构造比例线段证明线面平行

第四节直线、平面平行的判定及其性质课标要求考情分析1。

以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．1.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．2．题型主要以解答题的形式出现,解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.知识点一直线与平面平行的判定定理和性质定理应用判定定理时，要注意“内”“外"“平行”三个条件必须都具备,缺一不可．知识点二平面与平面平行的判定定理和性质定理1。

平面与平面平行还有如下判定：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行．2．平面与平面平行还有如下性质：(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）(1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面．（×)(2)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α。

（×）（3）若直线a∥平面α，P∈平面α，则过点P且平行于a 的直线有无数条．（×)(4）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行．(×）（5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)2．小题热身（1）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α的(D) A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交（2）下列命题中正确的是（D)A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α(3)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的(B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（4)如图，在正方体ABCD。

定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
定理4:如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）
推论:如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）
线面平行判定及其性质
1、直线与平面平行的判定定理：
定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
2、判断直线与平面平行的方法:
（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；
（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
定理3：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
2、面面平行的性质定理:
定理1:两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。

初中数学如何证明两个线段平行于同一平行线且在同一直线上要证明两个线段平行于同一直线且在同一平面上，我们可以使用几何证明方法。

以下是一个示例证明：证明：已知线段AB和CD平行于同一直线且在同一平面上。

步骤1：首先，画出线段AB和CD。

确保它们在同一直线上，并且平行于同一平面。

步骤2：假设线段AB和CD平行于同一直线，即AB || CD。

我们需要证明这个假设是成立的。

步骤3：根据平行线的性质，平行于同一直线的两条线段的任意一对对应线段的比例相等。

因此，我们需要证明线段AB和CD的任意一对对应线段的比例相等。

步骤4：考虑线段AB和CD之间的任意一对对应线段，分别为AE和CF。

我们需要证明这两条线段的比例相等。

步骤5：我们可以使用线段的长度和比例的性质来证明这两条线段的比例相等。

首先，观察线段AB和线段CD的长度，设为AB和CD，分别。

步骤6：假设AB ≠ CD，那么它们的长度之比也应该不相等。

我们可以表示为AB/CD ≠ 1。

步骤7：现在，我们将直线AB延长，找到AB的延长线与CD相交的点，设为点E。

由于AB 和CD平行，因此AE和CF是平行线。

步骤8：我们可以使用相似三角形的性质来证明线段AB和线段CD的任意一对对应线段的比例相等。

根据相似三角形的性质，如果两条直线平行，那么由这两条直线所形成的三角形中的对应边比例相等。

步骤9：因此，我们可以得出结论，线段AB和线段CD的任意一对对应线段的比例相等，即AE/CF = AB/CD。

步骤10：如果AB ≠ CD，则AE/CF ≠ 1。

然而，这与步骤9中的结果相矛盾。

因此，我们可以得出结论，AB必须等于CD。

步骤11：现在，我们需要证明线段AB和线段CD在同一平面上。

我们可以通过构造一个平行四边形来证明这一点。

以线段AB为一边，通过点C构造一条平行线段CE。

然后，以线段CD为一边，通过点A构造一条平行线段AF。

连接线段AE和线段CF，形成平行四边形AEFC。

庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线分线段成比例定理1.定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2.用符号语言表示:如图1-2—1所示，a∥b∥c,则EF DE BC AB =.图1—2—13。

定理的证明:若BCAB 是有理数,则将AB 、BC 分成相等的线段，把问题转化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围,其完整的推广过程等学到高等数学时才会实现。

4。

定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行，构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交,即被平行线a 、b 、c 所截。

平行线的条数还可以更多.知识拓展对于3条平行线截两条直线的图形,要注意以下变化(如图121）:如果已知是a∥b∥c，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如FDFE CA CB DF DE AC AB ==,等. 记忆要诀 对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为右左右左全上全上下上下上===1，，等，便于记忆. 二、平行线分线段成比例定理的推论1.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.2.符号语言表示：如图1-2-2所示,a∥b∥c,则BC DE AC AE AB AD ==（1） （2）图1—2—23.推论的证明:直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好。

误区警示实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线,此时要注意正确识别图形，如图123.图1—2—3问题·探究问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？思路:从两个定理的条件和结论两方面进行对比，可以找到它们的共同点和区别点。

探究:我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等（如图1-2-4，若l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，则DE=EF ）.图1-2-4 图1-2—5平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。