矩阵理论复习提纲
要点：矩阵A的逆矩阵A−1和高次幂A m
1基础一：对矩阵的化简（Jordan标准形）•计算Jordan标准形（复矩阵）
–酉三角化定理（酉相似于上三角矩阵）：U∗AU=B（Schur分解）
–分块Schur三角化定理（按不同特征根分块）
–Jordan标准形（按线性无关的特征向量分块）
–降幂办法：特征多项式、最小多项式
–幂零矩阵Jordan标准形：幂零指数e=max{n i:1≤i≤m}、Jordan块个数m=n−r(A)、k阶Jordan块个数l k由A k的零度决定
–一般矩阵Jordan标准形：回到幂零矩阵Jordan标准形
•估计特征值（盖尔圆盘）
2基础二：对矩阵的分解
•谱分解（正规矩阵AA∗=A∗A、单纯矩阵）
•三角分解（可逆矩阵且所有顺序主子式均非0）
•QR分解（可逆或满秩）
•奇异值分解（所有矩阵）
3应用一：矩阵函数与线性常微分方程组
•矩阵范数（正定性、齐次性、三角不等式、次乘性）
•矩阵幂收敛：Neumann引理
•矩阵幂级数：Lagrange-Sylvester定理
•矩阵函数的计算：借助Lagrange-Sylvester定理或最小多项式
•线性常微分方程组（包括可控性、可测性问题）
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4应用二：广义逆矩阵
如何计算广义逆矩阵（奇异值分解、满秩分解、Hermite矩阵的广义逆）5矩阵与线性变换
•空间和、补子空间
•线性变换的矩阵表示
•正交补子空间
•等距变换（或正交变换、酉变换）
•正交投影变换（幂等、自伴的）
6基础概念
•满秩分解
•相似对角化
•线性空间、内积空间
•酉矩阵、Hermite矩阵
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