2017-2018学年北师大版九年级数学课件：3.9弧长及扇形的面积(共32张PPT)

第三个量．
2．弧、弧长、弧的度数间的关系：
知1－讲
弧相等表示弧长、弧的度数都相等；
度数相等的弧，弧长不一定相等；
弧长相等的弧，弧的度数不一定相等．
3．易错警示：在弧长公式l＝
n R
180
中，n表示1°的n
倍，180表示1°的180倍，n，180不带单位．
知1－讲
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算 “展直长
12

25.1 ( cm).
S扇形=
120π122 150.7 (cm2 ).
360
因此， »AB 的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约
为150.7 cm2.
知2－讲
例4 〈广东〉如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁 丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁 丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为( D ) A．6 B．7 C．8 D．9
知1－练
1 (2016·包头)120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在 圆的半径是( )
A．3
B．4
C．9
D．18
2 (2016·成都)AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA
＝50°，AB＝4，则 B»C 的长为( )
A. 10 π B. 10 π C. 5 π D. 5 π
3
9
9
18
知1－练
上，设∠BDF＝α(0°＜α＜90°)．
当α由小到大变化时，图中阴影部分 的面积( )
A．由小变大
B．由大变小
C．不变
D．先由小变大，后由大变小
知2－练
3 (2016·枣庄)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∠CDB＝30°，CD＝ 2 3，则阴影部分的面积为( )

8．(2015·云南)若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半 径为___3__．2
9．若一个扇形的弧长为12π，它的半径为18，这个扇形的面积 是( A )
A．108π B．109π C．120π D．130π
10．如图，一根 5 m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另
一端拴着一只小羊 A(羊只能在草地上活动)，那么小羊 A 在草地上的
ABC＝
360
＝
38π
18．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 DE 垂直平分半径 OA，点 C 为 垂足，弦 DF 与半径 OB 相交于点 P，连接 EF，EO，若 DE＝2 3， ∠DPC＝45°.
(1)求⊙O 的半径； (2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵直径 AB⊥DE，∴CE＝12DE＝ 3，∵DE 平分 AO，∴CO＝ 12AO＝12OE，又∵∠OCE＝90°，∴∠CEO＝30°，在 Rt△COE 中， OE＝cosC3E0°＝ 33＝2，∴⊙O 的半径为 2
16．如图，大圆 O1 的半径 O1A 是小圆 O2 的直径，⊙O1 的另一半 径 O1C 交⊙O2 于点 B，求证：A︵B与A︵C的长相等．
解：设小圆半径为 r，则大圆半径为 2r，∠AO1C＝n°，连接
nπ×2r nπr
2nπ×r
O2B，则有∠AO2B＝2n°，lAC＝ 180 ＝ 90 ，lAB＝ 180 ＝
解AOB＝60°，∵BC∥AO，∴∠CBO＝∠AOB＝60 °，∵OC＝OB，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC＝60°，lBC
60π×6 ＝ 180 ＝2π
知识点二：扇形的面积 7．(2015·湖州)如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆周上的 两点，点O是圆心，半径OA＝2，∠COD＝120°，则图中阴影部 分的面积等于__23_π___．

狗活动的区域是一个
什么图形呢？如何求
它的面积？
n°
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形. 如图，绿色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
B
弧 圆心角 O
A
B
扇形 O
A
探究
问题1 半径为r的圆,面积是多少？
r
S πr2
O
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?
1
360
___4___.
R
180°
O
R 90°
O
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 45 ，因此它所对的弧长是圆周长的
1
360
___8____.
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 n ，因此它所对的弧长是圆周长的
n
360
___36_0___.
R 45°
O
n° R
O
新知学习
一 与弧长相关的计算
探究 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
A. 5 m
3
C.10 m
3
B. 8 m
3
D.
5
3
2
m
2.（2023山东泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，
DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交
CD于点F，则阴影部分的面积为( B ) A. 6π－9 3
B. 12π－9 3 C. 6π－ 9 3
∵CF∥AB， ∴∠FCB＝∠ABC，∠ABF＋∠F＝180°， ∴∠FCB＝∠ACB，
∵CF＝CD，BC＝BC，
∴△BCF≌△BCD. ∴∠F＝∠BDC＝90°， 又∵∠ABF＋∠F＝180°， ∴∠ABF＝90°，且AB是⊙O的直径， ∴BF是⊙O的切线；

������ ������
������=������π - ������.
������ ������
∴AF= ������,OF=������.∴AB= ������.
������
������
∴S
阴影=������扇形
������������������
-������△
������������������
=������������������×π
������������������
×12-������×������×
第三章 圆
3.9 弧长及扇形的面积
1.通过探索掌握弧长的计算公式和扇形面积的计算公式. 2.熟记弧长的计算公式和扇形面积的计算公式,并运用公式
解决问题.
某中学的铅球场地如图所示,已知在扇形AOB的区域内 OC=OD=3 m,OE=OF=4 m,∠AOB=40°.如果李强的铅球成绩是 9~10 m,你能画出李强抛出去的铅球落地位置的所有可能区 域吗?这个图形的面积是多少?
������������������
������
2.如图1,阴影部分叫做“弓形”,弓形的面积=_扇__形__的__面__积_ _三_角__形__的__面__积__.其中应用了转化思想,把不规则图形的面积转 化成规则图形面积的和差求解.如题: 如图2,CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AE⊥BC,垂足为 E,AO=1. (1)求∠C的大小; (2)求阴影部分的面积.
1.回答“问题导引”中提出的问题.
在射线 EB 上截取 EG=5DE,EM=6DE,在射线 FA 上截取 FH=5CF,
FN=6CF,则扇环 GMNH 是铅球可能的落地区域.S 扇环 GMNH=������������������������������π ×

AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，
则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （ ）C
A1
A. 7 7 38
C.
3 B． 4 7 3
38 D. 4 3
3
H
A
O
C
O1 H1
B
C1
3.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2cm，
料 ， 试 计 算 如 图 所 示 管 道 的 展 直 长 度 l.( 单 位 ： mm ， 精 确 到
1mm)
A
B
解：由弧长公式，
可得弧AB的长
C
100 °
O
D
l 100900 500 1570 (mm),
180
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
因为这些弯道的“展直长度”是一样的.
乙 甲
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
讲授新课
一 弧长公式的推导
思考:
(1)半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR (2)1°的圆心角所对弧长是多少？ 2 R R
360 180
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆
心角所对的弧长的多少倍？ n倍
(4) n°的圆心角所对弧长l是多少？
A
B
O
O
l n R
180
S扇形
=
n R2
360
S扇形

n R
180

R 2

1 2

n R
180

R

1 2
lR
S扇形

1 lR 2

2. 一个扇形的半径为4cm，弧长是2πcm，则该扇
形的面积为 4π
.
3. 已知扇形的弧长2π，面积为3π，则扇形的圆心 角是 （ ）B
A. 900 B.1200
C.1350
Hale Waihona Puke D.1600P131 1. 2.
小结
• 知识点：弧长、扇形面积的计算公式 • 能力：弧长、扇形面积的计算公式的记忆法
弧长L nR
110o
B
R=40mm
解： R 40mm，n 110o
AB l nR 110 40 76.（8 mm）
180 180 因此，所求管道展直长度为76.8mm
在一块空旷的草地上有一根柱
子，柱子上栓着一条长3m的绳
no
子，绳子的一端栓着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有
求弧AB的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面 积(结果精确到0.1cm2)
解：AB l 120 12 25.1 cm
180
S扇形

120
360
122
150.7
cm2
因此，AB的长约为25.1 cm，
扇形AOB的面积约为150.7 cm2.
1. 一个扇形的圆心角为90o，半径为2， 扇形面积= π .
多大？
9πm2
（2）如果这只狗只能绕柱子转 过no的角，那么它的最大活动
区域有多大？
在(2)问里狗活动的区域是一个什么图形呢?
• 一条弧和经过这条弧 的端点的两条半径所 组成的图形叫做扇形
• 扇形的周长是 2R+L
L
no
R
R
圆的面积是πR2,
R 2

第三章 圆
3.9 弧长及扇形的面积
情景导入 例题讲解 课堂总结
获取新知 随堂演练
情景导入 问题 你注意到了吗？在运动会的4×100米比赛中， 各选手的起跑线不再同一处，你知道这是为什么吗？
因为这些弯道的“展直长度”是不一样的.
获取新知 知识点一：弧长公式
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm. (1)转动轮转一周，传送带上的物品A
解：R=40mm， n=110︵， ∴ AB的长=
≈76.8 （mm） 因此，管道的展直长度约为76.8mm.
获取新知 知识点二：扇形面积公式
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着 一 条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗. （1）这只狗的最大活动区域有多大？ （2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角， 那么它的最大活动区域有多大？
3
5.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径
都是2cm，则图中阴影部分的面积是 12cm2 .
C B
A
D
6.如图，有一直径是20cm的圆形纸片，现从中剪出一个 圆心角是90°的扇形ABC，求被剪掉部分的面积．
解：连接BC，∵∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴BC=20cm，
∵AB=AC，
解：A⌒B 的长= 120 12 25.1 ( cm).
180
S扇形=
120 360
122
150.7
(cm2
).
因此，AB 的长约为2堂演练
1. 在在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是( B )
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
2.如图，在▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD

n倍
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
n R
360
2
要点归纳
扇形面积公式
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形
面积的计算公式为
n R 2
S扇形 =
360
注意 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，
它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推
导过程记忆）.
类比学习
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
的帽子底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积
是（ ）
A．480πcm2
B．60πcm2
C．240πcm2
D．120πcm2
【答案】C
【分析】从图中可以看出小帽的底面圆周长就扇
形的弧长，根据此求出扇形的面积．
【详解】根据圆的周长公式得：圆的底面周长
=20π．
∵圆的底面周长即是扇形的弧长，
×
∴扇形面积S=
= ，

故选：C．
3．小明将直径为6cm的半圆绕点A逆时针旋转60°
设计了如图所示的图案，那么图中阴影部分的面积
是（
）
A．4.5πcm2
B．6πcm2
C．9πcm2
D．18πcm2
【答案】B
【详解】解：∵S阴影=S半圆AB`+S扇形ABB`-S半圆AB，
而根据旋转的性质可知S半圆AB`=S半圆AB，
作半圆，分别交BC、AC于点D、E．
(1)若∠BAC=50°，求弧BE的长；
(2)连结DE，求证：BD=DE．
【分析】（1）连接OE，根据圆周角定理求得
∠BOE=100°，根据弧长公式进行计算即可求解；
（2）连接OE,OD，AD，证明OD是△ABC的中位线，

C.3π
D.12π
45 12 解析:根据弧长公式可得l= 180 =3π.故选C.
2.如图所示,半径为1的圆中,圆心角为120° 的扇形面积为
1 A. 3
( C )
1 B. 2
1 1 C. π D. π 3 2
120 12 解析:由扇形面积公式得S= .故选C. 360 3
3.(呼伦贝尔中考)150°的圆心角所对的弧长是5π cm，则此弧所在 圆的半径是 6 cm.
n 110 R ∴ 180 180 ×40π≈76.8(mm). 因此,管道的展直长度约为76.8 mm. AB的长
n R 可求得 AB 的长. 180
扇形的面积公式
在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子 上拴着一条长3 m的绳子,绳子的另一端拴 着一只狗. (1)这只狗的最大活动区域有多大? (2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角,那 么它的最大活动区域有多大? 解:(1)这只狗的最大活动区域 是圆,它的面积为:32π=9π(m2). (2)狗的活动区域是扇形(如图(2)所示),扇形是圆的一部 分,360°的圆心角对应的圆面积是9π,1°的圆心角对应 圆面积的 的圆面积为 n
解:(1)传送带上的物品A被传送的距离是:2π×10=20π(cm). (2)传送带上的物品A被传送的距离是: 20
360 18
(cm).
20 (3)传送带上的物品A被传送的距离是:n× 360 18
(cm).
【问题】 根据上面的计算,你能探讨出在半径为R的 圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗? 分析:360°的圆心角对应圆周长为2πR,那么1°的圆心角对应 2 R R 的弧长为 ,n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心 360 180 R n R 角对应的弧长的n倍,即n× .

∴ SBOC＝SABC
S扇形OCB＝S阴影＝
60π 360
＝
π 6
O
A
一、弧长的计算公式
l＝ n × 2πr＝ nπr
360
180
二、扇形面积计算公式
s＝ n ×探索问题的方法：
特殊到一般
解：
l＝
n •2πr＝ 360
nπr 180
＝
50 3
π
cm
答：此圆弧的长度为 50 π cm
3
例题分析
例1：制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展
直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度， 即 »AB 的长(结果精确到0.1 mm)．
解：R＝40mm，n ＝ 110o．
∴
AB
的长＝
n 180
πR
扇形的面积公式 还可以表示为
S扇形＝
nπR2 360
＝
1 2
Rl
例题分析
例题：扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求弧 AB的长（结果精确到0.1 cm）和扇形AOB的面积（结果 精确到0.1 cm2） 解：弧AB的长＝ 120 π×12 ＝ 8π≈25.1cm
180
S扇形＝132600 π×122 ＝48π≈150.7 cm2
40
随堂练习 1、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是12cm，其中水面高6cm，求截面上有水 部分的面积.（精确到0.01cm）
0
A
EB
D
解：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，
交AB于点E，由题意知
∴OE＝OD－DE ＝ 12 － 6 ＝ 6cm，
在Rt△AOE中，OE ＝12× 1＝6cm
如图，这只狗的最 大活动区域是圆的 面积，即9π；