2020高考数学(理)一轮复习课时作业22简单的三角恒等变换 含解析

课时跟踪检测（二十二） 简单的三角恒等变换(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝( )A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33解析：选Asin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ2cos 2θ＝tan θ＝ 3. 2．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( )A ．1 B. 3 C. 2D ．2解析：选C 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°cos 20°－sin 20°＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2，故选C.3．函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x 的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3解析：选B f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3.4．已知sin 2α＝2425，0<α<π2，则 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15C ．±15D.75解析：选D 因为sin 2α＝2425，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝4925.因为0<α<π2，所以sin α＋cos α＝75.所以 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2×22(cos α＋sin α)＝75. 5．在△ABC 中，若3(tanB ＋tan C )＝tanB·tan C －1，则sin 2A ＝( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选D 由两角和的正切公式知tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B ·tan C＝tan B ＋tan C －3tan B ＋tan C＝－33，所以tan A ＝33，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，所以sin 2A ＝32. 6．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13，则sin A ＝________.解析：∵sin(C －A )＝1，∴C －A ＝90°，即C ＝90°＋A ，∵sinB ＝13，∴sinB ＝sin(A ＋C )＝sin(90°＋2A )＝cos 2A ＝13，即1－2sin 2A ＝13，∴sinA ＝33. 答案：337.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＋cos 2x 的单调递增区间为________，最大值为________． 解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＋cos 2x＝12cos 2x －32sin 2x ＋cos 2x ＝32cos 2x －32sin 2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z)，最大值为 3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z)38.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________.解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314.又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝1314，∵cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314 ＝32，故β＝π3. 答案：π39.化简：(1)3tan 12°－3sin 12°4cos 212°－2；(2)cos 2α1tanα2－tanα2.解：(1)原式＝3sin 12°cos 12°－322cos 212°－1sin 12°＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°sin 24°cos 24°＝43sin 12°－60°sin 48°＝－4 3.(2)法一：原式＝cos 2αcosα2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cosα2cos 2 α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α.法二：原式＝cos 2αtan α21－tan 2 α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2 α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α. 10.已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2，0＜α＜π4，且a·b ＝73.(1)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin [2α＋β]cos α－sin α的值．解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋2，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴f (x )的最大值是4，最小值是2. (2)由题意知β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73，∴sin α＝13，∴2cos 2α－sin[2α＋β]cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α＝21－sin 2α＝423. B 级——拔高题目稳做准做1.(2018·安徽六安一中综合训练)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 解析：选 A f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝sin 2ωx ＋3sin ωx cos ωx＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋12，因为T ＝2π2ω＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，2x－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故所求值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，故选A.2.(2018·江西赣中南五校模拟)已知f (x )＝sin2 019x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 019x －π3的最大值为A ，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A |x 1－x 2|的最小值为( )A.π2 019 B.2π2 019 C.4π2 019D.π4 038解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019x －π3＝sin 2 019x cos π6＋cos 2 019x sin π6＋cos 2 019x cos π3＋sin 2 019x sin π3＝32sin 2 019x ＋12cos 2 019x ＋12cos2 019x ＋32sin 2 019x ＝3sin 2 019x ＋cos 2 019x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 019x ＋π6，∴f (x )的最大值为A ＝2；由题意，得|x 1－x 2|的最小值为T 2＝π2 019，∴A |x 1－x 2|的最小值为2π2 019.故选B.3．计算 cos 10°－3cos －100°1－sin 10°＝________(用数字作答)．解析：cos 10°－3cos －100°1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2sin 40°＝2sin 10°＋30°2sin 40°＝ 2.答案： 24．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan(α＋β)＝9tan β，则tan α的最大值为________．解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α>0，tan β>0， ∴tan α＝tan(α＋β－β)＝tan α＋β－tan β1＋tan α＋β·tan β＝8tan β1＋9tan 2β＝81tan β＋9tan β≤82×3＝43当且仅当1tan β＝9tan β时等号成立，∴tan α的最大值为43. 答案：435．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．6.(2018·湛江一模) 已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A >0，ω>0)图象相邻两条对称轴的距离为π2，且f (0)＝1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，求tan(2α－2β)的值．解：(1)∵函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A >0，ω>0)图象相邻两条对称轴的距离为π2， ∴T 2＝πω＝π2，∴ω＝2， 又f (0)＝1，∴12A ＝1，∴A ＝2，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4， f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3－π3＝2cos(2α－π) ＝－2cos 2α＝－1013，∴cos 2α＝513，sin 2α＝1－cos 22α＝1213，则tan 2α＝sin 2αcos 2α＝125.∵β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，f ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6－π3＝2cos 2β＝65， ∴cos 2β＝35，sin 2β＝1－cos 22β＝45，则tan 2β＝sin 2βcos 2β＝43.∴tan(2α－2β)＝tan 2α－tan 2β1＋tan 2α·tan 2β＝125－431＋125×43＝1663.。

cos 2β＝1－2 sin θ cos θ.所以2 cos 2α＝ cos 2β.
所以4 cos 22α－ cos 22β＝（2 cos 2α－ cos 2β）（2 cos 2α＋ cos 2β）
＝0.
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三角恒等变换的综合应用
【例5】 已知3 sin α＝2 sin
2 －1.
2−
2× ×
sin2
2sincos
所以 2
＝
＝
3
2
2
2 −si
＋cos2
2×（ ）
5
4
5
（）
2
＝12.
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2. 已知函数 f （ x ）＝4 cos x cos
π
（ x ＋ ）－
6
3.
（1）求 f （ x ）的单调递增区间；
解： f （ x ）＝4 cos x cos
13
所以 sin β＝ sin [（β＋α）－α]＝ sin （β＋α） cos α－ cos （β
＋α） sin
12 3
5
4
16
α＝ × － × ＝ .
13 5
13 5
65
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（2）求
sin2
2
＋cos2
解：因为 cos
的值.
3
α＝ ，
5
sin
4
α＝ ，
5
4 3
5 5
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2. 证明三角恒等式的基本方法
（1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
（2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；

第2课时 简单的三角恒等变换题型 一 三角函数式的化简与证明1．化简：1＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)．解 由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0， ∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ，故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.2．证明：cos θ－cos φ＝－2sin θ＋φ2sinθ－φ2.证明 因为θ＝θ＋φ2＋θ－φ2，φ＝θ＋φ2－θ－φ2，所以cos θ－cos φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋φ2＋θ－φ2－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋φ2－θ－φ2＝cos θ＋φ2cosθ－φ2－sinθ＋φ2sin θ－φ2－cosθ＋φ2cosθ－φ2－sinθ＋φ2·sinθ－φ2＝－2sinθ＋φ2sinθ－φ2.1．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．2．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目． (2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立.1.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果为________． 答案 －2sin4解析 原式＝4cos 24＋2sin4－cos42＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为5π4<4<3π2，所以cos4<0，且sin4<cos4，所以原式＝－2cos4－2(sin4－cos4)＝－2sin4. 2.证明：sin α－sin β＝2sin α－β2cosα＋β2.证明 因为α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2，所以sin α－sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＋α－β2－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－α－β2＝sinα＋β2cosα－β2＋cosα＋β2sinα－β2－⎝⎛⎭⎪⎫sinα＋β2cosα－β2－cos α＋β2sinα－β2＝2sinα－β2cosα＋β2.题型 二 三角函数式的求值1.(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255 D ．1 答案 B解析 根据题设条件，可知O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos2α＝2cos 2α－1＝2·⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋12－1＝23，解得a 2＝15，即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝55.故选B.2.若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A解析 ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，∵sin2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2且cos2α＝－255， 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4.3.(2018·太原质检)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°＝________.答案6解析 因为2sin 280°＝2sin80°＝2cos10°，所以原式＝2[2sin(60°－10°)cos10°＋sin10°(cos10°＋3sin10°)] ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫32cos10°－12sin10°cos10°＋sin10°cos10°＋3sin 210°＝2(3cos 210°＋3sin 210°) ＝2×3＝ 6.1.三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．2．三角函数给值求角问题的解题策略对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦函数较好.1.已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 答案 －3π4解析 由根与系数的关系且a >2得，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0.所以tan α<0，tan β<0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，于是α＋β∈(－π，0)， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3a1－3a ＋1＝1，又α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－3π4.2.计算：cos20°cos40°cos60°cos80°＝________. 答案116解析 原式＝12cos20°cos40°cos80°＝sin40°cos40°cos80°4sin20°＝sin80°cos80°8sin20°＝sin160°16sin20°＝116. 题型 三 三角恒等变换的综合应用角度1 研究三角函数的图象变换问题1.(2019·湖南四校联考)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移的单位长度是( )A.π2 B.2π3 C.π3 D.π4答案 B解析 因为y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－2π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移2π3个单位长度才能得到函数y ＝sin x－3cos x 的图象.角度2 研究三角函数的性质问题2.(2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值． 解 (1)f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m ，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，2m －π6.要使f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1，只需2m －π6≥π2，即m ≥π3，所以m 的最小值为π3.角度3 解决实际问题3．如图，在矩形OABC 中，AB ＝1，OA ＝2，以B 为圆心，BA 为半径在矩形内部作弧，点P 是弧上一动点，PM ⊥OA ，垂足为M ，PN ⊥OC ，垂足为N ，求四边形OMPN 的周长的最小值．解 连接BP ，设∠CBP ＝α，其中0≤α＜π2，则PM ＝1－sin α，PN ＝2－cos α， 则周长C ＝6－2(sin α＋cos α) ＝6－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4， 因为0≤α<π2，所以π4≤α＋π4<3π4，故当α＋π4＝π2，即α＝π4时，周长C 有最小值6－2 2.1.三角恒等变换在研究三角函数性质中的两个注意点(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调区间、最值与周期．2．三角函数应用题的处理方法(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题． (2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后得出结论并回答问题.1.(2018·静海区模拟)为了得到函数y ＝3sin x cos x ＋12cos2x 的图象，只需将函数y＝sin2x 的图象( )A.向左平移π12个长度单位B.向右平移π12个长度单位C.向左平移π6个长度单位D.向右平移π6个长度单位答案 A解析 函数y ＝3sin x cos x ＋12cos2x ＝32sin2x ＋12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12.只需将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π12个长度单位，即可得到函数y ＝3sin x cos x＋12cos2x 的图象. 2．如图是半径为1的半圆，且四边形PQRS 是半圆的内接矩形，设∠SOP ＝α，求α为何值时矩形的面积最大，并求出最大值．解 因为∠SOP ＝α，所以PS ＝sin α，SR ＝2cos α，故S 矩形PQRS ＝SR ·PS ＝2cos αsin α＝sin2α，故当α＝π4时，矩形的面积有最大值1.3.(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝3sin x ·cos x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，所得图象对应的函数为g (x )．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数g (x )的值域．解 (1)f (x )＝3sin x cos x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π3＋k π2.∴函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝π3＋k π2，k ∈Z .(2)易知g (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32，∴g (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34，即当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34.。

【2019最新】精选高考数学一轮复习课时规范练22三角恒等变换理新人教B版基础巩固组1.函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是( )A. B.πC. D.2π2.已知sin,则cos=( )A. B.C. D.3.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=()A. B.-C.或0D.-或04.(2017河南郑州三模,理4)已知cos=-,则sin的值等于( )A. B.±C.-D.5.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为( )A.π,[0,π]B.2π,C.π,D.2π,6.为了得到函数y=sin 2x+cos 2x的图象,可以将函数y=cos 2x-sin 2x的图象( )A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度7.设f(x)=+sin x+a2sin的最大值为+3,则实数a= .8.(2017江苏无锡一模,12)已知sin α=3sin,则tan=.9.(2017山东,理16)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3.已知f=0.(1)求ω.(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.〚导学号21500723〛10.(2017山西临汾三模,理17)已知函数f(x)=sin4x+cos4x+sin 2xcos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求f(x)的最值.综合提升组11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1的图象的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=时取得最大值2,若f(α)=,且<α<,则sin的值为( )A. B.-C. D.-12.已知函数f(x)=cos ωx(sin ωx+cos ωx)(ω>0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2 016π)成立,则ω的最小值为( )A. B.C. D.13.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)的值为.14.(2017山东潍坊一模,理16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A为锐角,且bsin Acos C+csin Acos B=a.(1)求角A的大小;(2)设函数f(x)=tan Asin ωxcos ωx-cos 2ωx(ω>0),其图象上相邻两条对称轴间的距离为,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的值域.〚导学号21500724〛创新应用组15.已知m=,若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m= ( )A.-1B.C. D.2 〚导学号21500725〛16.已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x+a,且当x∈时,f(x)的最小值为2.(1)求a的值,并求f(x)的单调递增区间;(2)先将函数y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=4在区间上所有根之和.参考答案课时规范练22 三角恒等变换1.B f(x)=2sin×2cos=2sin,故最小正周期T==π,故选B.2.A 由题意sin,∴cos=cos 2=1-2sin2=1-2×.故选A.3.C 因为2sin 2α=1+cos 2α,所以2sin 2α=2cos2α.所以2cos α(2sin α-cos α)=0,解得cos α=0或tan α=.若cos α=0,则α=kπ+,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,所以tan 2α=0.若tan α=,则tan 2α=.综上所述,故选C.4.B ∵cos=-,∴cos=-cos=-cos 2=-=-,解得sin2,∴sin=±.故选B.5.C 由f(x)=sin2x+sin xcos x=sin 2x=sin,则T==π.又2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)为函数的单调递增区间.故选C.6.A ∵y=sin 2x+cos 2x=cos 2,y=cos 2x-sin2x==cos 2=cos 2,∴只需将函数y=cos 2x-sin 2x的图象向右平移个单位长度可得函数y=sin 2x+cos 2x的图象.7.±f(x)=+sin x+a2sin=cos x+sin x+a2sin=sin+a2sin=(+a2)sin.依题意有+a2=+3,则a=±.8.2-4 sin α=3sin=sin α+cos α,∴tan α=.又tan=tan=2-,∴tan===-=2-4.9.解 (1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=si n ωx-cos ωx-cos ωx=sin ωx-cos ωx==sin.由题设知f=0,所以=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin,所以g(x)=sinsin.因为x∈,所以x-,当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.10.解 (1)函数f(x)=sin4x+cos4x+sin 2xcos 2x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+sin 4x=1-sin22x+sin 4x=1-sin 4x=sin 4x+cos4x+sin,∴f(x)的最小正周期T=.(2)当x∈时,4x+,∴sin,当4x+时,f(x)取得最小值为,此时x=.当4x+时,f(x)取得最大值为,此时x=.∴当x∈时,f(x)的最大值为,最小值为.11.D 由题意,T=2π,即T==2π,即ω=1.又当x=时,f(x)取得最大值,即+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.∵0<φ≤,∴φ=,∴f(x)=sin+1.∵f(α)=sin+1=,可得sin.∵<α<,可得<α+<π,∴cos=-.∴sin=2sin·cos=2×=-.故选D.12.D 由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2 016π)是函数f(x)的最大值.显然要使结论成立,只需保证区间[x0,x0+2 016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可.又f(x)=cos ωx(sin ωx+cos ωx)=sin 2ωx+(1+cos2ωx)=sin,则2 016π≥,求得ω≥,故ω的最小值为.13. ∵α∈,∴2α∈(0,π).∵cos α=,∴cos 2α=2cos2α-1=-,∴sin 2α=,又α,β∈,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=,∴cos(α-β)=cos [2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=.14.解(1)∵bsin Acos C+csin Acos B=a,∴由正弦定理,得sin Bsin Acos C+sin Csin Acos B=sin A.∵A为锐角,sin A≠0,∴sin Bcos C+sin Ccos B=,可得sin(B+C)=sin A=,∴A=.(2)∵A=,可得tan A=,∴f(x)=sin ωxcos ωx-cos 2ωx=sin 2ωx-cos 2ωx=sin.∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为,可得T=2×,解得ω=1,∴f(x)=sin,∴将y=f(x)的图象向左平移个单位长度后,图象对应的函数为y=g(x)=sin=sin.∵x∈,可得2x+,∴g(x)=sin.15.D ∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),∴tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),故m==2,故选D.16.解 (1)f(x)=2cos2x+2sin xcos x+a=cos 2x+1+sin 2x+a=2sin+a+1,∵x∈,∴2x+,∴f(x)的最小值为-1+a+1=2,解得a=2,∴f(x)=2sin+3,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)....精品(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin+3,由g(x)=4可得sin,∴4x-=2kπ+(k∈Z)或4x-=2kπ+(k∈Z),解得x=(k∈Z)或x=(k∈Z).∵x∈,∴x=或x=,∴所有根之和为.。