第9节弧长及扇形的面积9弧长及扇形的面积1.经历探索弧长公式和扇形面积公式的过程.2.了解弧长公式和扇形面积公式,并运用公式解决问题.1.经历探索弧长公式和扇形面积公式的过程,培养学生的探索能力.2.了解弧长和扇形面积公式,并用公式解决问题,训练学生的数学运用能力.1.经历计算过程,让学生体验数学活动充满探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.通过解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们学习的积极性.【重点】经历探索弧长及扇形面积公式的过程;了解弧长及扇形的面积公式;会利用公式解决问题.【难点】利用扇形面积公式解决问题.【教师准备】多媒体课件和圆规.【学生准备】1.复习圆的周长和面积公式.2.圆规、直尺.导入一:同学们,你参加过田径运动会吗?为什么在田径200米比赛中,每位运动员的起跑位置不相同呢?学生分析:因为每个运动员所跑的弯道的路线是一条弧,而他们各自的半径不相等,所以他们的起跑位置不相同.【问题】那么怎么才能求出弧的长度呢?[设计意图]从学生熟悉的200米跑运动员的起跑位置引入本课,让学生体会生活中处处有数学,数学来源于生活这一事实.导入二:如图所示,在一块五边形绿化园地的五个角都建有半径为2m的圆形喷水池,你能求出这五个喷水池占去的绿化园地的面积是多少吗?教师引导学生思考下面的问题并回答:1.五个阴影部分都是什么图形?2.五个图形的圆心角度数的和是多少?学生分析:五个阴影部分都是扇形,五个扇形的圆心角度数的和是540°.【问题】扇形的面积和圆的面积有什么关系?[设计意图]通过对扇形面积的探索,让学生初步感知扇形与圆的关系,为下面对其面积公式的探索打下了良好的基础.[过渡语]我们已经掌握了圆的周长和面积的计算方法,那么圆的一部分——扇形的周长和面积又该如何计算呢?课件出示:如图所示,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?(2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?(3)转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?教师引导学生思考下面的问题,并回答:1.转动轮转一周,传送带上的物品应被传送的实际距离是的周长.2.转动轮转1°,可以表示成360°的圆心角的,所以,传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的.3.转动轮转n°,可以表示成360°的圆心角的,所以,传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的.【师生活动】学生独立思考,然后小组相互交流,教师巡视并参与到学生的讨论中去,代表发言师生共同订正.解:(1)传送带上的物品A被传送的距离是:2π×10=20π(cm).(2)传送带上的物品A被传送的距离是:=(cm).(3)传送带上的物品A被传送的距离是:n×=(cm).【问题】根据上面的计算,你能探讨出在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流.【学生活动】学生类比刚才的探索,积极思考后,与同伴交流,统一答案.学生分析:360°的圆心角对应圆周长为2πR,那么1°的圆心角对应的弧长为=,n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍,即n×=.【教师点评】总结弧长的计算公式.在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为:l=.【教师强调】弧长的计算公式l=中的n表示的是1°的圆心角的倍数,所以没有单位.[设计意图]承接创设的问题情境,让学生回顾圆的有关知识,并利用圆的性质探索推导弧长公式,能用得出的结论进行说理,实质上是圆的有关性质的运用.并掌握用公式解决实际问题的一般思制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道的展直长度,即的长(结果精确到0.1mm).〔解析〕管道的展直长度即弧AB的长,已知R=40mm,n=110,根据弧长公式l=可求得的长解:∵R=40mm,n=110.∴的长=πR=×40π≈76.8(mm).因此,管道的展直长度约为76.8mm.[设计意图]让学生利用公式进行弧长的有关计算,明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切,熟练公式的应用.二、扇形的面积公式课件出示:在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.(1)这只狗的最大活动区域有多大?(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大?【教师活动】教师出示示意图供学生分析.【学生活动】学生首先独立思考两个最大区域的区别,然后与同伴交流,解:(1)这只狗的最大活动区域是圆,它的面积为:32π=9π(m2).(2)狗的活动区域是扇形(如图(2)所示),扇形是圆的一部分,360°的圆心角对应的圆面积是9π,1°的圆心角对应圆面积的,即×9π=,n°的圆心角对应的圆面积为n×=.【教师点评】如果圆的半径为R,那么圆的面积为πR2,1°的圆心角对应的扇形面积为,n°的圆心角对应的扇形面积为n·=.扇形的面积公式:S=πR2.【学生活动】学生观察后,尝试推导l和S之间的关系.=πR2,解:∵l=πR,S扇形∴πR2=R·πR.∴S=lR.扇形=lR.【师生总结】扇形的面积公式:S扇形【观察发现】你发现扇形面积公式S=lR类似于哪种图形的计算公式?扇形学生分析:与三角形的面积公式类似.=lR.【教师提示】我们可以类比三角形的面积公式记忆扇形的面积公式S扇形【教师点评】扇形面积的计算公式:1.S=πR2;=lR.2.S扇形[设计意图]引导学生自己根据已有的知识推导公式,由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍有些困难,因此引导他们采用类比的方法进行探究,这样可以让部分学生恢复解题的自信.[知识拓展]扇形面积公式的选择:=πR2.1.若已知圆心角和半径,选择S扇形=lR.2.若知道弧长和半径,选择S扇形扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120°,求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2).〔解析〕分别利用弧长公式l=πR和扇形的面积公式S=πR2,把已知数据代入即可求的长和扇形AOB的面积.等学生完成后,教师出示解题过程,规范他们的步骤.解:的长=π×12=8π≈25.1(cm).S=π×122≈150.7(cm2).扇形因此,的长约为25.1cm,扇形AOB的面积约为150.7cm2.[设计意图]通过例题的解答,使学生熟练运用弧长公式和扇形面积公式,提高学生解决问题的综合能力.1.弧长的计算公式及运用;2.扇形的面积公式及运用;3.弧长l及扇形的面积S之间的关系公式及运用.1.(2014·云南中考)已知扇形的圆心角为45°,半径长为12,则该扇形的弧长为()A.B.2π C.3π D.12π解析:根据弧长公式可得l==3π.故选C.2.如图所示,半径为1的圆中,圆心角为120°的扇形面积为()A.B. C.π D.π解析:由扇形面积公式得S==.故选C.3.(呼伦贝尔中考)150°的圆心角所对的弧长是5πcm,则此弧所在圆的半径是cm.解析:设圆的半径为x cm,由题意得=5π,解得x=6.故填6.4.如图所示,一个圆心角为90°的扇形,半径OA=2,那么图中阴影部分的面积为(结果保留π).解析:S扇形===π,S△AOB=×2×2=2,则S阴影=S扇形-S△AOB=π-2.故填π-2.5.如图(1)所示,AB是☉O的直径,且AB=4,AC是弦,∠CAB=40°,求劣弧BC和弦AC的长.(弧长计算结果保留π,弦长精确到0.01)解:连接OC,BC,如图(2)所示,∵∠CAB=40°,∴∠COB=80°,∴劣弧BC的长==,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ACB中,cos40°==,∴AC=4cos40°≈4×0.766≈3.06.9弧长及扇形的面积1.弧长的计算公式:l=πR.=πR2.2.扇形的面积公式:S扇形=lR.3.弧长l及扇形的面积S之间的关系:S扇形一、教材作业【必做题】1.教材第101页随堂练习第1,2题.2.教材第102页习题3.11第1,2题.【选做题】教材第102页习题3.11第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.若扇形的半径为6,圆心角为120°,则此扇形的弧长是()A.3πB.4πC.5πD.6π2.(2014·莱芜中考)如图所示,AB为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45°,点A旋转到A'的位置,则图中阴影部分的面积为()A.πB.2πC.D.4π3.(2014·自贡中考)一个扇形的半径为8cm,弧长为πcm,则扇形的圆心角为.4.(2015·重庆中考)如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=4.以A为圆心,AC长为半径作弧,交AB于点D,则图中阴影部分的面积是.(结果保留π)【能力提升】5.(2014·南充中考)如图所示,矩形ABCD中,AB=5,AD=12,将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转,则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是()A.πB.13πC.25πD.256.(2014·重庆中考)如图所示,△OAB中,OA=OB=4,∠A=30°,AB与☉O相切于点C,则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)7.如图所示,☉O的半径等于1,弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积.(结果保留π)8.如图所示,已知图中☉O的半径为1,∠AOB=120°,求阴影部分的面积.9.如图所示,线段AB与☉O相切于点C,连接OA,OB,OB交☉O于点D,已知OA=OB=6,AB=6.(1)求☉O的半径;(2)求图中阴影部分的面积.【拓展探究】10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=2DA,以点A为圆心,AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线于点F,若DA=2.(1)求线段EC的长;(2)求图中阴影部分的面积.【答案与解析】1.B (解析:∵扇形的半径为6,圆心角为120°,∴此扇形的弧长==4π.故选B .)2.B (解析:∵S 阴影=S 扇形ABA'+S 半圆-S 半圆=S 扇形ABA'==2π.故选B .)3.120°(解析:设扇形圆心角为n °,根据弧长公式可得=π,解得n =120.)4.8-2π(解析:∵在等腰直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,∴∠A =∠B =45°,∵AB =4,∴AC =BC =AB ×sin 45°=4,∴S △ACB =×AC ×BC =×4×4=8,S 扇形ACD ==2π,∴图中阴影部分的面积是8-2π.)5.A (解析:点B 所经过的路径如图所示,连接BD ,B'D ,∵AB =5,AD =12,∴BD ==13,∴的长==,∵的长==6π,∴点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是+6π=.故选A .)6.4-(解析:连接OC ,∵AB 与圆O 相切,∴OC ⊥AB ,∵OA =OB ,∴∠AOC =∠BOC ,∠A =∠B =30°,在Rt△AOC 中,∠A =30°,OA =4,∴OC =OA =2,∠AOC =60°,∴∠AOB =120°,AC ==2,∴AB =2AC =4,则S 阴影=S △AOB -S 扇形=×4×2-=4-.)7.解:∵弦AB 和半径OC 互相平分,∴OC ⊥AB ,OM =MC =OC =OA.在Rt△OAM 中,sin A ==,∴∠A =30°.又∵OA =OB ,∴∠B =∠A =30°,∴∠AOB =120°.∴S 扇形==.8.解:如图所示,过点O 作OC ⊥AB 于点C ,∵∠AOB =120°,OA =OB ,∴∠OAC =30°,在Rt△OAC 中,OC =OA =,AC =OC =,∴AB =2AC =,则S △AOB =AB ×OC =,S 扇形AOB ==,故S 阴影=S 扇形AOB -S △AOB =-.9.解:(1)连接OC ,则OC ⊥AB.∵OA =OB ,∴AC =BC =AB =×6=3.在Rt△AOC 中,OC ===3,∴☉O 的半径为3.(2)∵OC =OA ,∴∠A =30°,∠AOC =∠COD =60°.∴扇形OCD 的面积为S 扇形OCD ==π,∴阴影部分的面积为S 阴影=S Rt△OBC -S 扇形OCD =OC ·CB -π=-π.10.解:(1)∵在矩形ABCD 中,AB =2DA ,DA =2,∴AB =AE =4,∴DE ==2,∴EC =CD -DE =4-2.(2)∵sin∠DEA ==,∴∠DEA =30°,∴∠EAB =30°,∴图中阴影部分的面积为:S 扇形FAB -S △DAE -S 扇形EAB =-×2×2-=-2.本节课在教学中学生的“探究活动”贯穿整节课,探究过程教师引导学生自己根据已有的知识一步一步推导公式,这样既能使学生有成就感,又能培养他们的探索能力,还能使所学知识掌握得比较牢固,这样运用公式进行计算来解决问题就比较容易了.对于难度稍大的问题采取了小组合作方式,小组合作学习的实践活动让学生成了学习的主人,有效地提高了主动探索、解决问题的能力.本节课虽然应用直观形象的手段,让学生经历了知识的生成过程,但因学生水平的差异,在应用弧长和扇形面积公式时有部分人混淆方法.再教时,不再因为由于时间紧张而忽视对学生的积极表现给予评价,要多鼓励表扬,以提高学生学习的兴趣.随堂练习(教材第101页)1.解:如图所示,连接OA ,OB ,∵OD =12cm ,CD =6cm ,∴OC =OD -CD =12-6=6(cm ),∴cos∠AOC ===,∴∠AOC =60°,∴AC =OA ·sin∠AOC =12×=6,AB =2AC =12.∴∠AOB =2∠AOC =2×60°=120°,∴S 阴影=S 扇形OAB -S△OAB=-×6×12=(48π-36)cm 2.2.解:(1)设内圈半径为r m .由题意得200=2πr ,解得r ≈31.8.(2)设外圈半径为R.由题意得R =r +6=37.8.则一个外圈弯道的长=×2πR ≈118.7(m ),所以一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差118.7-100=18.7(m ).习题3.11(教材第102页)1.解:由弧长公式l =,可得4π=,解得R =7.2(cm ).2.解:设点P 旋转了n °,根据题意得10=,解得n ≈115.∴点P 大约旋转了115°.3.解:l ===2.5π≈7.85(cm ).故商标纸的长约为7.85cm .4.解:∵=,解得θ≈137.5°,∴S 纸=S 大扇形-S 小扇形≈(202-52)≈449.7(cm 2).故至少要用449.7×2=899.4cm 2的纸.复习题(教材第103页)1.解:图(4)既是轴对称图形又是中心对称图形.2.解:过O 作OC ⊥AB 于C ,则AC =BC =AB.∵∠AOB =120°,∴∠A =∠B =30°,∴OC =OA =×20=10(cm ).在Rt △AOC 中,AC ===10(cm ),∴AB =20cm .∴S △AOB =AB ·OC =×20×10=100(cm 2).3.解:如图所示,∵AB =0.72m ,∴BD =AB =0.36m .设圆的半径为R ,则OD =OC -CD =(R -0.25)m .在Rt△OBD 中,∵OD 2+DB 2=BO 2,∴(R -0.25)2+0.362=R 2,解得R ≈0.384.4.解:CD =CE.连接OC ,∵=,∴∠AOC =∠BOC.∵OA =OB ,D ,E 分别是OA ,OB 的中点,∴OD =OE.又∵OC =OC ,∴△OCD ≌△OCE ,∴CD =CE.5.解:OD∥AC.∵∠DAB =30°,∴∠DOB =60°.又∵∠COD =60°,∴∠AOC =60°.∵OA =OC ,∴∠ACO =60°.∴∠ACO =∠COD ,∴OD∥AC.6.解:∠ABE =∠ADE ,∠BAD =∠BED ,∠ACD =∠ABD ,∠CDA =∠CEA 等.7.解:∵=,∴+=+,即==180°,∴所对的圆周角等于90°.8.解:∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB =90°.又∵∠A +∠B =90°,∠B +∠BCD =90°,∴∠A =∠BCD ,∴△ACD ∽△CBD ,∴=,即=,解得AD =4cm 或AD =9cm .∵AD <BD ,∴AD =4cm .9.提示:由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点,可作△ABC 的任意两边的垂直平分线,它们的交点即为△ABC 的外接圆的圆心(设圆心为O ).以O 为圆心,OB 长为半径作圆,即可得出△ABC 的外接圆.图略.10.提示:分别作∠A ,∠B 的平分线交于O 点,以O 为圆心,O 到AB 的距离为半径作☉O ,则☉O 即为△ABC 的内切圆.图略.11.解:连接OC ,∵AB 切☉O 于C ,∴OC ⊥AB.∵OA =OB ,∴AC =BC =AB =5cm .∵☉O 的直径为8cm ,∴OC =4cm ,∴OA ===(cm ).12.解:从左往右依次填:第一行:120°2163第二行:90°90°284第三行:120°60°2212613.解:如图所示,过点O 作OH ⊥CD 交CD 于点H ,连接OC ,OD ,∴CH =CD ,∵☉O 的周长等于6πcm ,∴☉O 的半径为3cm ,∵正六边形的边长等于半径,∴△OCD 是等边三角形,∴CD =OC =3cm ,∴CH =cm ,∴OH ==(cm ),∴S 正六边形ABCDEF =6S △COD =6××3×=(cm 2).14.解:如图所示,连接OB ,∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠AOB ==60°,∴∠ADB =∠AOB =×60°=30°.15.解:△ABC 为等边三角形.∵OD ⊥BC ,OE ⊥AC ,OD =OE ,∴AC =BC.又∵=,∴AB =BC ,∴AB =BC =AC ,即△ABC 为等边三角形.16.解:1×÷2+×3=.17.解:弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积,利用垂径定理可知扇形所对的圆心角是120度,所以-×4×2=cm 2.18.解:(1)点P 在☉O 外.(2)点P 可能在☉O 外,也可能在☉O 内,还可能在☉O 上.19.提示:运动一圈,☉P 与△OBC 的边相切6次.☉P 与△OBC 的边相切时,点P 的位置分别是PO =2(点P 在OB 上或OC 上),PB =2(点P 在BC 上或OB 上),PC =2(点P 在BC 上或OC 上).20.提示:(1)分别以A ,C 为圆心,以AP 为半径作弧,两弧相交于点O ,再以点O 为圆心,以OA 为半径作弧.(2).21.解:(1)当直线l 与直线AB 不垂直时,只能作一个圆.(2)当直线l 与直线AB 垂直,但不经过AB 中点时,不能作圆.(3)当直线l 是线段AB 的垂直平分线时,可以作无数个圆.22.解:设AB ,BC ,AC 分别与☉O 切于点D ,E ,F ,连接OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OF.∵☉O 的半径是r ,∴OD =OE =OF =r ,∵☉O 是△ACB 的内切圆,∴OE ⊥BC ,OF ⊥AC ,OD ⊥AB ,∵△ABC 的周长为l ,∴AC +BC +AB =l ,∴S △ABC =S △ACO +S △BCO +S △ABO =×AC ×r +×BC ×r +×AB ×r =(AC +BC +AB )×r =lr ,即△ABC 的面积是lr.23.答案不唯一.如测量、将纸片对折等.24.解:连接BD 交AC 于O ,则OA =OC =AC =1m ,∴S ☉O =πr 2=πm 2.∵AD =1m ,AC =2m ,∴∠ACD =30°,∠BOC =∠AOD =60°,CD ===(m ),∴S 矩形ABCD =AD ·CD =(m 2),S 弓形BC =S 扇形BOC -S △OBC =-×=-(m 2),∴S 打掉=S ☉O -S 矩形ABCD -S 弓形BC=π--=-≈1.3(m 2).25.解:∵AB =30cm ,BD =20cm ,∴AD =10cm ,∴S 纸=2(S 大扇形-S 小扇形)=2×=(302-102)≈1674.7(cm 2).26.解:S 扇形=≈17.1(m 2).27.解:连接OA',OB',∵AA',BB'是☉O 的切线,∴∠AA'O =∠BB'O =90°.∵AB =40km ,O 是AB 的中点,∴AO =OB =AB =20km .又∵OA'=OB'=10km ,∴∠A =∠B =30°,∠AOA'=∠BOB'=60°,∴AA'=BB'===10(km ).易知∠A'OB'=60°,∴=×2π×10=π(km ).∴公路长=20+π≈45.1(km ).28.解:过点O作OC⊥AB于点C,则AC=BC=AB=×30=15(m).∵OA=20m,∴OC===5(m),∴S△=AB·OC=×30×5=75(m2).在Rt△AOC中,sin∠AOC====0.75.∴∠AOC≈48°35',∴∠AOB≈AOB≈=π(m2).∴S弓形(阴影)≈π-75≈140(m2).∴大约有140×3=420名观众在看马戏. 97°,∴S扇形AOB31.提示:圆的面积最大.理由如下:S≈173.2m2;S正方形=225m2;S正六边形≈259.8m2;S圆≈286.5m2.正三角形32.解:连接AD,BC,∵=,∴AD=BC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC==,即AD=.33.解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=∠ADB,∴∠ABC=∠ADB.又∵∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB,∴=,∴AB2=AD·AE=6×2=12,∴AB=2.34.解:如图所示,过点A作AB⊥OM于点B,∵∠MON=53°,∴∠AOM=90°-53°=37°.在Rt△ABO中,∵sin∠AOB=,∴AB=AO·sin∠AOB=200×sin37°≈120(m).∴学校在该货车噪声污染范围内.BC==50(m),∴CD=100m.∴受噪音污染的时间为100÷5=20(秒).35.解:会穿过森林公园.因为=tan45°=1,所以BH=AH.又因为=tan30°=,所以HC=AH.所以BC=BH+HC=AH+AH=(+1)AH.又因为BC=500m,所以(+1)AH=500.所以AH=250(-1)m.而250(-1)<300,故此公路会穿过森林公园.1.本节课的难点是弧长和扇形面积的公式的推导,对于弧长公式的推导学生可以运用“由特殊到一般”的数学思想进行探究.2.运用类比弧长公式的探究方法探究扇形的面积公式;类比三角形面积公式记忆弧长l及扇形的面积S之间的关系:S=lR.扇形3.两个公式的应用是本节课的重点,要注意两个公式之间的区别与联系,达到熟练运用的程度.(2014·滨州中考)如图所示,点D在☉O的直径AB的延长线上,点C在☉O上,AC=CD,∠ACD=120°.(1)求证CD是☉O的切线;(2)若☉O的半径为2,求图中阴影部分的面积.〔解析〕(1)连接OC,只需证明∠OCD=90°.根据等腰三角形的性质即可证明;(2)阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积.证明:(1)如图所示,连接OC.∵AC=CD,∠ACD=120°,∴∠A=∠D=30°.∵OA=OC,∴∠2=∠A=30°.∴∠OCD=90°.∴CD是☉O的切线.解:(2)由(1)知∠A=30°,∴∠1=2∠A=60°.==.∴S扇形BOC在Rt△OCD中,∵=tan60°,∴CD=2.=OC×CD=×2×2=2.∴SRt△OCD∴图中阴影部分的面积为2-.[解题策略]此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积的计算.第10节本章复习教案。
