够被另一个数整除，或者说能够被另一个数整除得到整数的性质。

对于任意两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b * c，那么我们可以说a能够被b整除，或者说b 能够整除a。

在本文中，我们将探讨数字的整除性以及与之相关的一些概念和性质。

1. 整除与倍数的关系在讨论整除性之前，我们先来了解一下整数的倍数概念。

如果一个整数a能够被另一个整数b整除，那么a就是b的倍数。

例如，12能够被3整除，所以12是3的倍数。

可以发现，一个数能够被另一个数整除，就意味着它同时也是另一个数的倍数。

2. 整除性的定义与性质对于给定的两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b * c，那么我们可以说a能够被b整除。

整除性具有以下性质：- 任意整数a都能够被1和它自身整除。

- 如果a能够被b整除，并且b能够被c整除，则a能够被c整除。

- 如果a能够被b整除，并且b能够被a整除，则a和b相等。

3. 整除与质数在整除性的讨论中，质数是一个非常重要的概念。

质数是指大于1的整数，除了1和它本身之外，没有其他正因数的数。

例如，2、3、5和7都是质数，而4、6和8就不是质数，因为它们都有其他的正因数。

对于任何一个正整数a，如果a不是质数，那么它一定可以被一个大于1且小于a的整数整除。

4. 最大公约数和最小公倍数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是与整除性密切相关的概念。

最大公约数是指两个或多个整数中能够同时整除它们的最大的正数。

最小公倍数是指两个或多个整数中能够同时被它们整除的最小的正数。

最大公约数和最小公倍数的计算方法可以通过质因数分解、辗转相除法等多种方式来进行。

5. 整除性与算术基本定理在整除性的研究中，算术基本定理是一个非常重要的定理。

算术基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）指出，任何一个大于1的自然数，都可以唯一地表示为质数的乘积。

数的整除性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。

例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。

例2从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

例3六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？例4要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？1、能被3整除的最小三位数是（），能被5整除的最大三位数是（）2，又能被3整除，而且还是5的倍数的最小三位数是（）3、在自然数中，（）既不是质也不是合。

既是奇数又是质数的最小的数是（），（）既是质数又是合数。

4、用三个一位质数组成能同时被3和5整除的三位数，最大的是（），最小的数是（）。

4、自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公约数是（）。

5、三个质数的最小公倍数是42，这三个质数是（）。

6、100以内同时能被3和7整除的最大奇数是（），最大偶数是（）。

1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。

数的整除性质技巧1.数的整除性质：1)若a整除b，b整除c，则a整除c。

（传递性）2)若a整除b且a整除c，则a整除b+c。

3)若a和b是正整数，且a整除b，那么a≤b。

4) 若a整除b，且c是任意整数，则a整除bc。

2.奇偶性质：1)若数a的个位数是偶数，则a整除22)若一个数是奇数，那么它的倍数一定是奇数。

3)若一个数是偶数，那么它的倍数一定是偶数。

3.除法性质：1) 若b整除a，且c是任意整数，则b整除ac。

2)若b整除a且b≠0，那么a除以b的商和余数唯一确定。

4.数位和性质：1)若数a的数位和是n，则a整除n。

2)若数a的数位和是9的倍数，那么a也是9的倍数。

3)若数a的数位和是3的倍数，那么a也是3的倍数。

5.数和运算性质：1)若a整除c且b整除c，则a+b整除c。

2)若a整除c且b整除c，则a-b整除c。

3)若a和b都整除c，则a+b也整除c。

4) 若a整除c且b整除c，则ax + by也整除c，其中x和y是任意整数。

6.乘法性质：1)若数a整除c且数b整除c，则a×b整除c。

2) 若数a整除bc且a和b互质，那么a整除c。

3)若数a整除b且数b整除a，则a和b的最大公约数等于其中的较小数。

7.倍数性质：1)若a整除b，并且b是a的倍数，那么a整除b的任意倍数。

2)一个数是另一个数的倍数时，它们的公倍数一定也是这个数的倍数。

8.整除和余数的关系：1)如果数a是数b的整数倍，那么a和b的余数相同。

2)如果数a和b除以数c的余数相同，那么a-b是c的倍数。

以上是一些常用的数的整除性质技巧，通过灵活运用这些技巧可以在解题过程中减少计算量，提高解题效率。

在实际运用中，我们可以根据题目的要求和条件选择相应的技巧，以求解问题。

同时，深入理解这些性质背后的原理，能够更好地理解数的整除关系，为数的整除性质的使用提供更大的帮助。

数字的整除性学习如何判断数字的整除性数字的整除性是数学中一个基础概念，它描述了一个数字能够被另一个数字整除的属性。

判断数字的整除性在数学运算和实际问题中都有重要的应用。

本文将介绍如何判断一个数字是否能够整除另一个数字，并给出相应的解释和例子。

一、整除性的定义和符号在开始讨论整除性之前，我们先明确什么是整除性。

如果一个整数a能够被另一个整数b整除，即a除以b的余数为0，那么我们说a能够被b整除。

更形式化地，我们可以用符号“a | b”来表示a能够整除b。

例如，如果8能够被4整除，即8 | 4，我们可以说8是4的倍数。

二、整除性的判断规则要判断一个数字是否能够被另一个数字整除，我们可以考虑以下几个规则：1. 末尾为0、2、4、6、8的数字能够被2整除：一个数字的末尾如果是0、2、4、6或8，那么它一定能够被2整除。

这是因为一个数如果能够被2整除，意味着它是一个偶数。

而所有末尾为0、2、4、6或8的数字都是偶数。

2. 末尾为0或5的数字能够被5整除：与能够被2整除的规则相似，一个数字的末尾如果是0或5，那么它一定能够被5整除。

这是因为一个数如果能够被5整除，意味着它的个位数字是0或5。

而所有末尾为0或5的数字都符合这个条件。

3. 数字的各位数字之和能够被3整除：一个数字如果各位数字之和能够被3整除，那么它一定能够被3整除。

例如，对于数字123，1+2+3=6，6能够被3整除，所以123能够被3整除。

4. 数字的末两位能够被4整除：一个数字如果它的末两位能够被4整除，那么它一定能够被4整除。

例如，对于数字248，它的末两位48能够被4整除，所以248能够被4整除。

5. 数字的末三位能够被8整除：一个数字如果它的末三位能够被8整除，那么它一定能够被8整除。

例如，对于数字896，它的末三位896能够被8整除，所以896能够被8整除。

6. 数字的末位为0的话，首位数字能否被2整除，则整个数能否被2整除；首位数字能否被5整除，则整个数能否被5整除。

第4讲数的整除性〔一〕我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：〔1〕一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

〔2〕一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

〔3〕一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

〔4〕一个数的末两位数如果能被4〔或25〕整除，那么这个数就能被4〔或25〕整除。

〔5〕一个数的末三位数如果能被8〔或125〕整除，那么这个数就能被8〔或125〕整除。

〔6〕一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

其中〔1〕〔2〕〔3〕是三年级学过的内容，〔4〕〔5〕〔6〕是本讲要学习的内容。

因为100能被4〔或25〕整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4〔或25〕整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4〔或25〕整除，这个数就能被4〔或25〕整除。

这就证明了〔4〕。

类似地可以证明〔5〕。

〔6〕的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

数字的整除性数字的整除性是数学中一个非常基础而重要的概念。

整除性是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。

在这篇文章中，我们将探讨数字的整除性及其相关性质。

了解整除性的概念和性质对于数学学习和解决实际问题都具有重要意义。

1. 整除性的定义整除性是数学中的基本概念之一。

对于两个整数a和b，如果存在一个整数c使得a = b * c，我们就称a能够被b整除，也可以表达为b是a的因数，而a是b的倍数。

例如，4能够被2整除，因为4 = 2 * 2。

2. 整除性的性质整除性具有一些重要的性质，这些性质为我们解决实际问题提供了方便。

2.1 传递性：如果a能够被b整除，而b能够被c整除，则a能够被c整除。

例如，如果4能够被2整除，2能够被1整除，那么4也能够被1整除。

2.2 唯一性：如果a能够被b整除，而a也能够被c整除，且b和c互质（最大公约数为1），则b能够被c整除。

例如，如果4能够被2整除，4也能够被3整除，而2和3互质，那么2能够被3整除。

2.3 整除与因数的关系：如果a能够被b整除，则b一定是a的因数。

例如，如果6能够被2整除，那么2是6的因数。

3. 整除的运用整除性在数学中广泛运用，并可以帮助我们解决实际问题。

3.1 判断整除性：通过判断一个数是否能够被另一个数整除，我们可以得出一些结论。

例如，如果一个数字的个位数为0、2、4、6、8中的任意一个，那么这个数一定能够被2整除。

3.2 最大公约数：整除性可以用来求解两个或多个数的最大公约数。

最大公约数是指两个或多个数中同时整除这些数的最大正整数。

例如，求解12和18的最大公约数，可以通过12能够被6整除，18能够被6整除，所以6是它们的最大公约数。

3.3 最小公倍数：整除性也可以用来求解两个或多个数的最小公倍数。

最小公倍数是指能够同时整除这些数的最小正整数。

例如，求解4和6的最小公倍数，可以通过4能够被2整除，6能够被2整除，所以2是它们的最小公倍数。

整除数的性质和规律一、整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。

二、整除规律⑴、能被1整除的数：任何数都能被1整除。

⑵、能被2整除的数：末位是0,2,4,6或8的数,都能被2整除。

⑶、能被5整除的数一个整数的末位是0或5,则这个整数能被5整除个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除，而且还能被10整除。

⑷、能被3或9整除的数：一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。

例如：判断3576，2549能不能被3整除3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）∴3576能被3整除。

2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）∴2549不能被3整除。

检验：2549÷3=849 (2)又如：判4212、5282能不能被9整除4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）∴4212能被9整除。

5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）∴5282不能被9整除。

用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。

如：判断7485能不能被9整除7+4+8+5=24→2+4=6各位数字继续相加从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。

最后得出的6，就是7485除以9的余数。

即：7485÷9=831 (6)能被9整除的数，一定能被3整除。

能被3整除的数，却不一定能被9整除。

⑸、能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。

①.首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。