第三讲 相似比例线段的证明方法.尖子班

谈谈比例线段证明的方法比例线段证明是一种常用的数学证明方法，它可以用来证明两条线段之间的比例关系。

比例线段证明的基本思想是：如果两条线段的长度之比等于两个数之比，则这两条线段之间存在比例关系。

比例线段证明的步骤如下：首先，在平面直角坐标系中绘制两条线段，其中一条线段的长度为a，另一条线段的长度为b。

然后，在两条线段之间绘制一条新的线段，其长度为c，使得a:b=c:d，其中d为新线段的长度。

最后，证明a:b=c:d，即证明两条线段之间存在比例关系。

比例线段证明的关键在于证明a:b=c:d，即证明两条线段之间存在比例关系。

可以使用数学归纳法来证明，即从一般情况出发，逐步推导出特殊情况，最终证明a:b=c:d。

比例线段证明是一种简单而有效的数学证明方法，它可以用来证明两条线段之间的比例关系。

它的基本思想是：如果两条线段的长度之比等于两个数之比，则这两条线段之间存在比例关系。

比例线段证明的关键在于证明a:b=c:d，即证明两条线段之间存在比例关系。

可以使用数学归纳法来证明，即从一般情况出发，逐步推导出特殊情况，最终证明a:b=c:d。

比例线段证明是一种简单而有效的数学证明方法，它可以用来证明两条线段之间的比例关系。

它的优点在于，可以通过简单的图形操作来证明两条线段之间的比例关系，而不需要复杂的数学推理。

此外，比例线段证明也可以用来证明其他几何图形之间的比例关系，比如三角形、圆形等。

总之，比例线段证明是一种简单而有效的数学证明方法，它可以用来证明两条线段之间的比例关系，也可以用来证明其他几何图形之间的比例关系。

它的基本思想是：如果两条线段的长度之比等于两个数之比，则这两条线段之间存在比例关系。

比例线段证明的关键在于证明a:b=c:d，。

相似形和比例线段知识点一、知识精讲放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．2.我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．3.如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．比例线段1.在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2.如果、、、是比例线段，即（或），那么线段、是比例外项，、是比例内项．3.比例线段的基本性质：（1）如果，那么．（2）比例线段的比例式中，只要乘积形式不变，、、、的位置可以灵活变化．若，则、、．4.合比性质：如果，那么；如果，那么；5.等比性质：如果，那么（）．黄金分割1.古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋的比例法则”．符合这种分割的物体或几何图形，使人感到和谐悦目，被认为是最优美的．黄金分割被广泛应用于建筑设计、美术、音乐、艺术及几何作图等方面．如果点把线段分割成和（>）两段，其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割．即，点称为线段的黄金分割点．【注意】一般来说，一条线段的黄金分割点有两个；例1.“相似的图形”是（ ） （A ）形状相同的图形； （B ）大小不相同的图形；（C ）能够重合的图形； （D ）大小相同的图形．例2. 在相似ABC Δ与111C B A Δ中，32111111===C B BC C A AC B A AB ，若 cm 40BC AC AB =++°=55∠A 则111C B A Δ的周长是 ；=1A ∠ .例3、（1）已知23a b =，那么a b= ； （1）如果线段a 、b 、c 、d 满足13a c b d ==，那么+a c b d=+ ；例4、已知线段3a =，6b =，那么线段a ，b 的比例中项等于 ；例5、（1）如果C 是线段AB 的黄金分割点，并且AC BC >，1AB =，那么AC 的长度为·········（ ）A 、23；B 、12；C 、512-； D 、352- （2）已知线段AB 的长为10厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较长的线段AP 的长等于 厘米例5、如图，矩形草坪长为20m ，宽为10m ，沿草坪四周处围有1m 宽的环形小路，问：小路内外边缘所成的两个矩形相似吗？为什么？例6、在比例尺为1:8000的学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1cm ×3cm ，矩形运动场 例题精讲的实际尺寸是多少？例7、（1）已知343=+b b a ，求b a 的值。

平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。

恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理(添加辅助线)，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。

求证：AE=BD。

注:如果有两个形状相同的图形（一般是等腰三角形、等边三角形或正方形），那么可能要用到旋转全等或相似［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。

注：添加辅助线，构造全等三角形二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。

［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。

求证：AF=EF。

注：辅助线是中线倍长法［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。

三、利用平行四边形的性质证明线段相等如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。

［例1］如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，分别以AB、AC为边在△ABC 的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD。

（辅助线是过E作EG⊥AB，连接DG）注：构造平行四边形［例2］如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F作EG//AB，与AC和AD 的延长线分别交于G和E，FH//AC，交AB于点H。

求证：HG=BE。

注：构造平行四边形，利用平行线分线段成比例转化证明：延长AD到A′，使D A′=AD，又∵BD=CD∴四边形BACA′是平行四边形∴BA=A′C由题设可知HFGA也是平行四边形∴HF=AG∵HF//AC，∴又∵，HF=AG，BA=A′C∴BH=EG∴四边形BEGH是平行四边形四、利用中位线证明线段相等如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。

平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，截得的线段对应成比例.示意图结论如图，AB //CD //EF ，则AC BDCE DF=,CE DF AC BD =,AC BD AE BF =,CE DFAE BF= 若将AC 称为“上”，CE 称为“下”，AE 称为“全”，上述比例式可形象的理解为：=上上下下，=下下上上，=上上全全，=下下全全平行线分线段成比例定理的推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例.示意图 结论已知△ABC ，直线EF //BC ，交直线AB 于E ，交直线AC 于F ，则AE AFBE CF=FED C B A FE CBA FECB A比例线段与比例线段有关的重要知识点平行线分线段成比例定理的推论2: 平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.示意图 结论如图，已知△ABC ，直线EF //BC ，交直线AB 于E ，交直线AC 于F ，则AE AF EFAB AC BC==推论1的逆定理：如果一条直线截三角形两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.示意图 结论如图：已知AE AFBE CF=，则：EF //BC 或已知AE AFAB AC=，则EF //BC 就成了A 字型或X 字型. 这两种模型都是常见的比例线段模型.A 字型 X 字型F E CBA FECB AF E CBA FECB AF E CBA FECBA线束模型：如图，已知△ABC ，直线EF //BC ，交直线AB 于E ，交直线AC 于F ，过A 点的直线交EF 于G ，交BC 于H ，求证：EG BHGF CH=.总结：A 型线束，左右之比一致；X 型线束，左：右=右：左 A 型、X 型，线束模型，都是常用的比例线段模型.角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.已知△ABC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB BDAC CD=已知△ABC ，AD 是∠BAC 的外角平分线交BC 延长线与D ，求证：AB BDAC CD=HG F E CBA HG FECBAABC DABCDCB A CDB A巩固练习【例1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、AD 上的点，EF 与对角线AC 交于点P . 若23AE EB =，1AF FD =，求APPC的值.【例2】 如图，已知平行四边形ABCD ，E 在BA 延长线上，G 在BC 延长线上，23AE AB =，14CG BC =，连EG 交AD 于F ，交CD 于H ，求::EF FH HG 的值.【例3】 如图，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，E 为OD 中点，过E 点作MN //CD交AD 于M ，交AC 于N . 求ME ：EN 的值.P FE DCB AHBACDE G FAB CD OE NM【例4】 如图，直线DEF 与△ABC 三边分别交于D 、E 、F 三点. 若14AD BD =,35CF CB =，求DEEF,AECE的值【例5】 已知：P 为△ABC 的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、E ，求证：1AD AEDC EB+=F EDBCA FEDBCA E D PNMBCA 平行线的构造【例6】 在△ABC ，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中线，AE 、AF分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM .【例7】 如图，M 、N 为△ABC 边BC 上的两点，且满足BM =MN =NC ，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线与点D 、E 和F . 求证：EF =3DE .【例8】 已知等腰直角△ABC 中，E 、D 分别为直角边BC 、AC 上的点，且CE=CD ，过C 、D 分别作AE 的垂线，交斜边AB 于L 、K . 求证：BL =LK.H GFEMABCCBA MEFD N EKLDABC【例9】 如图，G 为△ABC 中BC 边中点，在AB 、AC 上分别取AE =AF ，EF 交AG 于D ，求证：AC DEAB DF=【例10】 （※）若M 为△ABC 内任意一点，AM 、BM 、CM 分别于BC 、CA 、AB 相交于D 、E 、F . 求证：1MD ME MFAD BE CF++=DFEGCBA FEMDCBA【例11】如图，已知AB //CD ，AD交BC于E，过E作EF//AB交BD于F，求证：111AB CD EF+=. 【例12】已知梯形ABCD，AD//BC，AC交BD于O，过O作EF//BC交AB于E，交CD于F，求证：211EF AD BC=+.DCFEBAOFEDCBA三平行模型与倒数型比例【例13】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求证：（1）PQ //AD ，（2）111PQ AD BC=+【例14】 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F . （1）求证：EF //CD . （2）若AB =a ，CD =b ，求EF 的长.【例15】 已知△ABC ，∠BAC=120°，AD 平分∠BAC ，求证：111AD AB AC=+A BCDEFPQA BCD MFECB AD【例16】 已知△ABC ，∠BAC =90°，AD 平分∠BAC ，求证：112AB AC AD+=的值.【例17】 已知△ABC 中，∠BAC =60°，AD 平分∠BAC ，若AB =6，AC =4，求AD 的长.【例18】 如图，△ABC 中，DE //BC ，F 为BC 上一点，AF 交DE 于点G ，H 为AF 上一点，DH 、EH 分别交BC 于N 、M . 求证：FM ·FB =FN ·FC .【例19】 如图，△ABC 中，DE //BC ，BE 与CD 交于点F ，连AF 交DE 于H ，交BC 于G ，求证：DH EH =，BG CG =.（本题的结果，华罗庚先生称为“射影几何的基本定理”）ABDCCBADCBAEDG M NFHH FGDEA BC线束模型【例20】 如图，点G 为BC 中点，F 为AG 上任意一点，BF 交AC 于E ，CF 交AB 于D . 求证：DE //BC .【例21】 如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 、AB 上的点，AD 、CE 交于F ，BF 、DE交于G ，过G 作BC 的平行线分别交AB 、CE 、AC 于M 、H 、N . 求证：GH =NH .【例22】 如图，四边形ABCD 的对角线交于F ，过F 作直线与BC 平行，交AB 、CD 及DA延长线于G 、H 、E . 若GF =1，FH =2，求EF .CBADEGFCBADE FM HN G DACBG FEH【例23】 （※）已知M 、N 分别是矩形的边AD 、BC 的中点，在边CD 的延长线上取P ，PM交对角线AC 于Q ，证明：NM 平分∠PNQ .【例24】 （※）如图，AD 为BC 边上的高，点E 为AD 上任意一点，BE 交AC 于G ，CE 交AB 于F ，求证：∠FDA =∠GDA .D C BAM N QPO BA CGFDE。

初中线段相等比例关系的证明方法线段相等和线段比例关系是几何学中常见的性质，其证明方法也是多种多样的。

下面将介绍几种常用的证明方法。

1.利用等长矩形的性质：如果四边形ABCD是等长矩形，那么AB与CD、BC与DA是相等的线段。

证明方法是利用相等角的性质得出等长矩形的条件，然后判断给定的四边形是否满足这个条件。

2.利用勾股定理：如果三角形ABC是一个直角三角形，且AB的平方等于AC的平方加上BC的平方，那么AB与BC是相等的线段。

证明方法是利用勾股定理以及角度的对应关系，将已知条件转化为直角三角形的条件，然后判断给定的三角形是否满足这个条件。

3.利用线段的长度性质：当两条线段的长度相等时，它们的线段加法等于它们的线段减法，即AB+CD=BC+AD，其中AB和CD是相等的线段，BC和AD是相等的线段。

证明方法是将给定的线段按照等式两边长度相等的条件分别相加，然后通过观察得出结果是否相等。

1.利用相似三角形的性质：如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AB与DE、BC与EF、AC与DF的比值相等。

证明方法是利用相似三角形的定义以及角度的对应关系，将已知条件转化为相似三角形的条件，然后判断给定的三角形是否满足这个条件。

2.利用线段分割定理：如果一条直线上的三个点A、B、C满足AB/BC=DE/EF，那么这个点C把线段AB和线段DE、EF按照相等的比例分割。

证明方法是将已知的线段比例转化为直线上点的坐标比例，根据线段分割定理得出结论。

3.利用线段的相似性质：当两个三角形或四边形中的对应边按照相等的比例分割时，它们的对应边的比例也相等。

证明方法是利用对应边的比例分割得出相似性质，然后利用线段的性质判断给定的图形是否满足这个条件。

以上是几种常用的线段相等、比例关系的证明方法，当然还有其他的方法，但这些方法是初中阶段常用且比较简单的方法。

在实际的证明过程中，除了运用这些方法，还需要根据具体问题进行合理的推理和构造，以便得到正确的结论。

在“相像形”中证明线段成比率崔淑霞在相像形一章中，有大批的题目是证明线段成比率，解决这种问题，能够用下边几种方法：1.用平行截割定理（1）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比率。

（2）平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线），所得的对应线段成比率。

（3）相像三角形的对应边成比率。

例 1. 如图 1，△ ABC 中， D 为 AB 边上一点， DE ∥BC 交 AC 于 E。

求证： AD ：AB＝ AE：AC剖析：用定理（2），即可证。

证明：由于DE∥BC ，所以 AD ： AB ＝ AE ：AC例 2. 如图 2，△ ABC 中， P 为 AB 边上一点，且∠ ACP ＝∠ B。

求证： AC2 AP·AB剖析：欲证 AC 2 AP· AB ，只要证AC AP，只要证 ACP ~ ABC 。

AB AC 证明：由于∠ A ＝∠ A，∠ ACP ＝∠ ABC所以△ ACP ∽△ ABC所以，AC AP，AC 2 AP·AB AB AC2.用等线段代换当直接证明四条线段成比率有困难时，能够考虑把此中一条（或两条）线段用与之相等的线段替代，进而解决问题。

例 3. 在△ ABC （ AB ＞ AC ）的边 AB 上取一点 D ，在边 AC 上取一点 E，使 AD ＝ AE ，直线 DE 和 BC 的延伸线交于点 P。

求证： BP： CP＝ BD ： CE剖析：如图 3，过 C 作 CF∥ AB ，交 PD 于 F，由 AD ＝ AE ，可证明 CE＝ CF，进而用 CF 替代 CE，转变为证明BP： CP＝ BD ：CF。

证明：作CF∥ AB ，交 PD 于点 F，则有BP： CP＝ BD ： CF由于 AD ＝AE所以∠ AED ＝∠ ADE由于 CF∥ AB所以∠ CFE＝∠ ADE即∠ AED ＝∠ CFE又∠ AED ＝∠ CEF，所以∠CFE＝∠ CEF，即 CE＝ CF故 BP：CP＝ BD ： CE3.用等比代换假如a e ，c e ，那么 a c。

如何证比例线段在我们这个科技高速发展的时代中,初等几何已经是必不可少了。

而如何证明比例线段是几何中的重要成分。

1.利用相似或位似来证明比例线段∶证明两个图形相似或位似，那它们的对应边的比例相等。

例如如图所示,AB∥CD,证明∶。

证：∵AB∥CD ∴∠1∠6，∠2∠5 又∵∠3∠4 ∴△ABE∽△CDE ∴2.利用中位线定理证明比例线段∶三角形的中位线与底边之比是1比2，梯形的中位线与两底之和的比也是1比2，……例如：点D、E、F、G和H是AB、AC、EH、EC和BC的中点，如图所示，求证:。

证：∵点D、E、F、G是AB、AC、EH、EC的中点∴DE、FG分别是△ABC、△EHC的中位线∴,即又∵H是BC的中点∴DE＝HC ∴3. 利用重心来证明比例线段∶三角形的三条中线交与一点,这点到顶点的距离与它到对边中点距离之比为2∶1, 如图所示, 。

4.利用面积比来证明比例线段∶如图,在△ABC中,DE∥BC,且S△ADE∶S△DEB＝1∶3,求DE∶BC？解:∵ S△ADE∶S△DEB＝1∶3 ∴AF∶FG＝1∶3 又∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴DE∶BC＝1∶45. 利用平行截线段来证明比例线段∶如图，如果直线a∥b∥c,那么,,。

6. 利用黄金分割来证明比例线段∶如图所示,△ABC∽△BCD,＝0.618……这就是黄金分割定理。

7.利用角平分线定理来证明比例线段∶如图所示，AD是∠BAC的平分线，那么。

8. 利用切割线定理来证明比例线段∶如图所示，PT是圆O的切线，直径AB和弦CD的延长线交于点P，则PT ²＝PA·PB=PD·PC,即,,。

这就是切割线定理。

9. 利用相交弦定理来证明比例线段∶如图所示，AB、CD都是圆O的弦，它们相交于点P，则PA·PB＝PC·PD，即。

10. 利用线段的合比来证明比例线段∶如图所示，,。

11. 利用计算来证明比例线段∶可以利用正弦定理或余弦定理或其它有关计算公式，分别计算两端的比，从而断定它们是否相等。